2 Quelques propri´ et´ es de la matrice J (0).

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Etude d’endomorphismes nilpotents. ´

Dans tout le probl`eme,nest un entier naturel non nul etMn(C) d´esigne l’espace vectoriel norm´e des matrices carr´ees d’ordren`a coefficients complexes.

GLn(C) est le groupe des matrices inversibles deMn(C).

La matrice unit´e de cet espace sera no´eteIn et la matrice nulleOn.

L’espaceE=Cⁿ est rapport´e `a une base (ej)1≤j≤net on rappelle que toute matrice carr´ee d’ordrenrepr´esente dans cette base un endomorphisme deEappel´e endomorphisme associ´e.

Siv est un endomorphisme deE, on rappelle que :

— v⁰est l’endomorphisme unit´e,

— ∀m∈N, v^m+1=v◦v^m.

L’endomorphismev sera ditnilpotents’il existe un entierr∈Ntel quev^r=θ (endomorphisme nul deE).

Pourλ∈C^∗, on noteJ(λ) la matrice carr´ee d’ordrend´efinie par

J(λ) = (ui,j) avec







∀i∈ {1, . . . , n−1}, ui+1,i= 1

∀i∈ {1, . . . , n}, ui,i=λ u_i,j= 0 sinon

Pour tout nombre complexez=x+iy, (x, y)∈R², on rappelle que e^z =e^xe^iy=e^x(cos(y) +isin(y)) PourM ∈M_n(C), soitα(M) la matrice :

α(M) = lim

m→+∞Sm avec Sm=

m

X

k=0

M^k k!

On rappelle que pour calculer cette limite, il suffit de calculer la limite de chacun des termes de la matriceSm. On admettra et on utilisera sans le d´emontrer que cette matrice existe toujours et que si A et B sont deux matrices deMn(C) qui commutent, alorsα(A+B) =α(A)α(B).

1 Quelques calculs pr´ eliminaire.

1. SoitA=





2 −3 3

−3 3 −4

−3 4 −5



∈M3(C). D´eterminer les ´el´ements propres de la matriceA.

2. V´erifier que ker(A+I3)²⊕ker(A−2I3) =C³.

3. En d´eduire que la matriceAest semblable `a la matrice





−1 1 0

0 −1 0

0 0 2



.

2 Quelques propri´ et´ es de la matrice J (0).

1. D´eterminer le rang deJ(0).

2.

2.1. D´eterminer J(0)^k pourk∈N,k≤n−1, puis pourk∈N,k≥n.

2.2. V´erifier que toutes les puissances de J(0) sont des matrices nilpotentes.

3. D´eterminer α(J(0)) puisU =α(J(0))−I_n.

4. Montrer que toute combinaison lin´eaire de deux matrices nilpotentes qui commutent est encore une matrice nilpotente.

5. Montrer queU est une matrice nilpotente de rangn−1.

3 Quelques r´ esultats sur les noyaux it´ er´ es d’un endomorphisme.

Soituun endomorphisme deE.

1. Prouver que∀(i, j)∈N², ker(uⁱ)⊂ker(u^i+j).

2. Pour toutm∈N, on notetm= dim(ker(u^m)). Prouver l’existence de r= inf{m∈N, t_m=t_m+1} 3. Montrer que :

(i) ∀m < r, ker(u^m) est strictement inclus dans ker(u^m+1), (ii) ker(u^r) = ker(u^r+1),

(iii) ∀m≥r, ker(u^m) = ker(u^m+1).

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4 Recherche des endomorphismes nilpotents de rang n − 1.

SoitV une matrice de M_n(C),de rang n−1 et v´erifiant Vⁿ=O_n. On notevl’endomorphisme deE associ´e

` aV.

1. Soientpetqdeux entiers naturels etwla restriction dev^q `a Im(v^p).

1.1. D´eterminer Im(w).

1.2. Prouver que ker(w)⊂ker(v^q).

1.3. V´erifier alors que l’on a

dim(ker(v^p+q))≤dim(ker(v^p)) + dim(ker(v^q)) 1.4. En d´eduire

∀i∈ {1, . . . , n}, dim(ker(vⁱ))≤i 1.5. D´emontrer qu’en fait∀i∈ {1, . . . , n}, dim(ker(vⁱ)) =i.

2. Prouver alors quevⁿ⁻¹6=θ.

3. En d´eduire qu’il existe un vecteuredeE tel que

B₁= (e, v(e), v²(e), . . . , vⁿ⁻¹(e)) soit une base deE.

4. Ecrire la matrice devdans cette base. Interpr´eter le r´esultat obtenu `a l’aide des matricesJ(λ).

5. D´eterminer alors tous les endomorphismes nilpotents de rang n−1 et montrer que les matrices de deux tels endomorphismes sont semblables.

5 R´ esolution de l’´ equation J (µ) = α(X ), d’inconnue X ∈ M

( C ).

1. Montrer que :∀M ∈M_n(C),∀P ∈GL_n(C),

P⁻¹α(M)P =α(P⁻¹M P) 2. R´esoudre dansCles ´equations :

e^z=i, e^z=−1, e^z =−3−4i

3. Plus g´en´eralement, soit µ ∈C. D´eterminer, lorsque cela est possible, tous les nombres complexes z = x+iy∈Ctels quee^z=µ.

4. On prend alorsµ6= 0 et on notesun des nombres complexes tel quee^s=µ.

4.1. D´eterminer α(sIn).

4.2. On ´ecrit alorsJ(s) sous la forme :J(s) =sI_n+J(0). Exprimerα(J(s)) `a l’aide deα(J(0)) et deµ.

4.3. V´erifier que la matriceµ(α(J(0))−I_n) est nilpotente de rangn−1.

4.4. En d´eduire qu’il existe une matrice inversibleQ∈GL_n(C) telle que : Q⁻¹α(J(s))Q=J(µ)

5. Donner alors dansMn(C) une solution `a l’´equation propos´eeα(X) =J(µ).

6. En d´eduire dansMn(C) une solution `a l’´equationα(X) =^tJ(µ).

7. Applications.

7.1. On consid`ere la matriceT =

i 1 0 i

∈M2(C). D´eterminer une matriceX1telle queα(X1) =T. 7.2. On va chercher une matrice X2 ∈M3(C) telle queα(X2) =A o`uA d´esigne la matrice de M3(C)

d´efinie `a la partie 1.

7.2.1 D´eterminer une matriceB1∈M2(C) telle queα(B1) =

−1 1 0 −1

. 7.2.2 SoitH =

B₁ 0 0 ln(2)

∈M₃(C). Calculerα(H).

7.2.3 D´eterminer alors une matriceX₂∈M₃(C) telle queα(X₂) =A

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