2. Quelques propriétés de la matrice J (0)

Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP

Année 2019-2020 Mathématiques

Devoir maison n ^◦ 08

À rendre le mardi 19 novembre 2019

Durée : 3 heures (au moins) Toute calculatrice interdite

Dans tout le problème, n est un entier naturel non nul et Mn(C) désigne l’espace vectoriel normé des matrices carrées d’ordrenà coefficients complexes.

GLn(C)est le groupe des matrices inversibles deMn(C).

La matrice unité de cet espace sera notéeIn et la matrice nulleOn.

L’espaceE=Cⁿ est rapporté à une base(ej)1≤j≤n et on rappelle que toute matrice carrée d’ordrenreprésente dans cette base un endomorphisme deE appeléendomorphisme associé.

Siv est un endomorphisme deE, on rappelle que :

• v⁰est l’endomorphisme unité,

• ∀m∈N, v^m+1=v◦v^m.

L’endomorphismev sera ditnilpotents’il existe un entierr∈Ntel quev^r=θ(endomorphisme nul deE).

Pourλ∈C^∗, on noteJ(λ)la matrice carrée d’ordrendéfinie par

J(λ) = (ui,j) avec







∀i∈ {1, . . . , n−1}, ui+1,i= 1

∀i∈ {1, . . . , n}, ui,i=λ u_i,j = 0 sinon

Pour tout nombre complexez=x+iy,(x, y)∈R², on rappelle que e^z=e^xe^iy=e^x(cos(y) +isin(y))

PourM ∈Mn(C), soitα(M)la matrice :

α(M) = lim

m→+∞Sm avec Sm=

m

X

k=0

M^k k!

On rappelle que pour calculer cette limite, il suffit de calculer la limite de chacun des termes de la matriceSm. On admettra et on utilisera sans le démontrer que cette matrice existe toujours et que siAet B sont deux matrices deM_n(C)qui commutent, alorsα(A+B) =α(A)α(B).

1. Quelques calculs préliminaires

1. SoitA=







2 −3 3

−3 3 −4

−3 4 −5





∈M3(C). Déterminer les éléments propres de la matrice A.

2. Vérifier que ker(A+I₃)²⊕ker(A−2I₃) =C³.

3. En déduire que la matriceAest semblable à la matrice







−1 1 0 0 −1 0

0 0 2





.

1

2. Quelques propriétés de la matrice J (0)

1. Déterminer le rang deJ(0).

2.

2.1. Déterminer J(0)^k pour k ∈ N, k≤ n−1, puis pour k ∈N, k ≥n. M. Cochet : un baratin et de vagues pointillés ne suffisent pas !

2.2. Vérifier que toutes les puissances deJ(0)sont des matrices nilpotentes.

3. Déterminerα(J(0))puisU =α(J(0))−I_n.

4. Montrer que toute combinaison linéaire de deux matrices nilpotentes qui commutent est encore une matrice nilpotente.

5. Montrer queU est une matrice nilpotente de rangn−1.

3. Quelques résultats sur les noyaux itérés d’un endomorphisme

Soituun endomorphisme deE.

1. Prouver que∀(i, j)∈N², ker(uⁱ)⊂ker(u^i+j).

2. Pour toutm∈N, on notetm= dim(ker(u^m)). Prouver l’existence de r= inf{m∈N, tm=tm+1} 3. Montrer que :

(i) Pour toutm < r,ker(u^m)est strictement inclus dansker(u^m+1), (ii) ker(u^r) = ker(u^r+1),

(iii) Pour toutm≥r, ker(u^m) = ker(u^m+1).

4. Recherche des endomorphismes nilpotents de rang n − 1

SoitV une matrice deMn(C),de rangn−1et vérifiantVⁿ=On. On notev l’endomorphisme deE associé àV. 1. Soientpetq deux entiers naturels etwla restriction dev^q àIm(v^p).

1.1. DéterminerIm(w).

1.2. Prouver queker(w)⊂ker(v^q).

1.3. Vérifier alors que l’on a

dim(ker(v^p+q))≤dim(ker(v^p)) + dim(ker(v^q)) 1.4. En déduire

∀i∈ {1, . . . , n}, dim(ker(vⁱ))≤i 1.5. Démontrer qu’en fait∀i∈ {1, . . . , n}, dim(ker(vⁱ)) =i.

2. Prouver alors que vⁿ⁻¹6=θ.

3. En déduire qu’il existe un vecteuredeE tel que

B1= (e, v(e), v²(e), . . . , vⁿ⁻¹(e))

soit une base deE.

4. Écrire la matrice dev dans cette base. Interpréter le résultat obtenu à l’aide des matricesJ(λ).

5. Déterminer alors tous les endomorphismes nilpotents de rang n−1 et montrer que les matrices de deux tels endomorphismes sont semblables.

2

5. Résolution de l’équation J(µ) = α(X ), d’inconnue X ∈ M

( C )

1. Montrer que :∀M ∈M_n(C),∀P ∈GL_n(C),

P⁻¹α(M)P=α(P⁻¹M P)

2. Résoudre dansCles équations :

e^z=i, e^z=−1, e^z=−3−4i

3. Plus généralement, soitµ∈C. Déterminer, lorsque cela est possible, tous les nombres complexesz=x+iy∈C tels quee^z=µ.

4. On prend alorsµ6= 0 et on notesun des nombres complexes tel quee^s=µ.

4.1. Déterminerα(sIn).

4.2. On écrit alorsJ(s)sous la forme :J(s) =sIn+J(0). Exprimer α(J(s))à l’aide de α(J(0))et deµ.

4.3. Vérifier que la matriceµ(α(J(0))−I_n)est nilpotente de rangn−1.

4.4. En déduire qu’il existe une matrice inversibleQ∈GL_n(C)telle que : Q⁻¹α(J(s))Q=J(µ)

5. Donner alors dansM_n(C)une solution à l’équation proposéeα(X) =J(µ).

6. En déduire dansMn(C)une solution à l’équationα(X) =^tJ(µ).

7. Applications

7.1. On considère la matriceT = i 1 0 i

!

∈M2(C),i²=−1. Déterminer une matriceX1telle queα(X1) =T. 7.2. On va chercher une matriceX₂∈M₃(C)telle que α(X₂) =A oùAdésigne la matrice deM₃(C)définie à

la partie1.

7.2.1 Déterminer une matriceB1∈M2(C)telle queα(B1) = −1 1 0 −1

! .

7.2.2 SoitH =







B₁ 0

0 0 0 ln(2)





∈M₃(C). Calculerα(H).

7.2.3 Déterminer alors une matriceX2∈M3(C)telle queα(X2) =A.

3