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Chapitre II : RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES
Dans tout ce chapitre, est un espace vectoriel réel de dimension ( ∈ ℕ∗), désigne un endomorphisme de et une matrice de ℳ(ℝ).
I – Réduction des endomorphismes
1) Éléments propres d’un endomorphisme a) Définitions
Définition 1 : Un réel est dit valeur propre de s’il existe un vecteur non nul de tel que () = .
L’ensemble des valeurs propres de s’appelle le spectre de et se note Sp(). Définition 2 : Soit une valeur propre de .
On appelle vecteur propre de associé à la valeur propre tout vecteur non nul de tel que () = .
Définition 3 : Soit une valeur propre de .
L’ensemble () de tous les vecteurs de tels que () = est appelé sous-espace propre de associé à la valeur propre .
Autrement dit : () = ∈ /() = . Remarque 1 :
1) 0, le vecteur nul de , appartient à () : ainsi () contient 0 et tous les vecteurs propres de associés à la valeur propre .
2) ∈ () ⇔ () = ⇔ () − = 0 ⇔ ( − )() = 0 ⇔ ∈ Ker( − ) On en déduit que () = Ker( − ).
b) Propriétés
Propriété 1 : Soit une valeur propre de .
L’ensemble () est un sous-espace vectoriel de .
Théorème 1 : Le réel est une valeur propre de si et seulement si − est non injectif.
En particulier : 0 est une valeur propre de si et seulement si n’est pas injectif.
Remarque 2 :
1) L' espace vectoriel étant de dimension finie, tout endomorphisme injectif est bijectif, on a alors les équivalences suivantes :
(i) Le réel est une valeur propre de si et seulement si − est non bijectif.
(ii)0 est une valeur propre de si et seulement si n’est pas bijectif.
Conséquence très pratique :
Propriété 2 : L’endomorphisme est bijectif si, et seulement si, 0 n’est pas valeur propre de .
2 Exemple 1 : Soit l’application ℝ! ⟶ ℝ!
(; $) ↦ (− + $; 2)(
Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de .
Théorème 2 : Si ), !, … , , sont des valeurs propres de l’endomorphisme deux à deux distinctes et si ), !, … , , sont des vecteurs propres de respectivement associés à ), !, … , ,, alors la famille -), !, … , ,. est libre.
Propriété 3 (corollaire) : Si ), !, … , , sont des valeurs propres de l’endomorphisme deux à deux distinctes et si ℬ), ℬ!, … , ℬ, sont des bases des sous-espaces propres de respectivement associés à ), !, … , ,, alors la famille obtenue en concaténant (c’est-à-dire en juxtaposant) les bases
ℬ), ℬ!, … , ℬ, est une famille libre.
Théorème 3 : Soit un espace de dimension et un endomorphisme de . 1) possède au plus valeurs propres distinctes.
2) La somme des dimensions des sous espaces-propres de associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est inférieure ou égale à .
Remarque 3 :
C’est une conséquence directe des deux résultats précédents. En effet, dans un espace de dimension , une famille libre contient au plus vecteurs…
Théorème 4 : Soit un endomorphisme de et 0 un polynôme annulateur de . Si est une valeur propre de alors 0() = 0 (autrement dit est une racine de 0).
Remarque 4 :
1) Les valeurs propres de sont donc racines de tout polynôme annulateur de : les valeurs propres de sont donc à chercher parmi les racines des polynômes annulateurs de .
2) ATTENTION : toutes les racines de 0 ne sont pas forcément des valeurs propres de : les racines de 0 vont donner un ensemble réduit de valeurs parmi lesquelles il va falloir déterminer les valeurs propres de .
Exemple 2 : Soit un endomorphisme de vérifiant la relation : ( − ) ∘ ( + 2) = 0 Le polynôme 0() = ( − 1)( + 2) = !+ − 2 est un polynôme annulateur de f.
Ses racines étant 1 et -2, les valeurs propres de sont à choisir parmi 1 et -2 mais rien ne permet d’affirmer tout de suite que 1 et -2 dont des valeurs propres de …
2) Endomorphismes diagonalisables
Définition 4 : L’endomorphisme est diagonalisable si, et seulement si, il existe une base de formée de vecteurs propres de .
Théorème 5 : L’endomorphisme est diagonalisable si, et seulement si, il existe une base de dans laquelle sa matrice est diagonale.
Théorème 6 : L’endomorphisme est diagonalisable si, et seulement si, la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale = dim .
3 Théorème 7 : Condition suffisante de diagonalisation
Si l’endomorphisme possède exactement valeurs propres ( = dim ) alors est diagonalisable et dans ce cas, ses sous-espaces propres sont tous de dimension 1.
Remarque 5 : L’endomorphisme de l’exemple 1 répond à tous les critères de diagonalisabilité énoncés dans les quatre résultats précédents.
II – Réduction des matrices carrées
1) Éléments propres d’une matrice carrée a) Définitions
Définition 5 : Un réel est dit valeur propre de s’il existe un vecteur colonne 6 non nul de ℳ,)(ℝ) tel que 6 = 6.
L’ensemble des valeurs propres de s’appelle le spectre de et se note Sp(). Définition 6 : Soit une valeur propre de .
On appelle vecteur propre de associé à la valeur propre tout vecteur 6 non nul de ℳ,)(ℝ) tel que 6 = 6.
Définition 7 : Soit une valeur propre de .
L’ensemble () de tous les vecteurs 6 de ℳ,)(ℝ) tels que 6 = 6 est appelé sous-espace propre de associé à la valeur propre .
Autrement dit : () = 76 ∈ ℳ,)(ℝ)/6 = 68. Remarque 6 :
1) 0, la matrice nulle de ℳ,)(ℝ), appartient à () : ainsi () contient 0 et tous les vecteurs propres de associés à la valeur propre .
2) 6 ∈ () ⇔ 6 = 6 ⇔ 6 − 6 = 0 ⇔ ( − )6 = 0 b) Propriétés
Propriété 4 : Soit une valeur propre de .
L’ensemble () est un sous-espace vectoriel de ℳ,)(ℝ). Théorème 8 :
Le réel est valeur propre de si, et seulement si, la matrice − est non inversible.
En particulier : 0 est une valeur propre de si et seulement si n’est pas inversible.
Conséquence très pratique :
Propriété 5 : La matrice est inversible si, et seulement si, 0 n’est pas valeur propre de . Propriété 6 : Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont ses coefficients diagonaux.
Exemple 3 : Soit = 93 1 1 1 3 1
1 1 3;. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de .
4 Théorème 9 :
1) possède au plus valeurs propres distinctes.
2) La somme des dimensions des sous espaces-propres de associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est inférieure ou égale à .
Théorème 10 : Soit une matrice de ℳ(ℝ) et 0 un polynôme annulateur de . Si est une valeur propre de alors 0() = 0 (autrement dit est une racine de 0).
Remarque 7 :
1) Les valeurs propres de sont donc racines de tout polynôme annulateur de : les valeurs propres de sont donc à chercher parmi les racines des polynômes annulateurs de .
2) ATTENTION : toutes les racines de 0 ne sont pas forcément des valeurs propres de : les racines de 0 vont donner un ensemble réduit de valeurs parmi lesquelles il va falloir déterminer les valeurs propres de .
Exemple 4 : Soit = 93 1 1 1 3 1
1 1 3;. Calculer =− 7!+ 10. Que dire des valeurs propres de ? Théorème 11 : Soit ℬ une base de et la matrice de l' endomorphisme dans la base ℬ. Soit un vecteur de et 6 la matrice colonne de ℳ,)(ℝ) associée à dans la base ℬ. 1) Le réel est valeur propre de si, et seulement si, est valeur propre de .
2) est un vecteur propre de associé à la valeur propre si, et seulement si, 6est un vecteur propre de associé à la valeur propre .
Remarque 8 : Les valeurs propres et les vecteurs propres de sont souvent plus faciles à déterminer : ce résultat permet de transférer dans les résultats obtenus dans ℳ,)(ℝ).
2) Matrices diagonalisables
Définition 8 : La matrice est diagonalisable si, et seulement si, il existe une matrice 0 inversible et une matrice diagonale ? telles que ? = 0@)0 ou encore = 0?0@).
Autrement dit : et ? sont semblables.
Remarque 9 : Les colonnes de la matrice 0 forment une base de ℳ,)(ℝ) constituée de vecteurs propres de .
Théorème 12 : La matrice ∈ ℳ(ℝ) est diagonalisable si, et seulement si, la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale .
Théorème 13 : Condition suffisante de diagonalisation
Si la matrice ∈ ℳ(ℝ) possède exactement valeurs propres alors est diagonalisable et dans ce cas, ses sous-espaces propres sont tous de dimension 1.
Théorème 14 : Toute matrice symétrique est diagonalisable.
Remarque 10 : La matrice de l’exemple 3 répond à tous les critères de diagonalisabilité énoncés dans les quatre résultats précédents sauf le théorème 12 car elle ne possède que 2 valeurs propres
distinctes et non 3.
