Feuille d’exercices n°9 : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Feuille d’exercices n°9 : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Valeurs propres et vecteurs propres Exercice 1. (☀)

SoitA une matrice carrée d’ordre n, avec n∈N^∗. On noteI la matrice unité deMn(R).

1) Soit a∈R. Montrer que λest une valeur propre de A si et seulement si λ−aest valeur propre deA−a.I.

En déduire le spectre deA−aI en fonction du spectre deA.

2) Soit B∈Mn(R) une matrice semblable à A.

a. Soitλ∈R. Montrer queλest valeur propre de A si, et seulement si, λest valeur propre deB.

En déduireSp(A) en fonction deSp(B).

b. La réciproque est-elle vraie : deux matrices de même spectre sont-elles semblables ?

On pourra considérer la matriceA=



 1 0 0 0 1 1 0 0 1



.

Exercice 2. (☀)

On considère les matrices carrées d’ordre 3 suivantes :

A=





5 5 −14 6 6 −16 5 5 −14



; B=





8 4 −16 0 4 −8 4 4 −12



; P =





1 1 1

2 −1 1

1 0 1





Ainsi que les matrices colonnes :V1=



 1 2 1



; V2 =



 1

−1 0



; V3 =



 1 1 1



.

1) Vérifier que V1, V2,etV3 sont des vecteurs propres deA.

Quelles sont les valeurs propres associées ? 2) a. Montrer que P est inversible et calculerP⁻¹.

b. Justifier la relation : P⁻¹AP =





1 0 0 0 0 0 0 0 −4



. On note Dcette matrice diagonale.

c. Calculer la matrice∆ =P⁻¹BP et vérifier qu’elle est diagonale.

3) On se propose de calculer les matrices colonnes Xn définies par :

X₀ =



 1 0 1



, X₁=



 0

−1 1



, et ∀n∈N, X_n+2 =AX_n+1+BX_n

On définit, pour toutn∈N: Yn=P⁻¹Xn

et on pose également Yn=



 u_n v_n w_n



.

a. Montrer que Y0 =





−1 0 2



etY1 =





−3

−1 4



.

b. Montrer que pour tout entier natureln,Yn+2 =DYn+1+ ∆Yn. c. Montrer alors que pour tout entier naturel n :







u_n+2 = u_n+1 v_n+2 = 4v_n

wn+2 = −4w_n+1−4wn

En déduire les expressions explicites deun,vn etwn en fonction den.

d. Donner finalement la matrice Xn, en fonction den.

Exercice 3. (☀☀)

Soitf un endomorphisme de Rⁿ, avec n∈N^∗.

On noteidl’endomorphisme identité de Rⁿ et0_Rⁿ le vecteur nul de Rⁿ. 1) Soit k∈N. On note f^k l’endomorphisme défini par :

f⁰ = id

f^k =f^k−1◦f, sik∈N^∗

Montrer que six est un vecteur propre def associé à la valeur propreλ, alorsx est vecteur propre def^k.

Quelle est la valeur propre de f^k associée au vecteur proprex? 2) On suppose dans cette question quef est un automorphisme de Rⁿ.

Montrer que six est un vecteur propre def associé à la valeur propreλ, alorsx est vecteur propre def⁻¹.

Quelle est la valeur propre de f⁻¹ associée au vecteur proprex?

3) On suppose dans cette question quex est un vecteur propre de f associé à la valeur propre λ, avec λ6= 0.

Montrer que x∈Im(f).

4) On suppose dans cette question que λ et µ sont deux valeurs propres distinctes def.

On note E_λ etE_µ les sous-espaces propres de f associés respectivement aux valeurs propres λetµ. On rappelle que :

E_λ = Ker(f−λ id) et E_µ= Ker(f−µ id) Montrer que E_λ∩E_µ={0_Rⁿ}.

5) On suppose dans cette question que l’endomorphisme f vérifie : f³−7f + 6id=θ, où θ désigne l’endomorphisme nul deRⁿ Montrer que si λest valeur propre def, alors λ³−7λ+ 6 = 0.

En déduire les valeurs propres possibles def. L’endomorphisme f est-il un isomorphime ?

Recherche des valeurs propres et des sous-espaces propres Exercice 4. (☀)(d’après EDHEC 2007)

Pour toute matrice M ∈M2(R), on note^tM la matrice transposée de M.

On pose E1= 1 0

0 0

, E2 = 0 1

0 0

, E3 = 0 0

1 0

etE4 = 0 0

0 1

. On rappelle queB= (E1, E2, E3, E4) est une base deM2(R).

On noteϕl’application qui à toute matrice M de M2(R)associe : ϕ(M) =M+^tM

1) a. Montrer que ϕest un endomorphisme deM2(R).

b. Écrire la matriceA de ϕdansB.

c. En déduire que ϕest diagonalisable et non bijectif.

2) CalculerA² et en déduire que, pour toutnde N^∗ :Aⁿ= 2ⁿ⁻¹A.

3) a. Montrer que Im(ϕ) = Vect (E1, E2+E3, E4).

Établir alors : dim(Im (ϕ)) = 3.

b. En déduire la dimension deKer(ϕ)puis déterminer une base deKer(ϕ).

c. Établir que Im(ϕ)est le sous espace propre associé à la valeur propre 2.

d. Donner, pour résumer, les valeurs propres de ϕ ainsi qu’une base de chacun des sous-espaces propres associés.

Exercice 5. (☀) SoitA=



 1 a 1 0 1 b 0 0 c



, aveca, b, c trois réels.

Déterminer les valeurs des réelsa, b, cpour lesquelles la matriceA est diago- nalisable.

Exercice 6. (☀☀☀)(d’après HEC 2001 - Maths III)

On notem un paramètre réel et on considère les matricesH_m définies par :

Hm=





−1−m m 2

−m 1 m

−2 m 3−m





On note h_m l’endomorphisme de R³ ayant pour matrice H_m dans la base canonique deR³.

1) On suppose dans cette question quem= 2.

a. Écrire la matriceH2.

b. Déterminer les valeurs propres de l’endomorphisme h2 et les sous- espaces propres associés.

c. L’endomorphismeh2 est-il diagonalisable ?

Si oui, donner une base de vecteurs propres deh₂.

2) Étudier de même les valeurs propres et les sous-espaces propres de h0. Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?

3) a. Montrer qu’il existe un réela, qu’on déterminera, qui est valeur propre de l’endomorphismeh_m pour toutes les valeurs du paramètrem.

b. Déterminer, pour chaque valeur de m, le sous-espace propre de h_m associé à la valeur propre a. Montrer qu’on peut trouver un vecteur non nulv1 appartenant à tous ces sous-espaces.

4) Soit F = Vect (v₂, v₃) où v₂= (1,0,1)etv₃= (1,1,0).

Déterminer les vecteurs hm(v2) et hm(v3) et montrer que ces vecteurs appartiennent àF pour tout m réel.

En déduire que le F est stable par h_m, c’est-à-dire que h_m(F)⊂F. 5) Montrer que (v₁, v₂, v₃)est une base de R³.

Écrire la matrice de h_m dans la base(v₁, v₂, v₃).

En déduire les valeurs dem pour lesquelles l’endomorphismehm est dia- gonalisable.

Diagonalisation des matrices carrées et des endomorphismes Exercice 7. (☀)

1. Soitf l’endomorphisme deR³dont la matrice dans la base canonique est : A=





3 0 1

−1 2 −1

−2 0 0





a) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de f. b) L’endomorphisme f est-il un isomorphisme ?

c) Montrer qu’il existe une base B de R³ formée de vecteurs propres de f. Déterminer une telle base et donner la matrice def dans cette base.

2. Soitgl’endomorphisme deR³dont la matrice dans la base canonique est :

B =





1 −2 2

−2 1 2

−2 −2 5





a) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de g.

b) L’endomorphisme g est-il un isomorphisme ?

c) Montrer queg est diagonalisable, puis, déterminer une matrice diago- nale D et une matrice inversible P de deuxième ligne égale à (1 0 1) telles queD=P⁻¹B P.

Exercice 8. (☀)(extrait de EML 2007)

On considère la matrice carrée d’ordre3 suivante :A=







0 ¹₂ ¹₂

1 2 0 ¹₂

1 2 1

2 0





. a. Montrer, sans calcul, queA est diagonalisable.

b. Déterminer une matrice diagonale D et une matrice inversible et symé- trique P, de première ligne 1 1 1

et de deuxième ligne 1 −1 0 , telles queA=P D P⁻¹.

Exercice 9. (☀) (extrait de ESCP 2002 - Maths III)

On désigne parI,O,J etA les matrices carrées d’ordre3 suivantes :

I =



 1 0 0 0 1 0 0 0 1



, O=



 0 0 0 0 0 0 0 0 0



, J =



 1 1 1 1 1 1 1 1 1



, A=





−3 1 1

1 −3 1

1 1 −3





1. a) Exprimer la matriceAen fonction des matricesI etJ, puis la matrice J en fonction des matricesA etI.

b) ExprimerJ² en fonction de J et en déduire que la matrice A vérifie l’égalité :

A²+ 5A+ 4I =O.

c) Montrer que la matrice A est inversible et exprimer son inverse A⁻¹ en fonction des matricesI etJ.

2. a) SoitU la matrice-colonne



 1 1 1



. Calculer le produit matricielJ U.

En déduire une valeur propre de la matriceJ.

b) Montrer que0est valeur propre deJ et donner une base du sous-espace propre associé.

c) La matriceJ est-elle inversible ? La matriceJ est-elle diagonalisable ?

3. a) Soit X une matrice-colonne non nulle à trois éléments et λ un réel vérifiantJ X =λX.

Montrer qu’il existe un réelµque l’on donnera en fonction deλvéri- fiantAX =µX.

b) En déduire que A est diagonalisable et que ses valeurs propres sont

−1 et−4.

c) Sans expliciter la matriceA⁻¹, calculer ses valeurs propres et montrer qu’elle est diagonalisable.

Exercice 10. (☀)

1. On considère la matrice A=

2 −1

1 4

.

Déterminer leurs valeurs propres deAet les sous-espaces propres associés.

La matrice Aest-elle diagonalisable ?

Peut-on trouver une matrice diagonale semblable àA?

2. On considère la matrice B =





1 0 1 0 1 0 1 1 1



.

a) Montrer que 0 est valeur propre deB.

b) Déterminer leurs valeurs propres deBainsi que les sous-espaces propres associés.

c) La matrice B est-elle diagonalisable ?

d) On notef l’endomorphisme deR³ canoniquement associé à la matrice B. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres def. e) Justifier l’existence d’une matrice inversible P deM3(R), de première

ligne égale à (1 1 1), telle que



 0 0 0 0 1 0 0 0 2



=P⁻¹B P. Déterminer une telle matrice P.

Polynômes annulateurs Exercice 11. (☀)

SoitA=





1 0 0 0 0 −1 0 1 2



.

On notef l’endomorphisme deR³ canoniquement associé à A.

1. Montrer que A² = 2A−I, où I désigne la matrice unité de M3(R).

2. En déduire les valeurs propres de f.

3. L’endomorphisme f est-il un automorphisme deR³? Si oui, préciser l’isomorphisme réciproque f⁻¹. 4. L’endomorphisme f est-il diagonalisable ? 5. Déterminer les sous-espaces propres de f. 6. Montrer que A est semblable à



 1 0 0 0 1 1 0 0 1



.

Exercice 12. (☀☀)

SoitE un espace vectoriel réel de dimension finie.

On noteθ l’endomorphisme nul deE etid l’endomorphisme identité de E.

On appelle projecteur de E tout endomorphismef de E tel que f ◦f =f. Soitp un projecteur de E. On suppose quep6=θ etp6=id.

1) Montrer que 0et1 sont les seules valeurs propres possibles de p.

2) Montrer que 0et1 sont les valeurs propres dep.

3) On noteE1 le sous-espace propre de passocié à la valeur propre 1.

On rappelle queE₁= Ker(p−id).

Montrer que : E₁ = Im(p).

4) Montrer que E1∩Ker(p) ={0_E} et queE =E1+ Ker(p).

(si A et B sont des ensembles, A+B ={a+b |a∈A, b∈B})

En déduire que la famille obtenue en réunissant les vecteurs d’une base de E₁ et d’une base de Ker(p)forme une base B de E.

Exercice 13. (☀) (extrait de ESC 2005)

SoitB= (e₁, e₂, e₃) la base canonique deR³. On considère les matrices : A=





3 −1 0

1 6 1

−3 −8 0



 ; I =



 1 0 0 0 1 0 0 0 1



 ; O=



 0 0 0 0 0 0 0 0 0



.

On note :

× f l’endomorphisme deR³ dont la matrice relativement à la baseB estA.

× Idl’endomorphisme deR³ dont la matrice relativement à la baseBestI.

× h l’endomorphisme de R³ défini par :h=f −3Id.

× N la matrice de l’endomorphismeh relativement à la baseB. 1. Vérifier que N =





0 −1 0

1 3 1

−3 −8 −3



. En déduire : N² 6=O etN³=O.

2. Montrer que si λest valeur propre deN, alors λ= 0.

Établir alors que 0est la seule valeur propre deh.

3. En déduire que f admet 3pour unique valeur propre.

4. Déterminer une base et la dimension du sous-espace propre de f associé à la valeur propre 3.

5. L’endomorphisme f est-il diagonalisable ? Est-il bijectif ? Réduction des endomorphismes

Exercice 14. (☀☀☀)

Soitf un endomorphisme deRⁿ, avecn>2, tel que : rg(f)61 et f³+f = 0 1. Montrer que 0est l’unique valeur propre de f.

2. On suppose f 6= 0_L(E). Soitx un vecteur non nul deRⁿ. a) Montrer que si x∈Im(f), alors xest vecteur propre de f.

En déduire : Im(f)⊂Ker(f).

b) Démontrer alors : f²= 0_L(E).

Exercice 15. (☀) (d’aprèsEDHEC 2004)

On note E l’espace vectoriel des fonctions polynomiales réelles de degré in- férieur ou égal à 2.

On notee₀, e₁, e₂ les fonctions définies, pour tout réel x, par : e0(x) = 1, e1(x) =x et e2(x) =x² et on rappelle que B = (e0, e1, e2) est une base deE.

Soitf l’application qui à toute fonction polynomialeP deE associe la fonc- tionQ=f(P), oùQest la dérivée seconde de l’application qui à tout réelx associe(x²−x)P(x).

1. a) Montrer quef est un endomorphisme de E.

b) Déterminerf(e₀), f(e₁) etf(e₂) en fonction dee₀, e₁ ete₂. c) En déduire que la matrice defdans la baseBestA=





2 −2 0 0 6 −6 0 0 12



.

d) Montrer sans calcul quef est un automorphisme deE.

2. a) Donner les valeurs propres de f, puis en déduire que f est diagonali- sable.

b) Déterminer les sous-espaces propres def.

3. a) Justifier l’existence d’une matrice P inversible dont la première ligne ne contient que des «1» telle que A=P DP⁻¹, oùD=





2 0 0 0 6 0 0 0 12



.

b) Montrer : ∀n∈N, Aⁿ=P DⁿP⁻¹. 4. a) Déterminer la matriceP⁻¹.

b) En déduire explicitement, en fonction den, la matrice Aⁿ.

c) On dit qu’une suite de matrices (Mn)n∈N tend vers la matrice M, lorsque n tend vers +∞, si chaque coefficient de Mn tend vers le coefficient situé à la même place dansM.

On poseB = 1 12A .

Montrer que la suite(Bⁿ)n∈Ntend vers une matriceJvérifiantJ² =J.

Exercice 16. (☀) (d’aprèsEML 2006)

On considère les trois matrices deM2(R) suivantes : A=

0 1 0 1

, D=

0 0 0 1

, U =

1 0 0 0

1. a) Quelles sont les valeurs propres deA?

b) Déterminer une matrice inversible P telle queA=P D P⁻¹ On noteE l’ensemble des matrices carrées M d’ordre2 telles que :

A M =M D

2. a) Vérifier que E est un sous-espace vectoriel de M2(R) b) Soit M =

x y z t

une matrice deM2(R).

Montrer que M appartient à E si et seulement si : z= 0 ety=t.

c) Établir que (U, A) est une base deE.

d) Calculer le produit U A.Est-ce queU A est élément deE? 3. On notef :M2(R)→M2(R)l’application définie par :

f(M) =A M −M D pour tout M ∈M2(R).

a) Vérifier que f est linéaire.

b) Déterminer le noyau def et donner sa dimension.

c) Quelle est la dimension de l’image de f?

d) Déterminer les matriceM deM2(R) telles quef(M) =M.

En déduire que 1 est valeur propre def.

Montrer que −1est aussi valeur propre def. e) Est-ce que f est diagonalisable ?

f ) Montrer que f◦f ◦f =f.

Exercice 17. (☀)

Soitf l’application définie par :

f : M2(R) → M2(R) a b

c d

7→

d −b

−c a

1. Montrer que f est un endomorphisme deM2(R).

2. Déterminer les valeurs propres de f ainsi que les sous-espaces propres associés.

3. L’endomorphisme f est-il diagonalisable ?

Si oui, proposer une base de M2(R) formée de vecteurs propres de f.

Exercice 18. (☀) (d’aprèsECRICOME 2007)

M2(R)désigne l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre2à coefficients réels. La matriceA suivante étant donnée :

A=

3 −1 6 −2

on définit l’applicationφ_A par :

φ_A: M2(R) −→ M2(R)

M 7→ φA(M) =AM −M A

Partie 1 : Diagonalisation de A.

1) Vérifier que A² =A.En déduire les valeurs propres possibles deA.

2) Prouver que la matrice A est diagonalisable et déterminer une matrice P inversible de M2(R) et une matrice diagonale D de M2(R) dont la première colonne est nulle vérifiant la relation :

A=P DP⁻¹ Donner l’écriture matricielle de P⁻¹.

Partie 2 : Diagonalisation de φ_A.

1) Montrer que φ_A est un endomorphisme deM2(R).

2) Établir que X³−X est un polynôme annulateur deφ_A. En déduire les valeurs propres possibles deφA.

3) Montrer que la matrice M est un vecteur propre de φA associée à la valeur propreλsi, et seulement si, la matriceN =P⁻¹M P est non nulle et vérifie l’équation matricielle : DN−N D=λN.

4) On pose N =

a b c d

.

a. Trouver l’ensemble des matrices N telles queDN −N D = 0.

b. En déduire que la famille(A,M₁)avecM₁ =

−2 1

−6 3

est une base du sous-espace propre Ker(φ_A) associé à la valeur propre 0.

c. Déterminer les deux autres valeurs propres non nulles λ₁ etλ₂ de φ_A et caractériser les matrices N associées.

d. En déduire une base de chaque sous-espace propreE_λ1(φ_A)etE_λ2(φ_A) associé aux valeurs propres λ1 etλ2.

5) L’endomorphismeφ_A est-il diagonalisable ? Exercice 19(EML 2011)

On considère les matrices carrées d’ordre 3 suivantes :

I =



 1 0 0 0 1 0 0 0 1



, A=



 1 1 1 1 1 1 1 1 3





Partie I : Détermination d’une racine carrée de A

1. Sans calcul, justifier que Aest diagonalisable et non inversible.

Déterminer le rang de A.

2. Montrer que0,1et4sont les trois valeurs propres deAet déterminer les sous-espaces propres associés.

3. En déduire une matrice diagonale D de M3(R) dont les coefficients dia- gonaux sont dans l’ordre croissant, et une matrice inversibleP deM3(R), dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à 1, telles que : A=P DP⁻¹.

4. Calculer P⁻¹.

5. Montrer qu’il existe une matrice diagonale ∆ de M3(R), dont les co- efficients diagonaux sont dans l’ordre croissant, telle que ∆² = D, et déterminer ∆.

6. On note R=P∆P⁻¹. MontrerR² =A et calculerR.

Partie II : Étude d’endomorphismes

On munitR³ de sa base canoniqueB= (e1, e2, e3)et on considère les endo- morphismes f et g de R³ dont les matrices dans B sont respectivement A et R. On note C = (u1, u2, u3) la base de R³ telle que P est la matrice de passage de B àC.

1. Déterminer les matrices def etgdans la base C. 2. a) Déterminer une base et la dimension deKer (f).

b) Déterminer une base et la dimension deIm (f).

3. a) Déterminer une base et la dimension deKer (g). b) Déterminer une base et la dimension deIm(g).

4. Trouver au moins un automorphismeh de R³ tel que g=f ◦h.

On déterminerahpar sa matrice H dans la baseC, puis on exprimera la matrice de h dans la baseB à l’aide de H et de P.

Exercice 20(HEC 2013)

On note E = R3[X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 3. Soit f l’application définie sur E qui associe à tout polynômeP ∈E, le polynômef(P) défini par :

f(P)(X) =−3XP (X) +X²P⁰(X), où P⁰ est la dérivée du polynômeP.

1. a) Rappeler la dimension de E.

b) Montrer que f est un endomorphisme deE.

c) Déterminer la matrice M de f dans la base canonique deE.

d) La matrice M est-elle inversible ? Est-elle diagonalisable ? Calculer pour tout n∈N^∗,Mⁿ.

e) Préciser le noyau Ker(f) de f ainsi qu’une base de Ker(f).

f ) Déterminer l’image Im(f) def.

2. On noteidEet0Erespectivement, l’endomorphisme identité et l’endomor- phisme nul de E, et pour tout endomorphismev de E, on posev⁰= idE

et pour tout kde N^∗,v^k =v◦v^k−1.

Soientu etg deux endomorphismes deE tels que :

u⁴= 0_L(E), u³ 6= 0_L(E) et g= idE+u+u²+u³ a) Soit P un polynôme deE tel que P /∈Ker(u³).

Montrer que la famille (P, u(P), u²(P), u³(P))est un base de E.

b) Montrer que g est un automorphisme deE.

Déterminer l’automorphisme réciproque g⁻¹ en fonction de u.

c) Établir l’égalité : Ker(u) = Ker(g−idE).

d) Montrer que 1 est la seule valeur propre deg.