TD: Sous-espaces stables, Polynômes annulateurs

Agrégation externe de Mathématiques

TD: Sous-espaces stables, Polynômes annulateurs

E. AUBRY

Références:

J.-M. Arnaudiès, J. Bertin Groupes, algèbres et géométrie,

J. Fresnel Algèbre des matrices, X. Gourdon Les Maths en tête, Algèbre, E. Leichtnam Exercices de mathématiques, Algèbre et géométrie,

H. Roudier Algèbre linéaire.

Dans la suite, E est un K-espace vectoriel non nul de dimension nie, m_u désigne le polynôme minimal de u∈ L(E) et χ_u son polynôme caractéristique.

Exercice 1 Soit u ∈ L(E), F un sous-espace stable par u et v = u|F. Montrer que mv/mu et χ_v/χ_u. SoitF₁ etF₂ deux sous-espaces stables paru etu_i =u_|Fi. Montrer que si E =F₁+F₂ alors m_u=ppcm(m_u1, m_u2). Montrer que si E=F₁⊕F₂ alorsχ_u =χ_u1 ×χ_u2.

Exercice 2 Soit u∈ L(E) et mu =Qr

i=1Q^α_iⁱ la décomposition en facteurs irréductibles demu dans k[X]. Montrer qu'on a

E =⊕^r_i=1kerQ^α_iⁱ(u) et que pour toutj >α_i, on a

{0}(kerQ_i(u)(kerQ²_i(u)(· · ·(kerQ^α_iⁱ(u) = kerQ_i(u)^j, que tous ces espaces sont stables par u et que le polynôme minimal de u_|kerQβ

i(u) est Q^β_i pour tout β 6α_i.

Exercice 3 Montrer que si K=Ralorsu admet au moins une droite ou un plan stable dansE.

Montrer que si u est un endomorphisme symétrique réel (ou Hermitien complexe) alors il est diagonalisable dans une base orthonormée.

Montrer que si uest un endomorphisme normal d'un espace euclidien E, alors E se décompose en somme directe orthogonale de droites et de plans stables par u.

Exercice 4 Soit M ∈ M_n(K) etL⊃K un sur-corps deK. Montrer que le polynôme caractéristique de M est le même dansL[X]et dansK[X]. Montrer que le polynôme minimal deM est le même dans L[X] et dans K[X] (on pourra considérer une base duK-ev L et décomposer les coecients de m^L_M dans cette base).

Exercice 5 1. Montrer que tout facteur irréductible de m_u est un facteur irréductible deχ_u. 2. Soitu∈ L(E)etP un polynôme annulateur deu. Montrer que toute valeur propre de uest une

racine de P. En déduire que si χu est scindé dans k[X], alors mu/χu/mⁿ_u.

1

3. SoitM ∈ M_n(k) la matrice deu dans une base de E. En se plaçant dans M_n(L), où L est un corps de décomposition deχ_M, montrer qu'on a toujoursm_u/χ_u/mⁿ_u, quelque soitu∈ L(E). En déduire queχuetmuon exactement les mêmes facteurs irréductibles dansk[X]: Siχu =Qd

i=1Q^β_iⁱ est la décomposition de χ_u en facteurs irréductibles alors il existe(α_i)1≤i≤d tels que1≤α_i ≤β_i etm_u=Qd

i=1Q^α_iⁱ.

4. On noteE_i = KerQ^β_iⁱ(u)(appelés espaces caractéristiques deu). Montrer queE=⊕^d_i=1E_i, que Ei est stable par u, que Ei = KerQ^αi(u), et que si on note ui = u_|E

i alors χ_ui = Q^β_iⁱ(u) et m_ui =Q^α_iⁱ(u). Enn, montrer quedimEi =βi×degQi.

5. Soit F un sous espace de E stable par u. Montrer que F =⊕^d_i=1F ∩E_i. On note u¯ = u_|F et I_F =

i ∈ {1,· · · , d}/F ∩E_i 6= {0} . Montrer que χ_u¯ = Q

i∈I_F Q^β

0 i

i et m_u¯ = Q

i∈I_F Q^α

0 i

i , où 1≤α⁰_i≤α_i et1≤β_i⁰ ≤β_i pour touti∈I_F.

6. Montrer que si u est diagonalisable alors les sous-espace stables par u sont les sommes directes de sous-espaces des espaces propres de u.

Application: dresser la liste des sous-espaces de R³ stables par l'endomorphisme associé à la

matrice 



1 −1 −1

−1 1 −1

−1 −1 1



.

Exercice 6 Soit M ∈Gln(C) et N ∈N^∗. Montrer que si M^N est diagonalisable alors M est diago- nalisable. Que peut-on dire si M n'est pas inversible? Si M ∈Gl_n(R)?

Exercice 7 Soit u ∈ L(E). Pour tout x ∈ E, on pose E_x = {P(u)(x)/P ∈ K[X]} et P_x l'unique polynôme unitaire de K[X]tel que P(u)(x) = 0 si et seulement si Px/P.

1. Montrer que Ex est le plus petit sous-espace de E stable par u et contenant x. Montrer que P_x/m_u et que E_x est un espace de dimension d_x = deg(P_x). Calculer la matrice de u_|Ex dans la base (x, u(x),· · ·, u^dx−1(x)). Montrer (sans utiliser Cayley-Hamilton) queP_x/χ_u. En déduire le théorème de Cayley-Hamilton.

2. Montrer que siE_x∩E_y ={0}alorsP_x+y =ppcm(P_x, P_y). Montrer que siP_xetP_y sont premiers entres eux alors Ex+y =Ex⊕Ey.

3. Soit P ∈K[X]tel que P/mu. Montrer qu'il existe x∈E tel que Px=P (on pourra commencer par le cas où P est une puissance d'un polynôme irréductible).

Exercice 8 Soit M ∈ M_n(C). Montrer que 0 est dans l'adhérence de la classe de conjugaison {P M P⁻¹/P ∈Gl_n(C)} deM ssi M est nilpotente.

Montrer que la classe de conjugaison de M est fermé ssi M est diagonalisable.

Exercice 9 Soit E un C-espace vectoriel de dimension n et (e₁,· · · , e_n) une base de E. A tout σ ∈ S_n, on associe un automorphisme deE en posantu(e_i) =e_σ(i). Montrer queu_σ est diagonalisable.

Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de uσ (on pourra commencer par le cas oùσ est une permutation circulaire, puis considérer une décomposition de σ en cycles à support disjoints).

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