Irréductibilité des polynômes cyclotomiques

2.8 Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur Q

Référence :D. Perrin, Cours d’Algèbre, Ellipses, 1996. Leçons concernées : 102, 122, 141, 144.

Théorème 1. Pour tout n P N˚_,

n est irréductible sur Z, donc sur Q.

Démonstration. Étape 1 : soit ⇣ P C une racine primitive n-ème de l’unité, donc racine de

n. Si p est premier et ne divise pas n, alors ⇣p est aussi une racine primitive n-ème de

l’unité car n ^ p “ 1. Soit f, g les polynômes minimaux de ⇣, ⇣p _{sur Q. On décompose} npXq “ f1pXq↵1¨ ¨ ¨ frpXq↵r

en produit d’irréductibles sur ZrXs, unitaires puisque nl’est. Alors ⇣ est racine de l’un des

fi, irréductible sur Z, donc sur Q, ainsi fi est le polynôme minimal de ⇣ sur Q, et f “ fi.

De même il existe j tel que g “ fj.

Étape 2 : montrons que f “ g : supposons par l’absurde que ce n’est pas le cas, alors puisque f et g sont irréductibles, fg divise n. D’autre part, gp⇣pq “ 0 donc ⇣ est racine

de gpXp_{q, ainsi, fpXq | gpX}p_{q dans QrXs : il existe h P QrXs tel que}

g_pXp_{q “ fpXqhpXq,} mais si on écrit h “ a bh1 avec h1 P ZrXs et cph1q “ 1 (si hpXq “ ∞ iabiiX i_{, on prend}

b :“ ppcmpbiq de sorte que hpXq “ 1_b∞_ia1_iXi, et on pose a :“ pgcdpaiq), on a

bgpXpq “ afpXqh1pXq

et en passant au contenu, b “ a puisque f et g sont unitaires, ainsi fpXq | gpXp_{q dans}

ZrXs. Or par le morphisme de Frobenius, dans FprXs, si g “ arXr` ¨ ¨ ¨ ` a0

gpXpq “ arXpr` ¨ ¨ ¨ ` a0“ arpXpr` ¨ ¨ ¨ ` a0p “ parXr` ¨ ¨ ¨ ` a0qp “ gpXqp.

Soit maintenant ' un facteur irréductible de f sur Fp, alors avec

g_pXqp _{“ fpXqhpXq}

dans FprXs, ' divise g par le lemme d’Euclide. Ainsi, '2 divise n “ n,Fp, qui aura

donc une racine multiple dans son corps de décomposition, ce qui est impossible puisque n_{^ p “ 1.}

Étape 3 : soit maintenant ⇣1 _{une racine primitive n-ème de l’unité. Alors ⇣}1 _{“ ⇣}m _où

m “ p 1

1 ¨ ¨ ¨ pll avec pi - n. On a alors avec le paragraphe précédent et une récurrence

immédiate que ⇣1 _{et ⇣ ont même polynôme minimal. Ainsi, fp⇣}1_{q “ 0, de sorte que toutes}

les racines primitives n-ème de l’unité annulent f, et donc degpfq • 'pnq, mais puisque f | n, f “ n et donc n est irréductible sur Z et sur Q.