VI.— Polynômes cyclotomiques

M1 – Théorie de Galois – Université Lyon I – 2011-2012 1

VI.— Polynômes cyclotomiques

Sin≥1, on pose :

Φ_n(X) :=

n−1

Y

k=1 k∧n=1

(X−e^2ikπ/n)∈C[X] .

Rappelons queΦn(X)est un polynôme unitaire à coefficients entiers.

Exercice 1 a) Calculer Φp(X) si p est un nombre premier et montrer que Φp(X)est irréductible surQà l’aide du critère d’Eisenstein.

b) Calculer le discriminant deXⁿ−1. Montrer que pour tout nombre premier pet tout polynômef(X)∈Z[X],f(X^p) =f(X)^pmodpZ[X]. En déduire d’abord que siz∈Cest une racine deΦn(X)et sipest un nombre premier qui ne divise pasn, alors le polynôme minimal dez surQannule aussi z^p puis, queΦ_n(X)est irréductible sur Z.

c) Soitz:=e^2iπ/n. Montrer queQ(z)est une extension galoisienne deQde groupe de Galois isomorphe à(Z/nZ)^×.

d) Montrer que

Q(z)∩R=Q(z+z⁻¹) =Q(cos 2π/n) .

Déterminer l’action du groupe de Galois surcos(2π/n). Si pest premier, montrer que Q(cos(2π/p)) est l’unique sous-extension de Q(z) de degré

p−1 2 .

Exercice 2 Soitpun nombre premier. Soientζ:=e^2iπ/petH_f l’unique sous- groupe d’ordref de(Z/pZ)^∗. On définit unef−période comme la somme :

ζf,l:= X

a∈lH_f

ζ^a

pour toutl premier àp.

a) Soiente, f des entiers positifs tels queef =p−1. Soientζ_f,l1, ..., ζ_f,le les différentesf−périodes. Montrer que

(X−ζ_f,l1)...(X−ζ_f,le)

est le polynôme minimal de toutef−période surQet que toutef−période est un élément générique deQ(ζ)^Hf surQ.

b) Siζ_(f,l), ζ_(f,m)sont desf−périodes avecppremier àl, malors vérifier que :

ζ_(f,l)ζ_(f,m)= X

l⁰∈lH_f

ζ_(f,l⁰_+m) .

c) On suppose quep= 17. Montrer que3est un générateur de(Z/pZ)^∗ pour la multiplication.

d) Exprimerζ8,1 etζ8,3 en fonction deζet montrer que :

ζ8,1+ζ8,3=−1 etζ8,1ζ8,3=−4 .

En déduireζ8,1 et ζ8,3.

e) De même, montrer que les4−périodes sont les racines des polynômes :

X²−ζ8,1X−1 etX²−ζ8,3X−1 et en particulier que :

ζ_4,1= 1/4

−1 +√ 17 +

q

34−2√ 17

;

2

ζ4,2= 1/4

−1 +√ 17−

q

34−2√ 17

; ζ_4,3= 1/4

−1−√ 17 +

q

34 + 2√ 17

.

f) Montrer queζ2,1et ζ2,4sont racines de l’équation : X²−ζ4,1X+ζ4,3= 0 . En déduire que :

cos(2π/17) =

−1 16+1

16

√ 17+1

16 q

34−2√ 17+1

8 r

17 + 3√ 17−

q

34−2√ 17−2

q

34 + 2√ 17.

Q(ζ)

2

Q(ζ)^H2

2

Q(cos(2π/17))

Q(ζ)^H4

2

Q(p

34−2√ 17)

Q(ζ)^H8

2

Q(√ 17)

Q(ζ)^H16 Q