PREPA COURCELLES DEUXIEME ANNEE 1 Applications linéaires et polynômes 1. Rappels de cours a. Formules de base sur les polynômes Soit un polynôme P d’indéterminée X à coefficients dans R :

(1)

PREPA COURCELLES DEUXIEME ANNEE

1

Applications linéaires et polynômes 1. Rappels de cours

a. Formules de base sur les polynômes

Soit un polynôme P d’indéterminée X à coefficients dans R : 𝑃= 𝑎_!𝑋^!

!

!!!

, 𝑎_!,𝑎_!,…,𝑎_! ∈𝑅^!!!,𝑛∈𝑁

Si 𝑎_!≠0, alors deg 𝑃 =𝑛 et 𝑎_! est le coefficient dominant de P.

Si 𝑎_!=1, on dit que P est unitaire

Si 𝑎_!=𝑎_!=⋯=𝑎_!=0 alors 𝑃=0 et, par convention, deg 𝑃 =deg 0 =−∞

𝑎_!𝑋^!

!

!!!

= 𝑏_!𝑋^!

!

!!!

⇒∀𝑘∈ 0,𝑛 ,𝑎_! =𝑏_!

b. Opérations sur les polynômes Soit P et Q deux polynômes tels que : 𝑃= 𝑎_!𝑋^!

!

!!!

;𝑄= 𝑏_!𝑋^!, 𝑛≥𝑚

!

!!!

𝑃+𝑄 = 𝑎_!+𝑏_! 𝑋^!

!

!!!

,où 𝑏_! =0 pour 𝑛≤𝑘<𝑚

deg 𝑃+𝑄 =𝑚𝑎𝑥 deg 𝑃 ,deg 𝑄 deg 𝑃𝑄 =deg 𝑃 +deg 𝑄 deg 𝑃𝑜𝑄 =deg 𝑃 .deg 𝑄 𝑃′= 𝑘𝑎_!𝑋^!!!

!

!!!

deg 𝑃′ =n−1 c. Racine d’un polynôme

𝑎∈𝑅 est une racine ou un zéro de P si 𝑃 𝑎 =0.

Dans ce cas, ∃𝑄∈𝑅 𝑋 tel que : 𝑃(𝑋)= 𝑋−𝑎 𝑄(𝑋), où 𝑅 𝑋 est l’espace vectoriel des polynômes

Si deg 𝑃 ≤n et si P admet plus de n racines distinctes, alors 𝑃=0 2. Base canonique de 𝑹_𝒏 𝑿 et dimension de 𝑹_𝒏 𝑿

La famille ℱ = 1,𝑋,…,𝑋^! est la base canonique de 𝑅_! 𝑋 où 𝑅_! 𝑋 est l’espace vectoriel des polynômes degré inférieur ou égal à n.

dim𝑅_! 𝑋 =𝑛+1

(2)

2 3. Injections, surjections et bijections

Soit 𝑓:𝐸→𝐹

Ker 𝑓 = 0 ⇔dimKer(𝑓)=0⇔𝑓 injective Ker 𝑓 =𝐸 ⇔dimKer(𝑓)=dim 𝐸⇔𝑓=0

Im 𝑓 =𝐹⇔dimIm(𝑓)=dim𝐹 ⇔𝑓 surjective Im 𝑓 = 0 ⇔dimIm(𝑓)=0⇔𝑓=0

f bijective ⇔f injective et dim E = dim F f bijective ⇔f surjective et dim E = dim F

4. Exercices d’application

a. Soit l’application 𝒇:𝑹_𝟐 𝑿 →𝑹^𝟑 telle que 𝒇 𝑷 = 𝑷 −𝟏 ,𝑷 𝟎 ,𝑷(𝟏) . Montrer que f est un isomorphisme de 𝑹_𝟐 𝑿 sur 𝑹^𝟑

− Montrons d’abord que f est une application linéaire Soit 𝑃∈𝑅_! 𝑋 ,𝑄∈𝑅_! 𝑋 ,𝜆 ∈𝑅

𝑓 𝜆𝑃+𝑄 = ( 𝜆𝑃+𝑄) −1 ,( 𝜆𝑃+𝑄) 0 ,( 𝜆𝑃+𝑄)(1) 𝑓 𝜆𝑃+𝑄 = 𝜆𝑃 −1 +𝑄(−1 ,𝜆𝑃 0 +𝑄 0 ,𝜆𝑃 1 +𝑄(1)) 𝑓 𝜆𝑃+𝑄 = 𝜆𝑃 −1 ,𝜆𝑃 0 ,𝜆𝑃 1 +(𝑄 −1 ,𝑄 0 ,𝑄 1 ) 𝑓 𝜆𝑃+𝑄 =𝜆 𝑃 −1 ,𝑃 0 ,𝑃 1 +(𝑄 −1 ,𝑄 0 ,𝑄 1 ) 𝑓 𝜆𝑃+𝑄 =𝜆𝑓 𝑃 +𝑓(𝑄)

− Montrons d’abord que f est une bijective Pour cela, commençons par déterminer Ker(f) :

𝑃∈𝐾𝑒𝑟 𝑓 ⇔𝑓 𝑃 =0⇔𝑃 −1 =𝑃 0 =𝑃 1 =0.

Or : 𝑃 ∈𝑅_! 𝑋 ⇔deg (𝑃)≤2. Dans ce cas, le seul polynôme qui admet 3 racines distinctes est le 𝑃=0. En d’autres termes : Ker 𝑓 = 0 ⇔ 𝑓 injective Par ailleurs, dim𝑅_! 𝑋 =3=dim𝑅^!. Dès lors, comme f est injective, f est donc bijective.

Finalement f est un isomorphisme de 𝑅_! 𝑋 sur 𝑅^!

(3)

3

b. Soit l’application définie sur 𝑹_𝟑 𝑿 par 𝒇 𝑷 =𝑿.𝑷−^𝟏

𝟑 𝑿^𝟐−𝟏 .𝑷′.

Montrer que f est un automorphisme de 𝑹_𝟑 𝑿

− Montrons d’abord que f est une application linéaire Soit 𝑃∈𝑅_! 𝑋 ,𝑄∈𝑅_! 𝑋 ,𝜆 ∈𝑅

𝑓 𝜆𝑃+𝑄 =𝑋.(𝜆𝑃+𝑄)−1

3 𝑋^!−1 .(𝜆𝑃+𝑄)′

𝑓 𝜆𝑃+𝑄 =𝑋.𝜆𝑃+𝑋𝑄−1

3 𝑋^!−1 .𝜆𝑃′−1

3 𝑋^!−1 .𝑄′

𝑓 𝜆𝑃+𝑄 =𝜆 𝑋.𝑃−1

3 𝑋^!−1 .𝑃^! +𝑋𝑄′−1

3 𝑋^!−1 .𝑄′

𝑓 𝜆𝑃+𝑄 =𝜆𝑓 𝑃 +𝑓(𝑄)

− Montrons que f est une application de 𝑅_! 𝑋 dans 𝑅_! 𝑋 𝑃∈𝑅_! 𝑋 ⇔𝑃 𝑋 =𝑎𝑋^!+𝑏𝑋^!+𝑐𝑋+𝑑

Dès lors :

𝑓 𝑃 =𝑋. 𝑎𝑋^!+𝑏𝑋^!+𝑐𝑋+𝑑 −1

3 𝑋^!−1 . 𝑎𝑋^!+𝑏𝑋^!+𝑐𝑋+𝑑 ′ 𝑓 𝑃 =𝑎𝑋^!+𝑏𝑋^!+𝑐𝑋^!+𝑑𝑋−1

3 𝑋^!−1 . 3𝑎𝑋^!+2𝑏𝑋+𝑐 𝑓 𝑃 =𝑎𝑋^!+𝑏𝑋^!+𝑐𝑋^!+𝑑𝑋−𝑎𝑋^!−2

3𝑏𝑋^!−1

3𝑐𝑋^!+𝑎𝑋^!+2

3𝑏𝑋−1 3𝑐 𝑓 𝑃 =1

3𝑏𝑋^!+(2

3𝑐+𝑎)𝑋^!+(𝑑+2

3𝑏)𝑋−1 3𝑐

Donc 𝑓(𝑃)∈𝑅_! 𝑋 . Ainsi, f est endomorphisme de 𝑅_! 𝑋 .

− Montrons que f est bijective

Pour cela montrons que f est surjective. Dans cette optique, déterminons Im(f) et vérifions que dimIm(f)=dimF=dim𝑅_! 𝑋 =4, ce qui suppose de déterminer une base de Im(f)

Or : Im 𝑓 =𝑉𝑒𝑐𝑡(𝑓 1 ,𝑓 𝑋 ,𝑓 𝑋^! ,𝑓 𝑋^! Im 𝑓 =𝑉𝑒𝑐𝑡(𝑋,2

3𝑋^!+1 3,1

3𝑋^!+1 3+2

3𝑋,𝑋^!)

Ainsi : (𝑋,^!_!𝑋^!+^!_!,^!_!𝑋^!^!_!+^!_!𝑋,𝑋^!) est une famille génératrice de Im 𝑓 . Montrons alors que cette famille est libre. Soit 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 ∈𝑅^!. Considérons : 𝑎𝑋+𝑏 2

3𝑋^!+1

3 +𝑐 1 3𝑋^!+2

3𝑋 +𝑑𝑋^!=0 𝑐

3𝑋^!+ 2

3𝑏+𝑑 𝑋^!+ 𝑎+2

3𝑐 𝑋+1 3𝑏=0

(4)

4 On doit alors avoir :

𝑐 3=0 2

3𝑏+𝑑 =0 𝑎+2

3𝑐 =0 1

3𝑏=0 Ainsi :

𝑐 =0,𝑏=0. Donc 𝑑 =0 et 𝑎=0.

Par conséquent : (𝑋,^!_!𝑋^!+^!_!,^!_!𝑋^!^!_!+^!_!𝑋,𝑋^!) est une famille libre. C’est donc une base

Comme dimIm(f)=4 =dim𝑅_! 𝑋 , f est bijective

Finalement, f est donc bien un automorphisme de 𝑅_! 𝑋 .

c. Soit l’application définie sur 𝑹_𝟐 𝑿 par 𝒇 𝑷 =𝑿.𝑷^!−𝑷

− Montrer que f est un endomorphisme de 𝑹_𝟐 𝑿 Soit 𝑃∈𝑅_! 𝑋 ,𝑄∈𝑅_! 𝑋 ,𝜆 ∈𝑅

𝑓 𝜆𝑃+𝑄 = 𝑋. 𝜆𝑃+𝑄 ^!− 𝜆𝑃+𝑄 𝑓 𝜆𝑃+𝑄 = 𝑋.𝜆𝑃^!+𝑋.𝑄^!− 𝜆𝑃+𝑄

𝑓 𝜆𝑃+𝑄 = 𝜆(𝑋.𝑃^!−𝑃)+𝑋.𝑄^!−𝑄

𝑓 𝜆𝑃+𝑄 =𝜆𝑓 𝑃 +𝑓(𝑄) Par ailleurs :

deg (𝑃)≤2. Donc deg (𝑃′)≤1 et deg (𝑋𝑃′)≤2

Finalement : deg (𝑋𝑃^!−𝑃)≤2

Ainsi f est une application linéaire de 𝑅_! 𝑋 ans 𝑅_! 𝑋 . En d’autres termes, f est un endormorphisme de 𝑅_! 𝑋

− Déterminer une base de Ker(f ) et la dimension de Ker(f ) 𝑃∈𝐾𝑒𝑟 𝑓 ⇔𝑓 𝑃 =0⇔𝑋.𝑃^!−𝑃=0

𝑃∈𝑅_! 𝑋 ⇔𝑃 𝑋 =𝑎𝑋^!+𝑏𝑋+𝑐

𝑃∈𝐾𝑒𝑟 𝑓 ⇔𝑋 𝑎𝑋^!+𝑏𝑋+𝑐 ^!− 𝑎𝑋^!+𝑏𝑋+𝑐 =0 𝑃∈𝐾𝑒𝑟 𝑓 ⇔𝑋 2𝑎𝑋+𝑏 − 𝑎𝑋^!+𝑏𝑋+𝑐 =0

(5)

5

𝑃∈𝐾𝑒𝑟 𝑓 ⇔𝑎𝑋^!−𝑐 =0⇔𝑎=𝑐 =0 Donc : 𝑃∈𝐾𝑒𝑟 𝑓 ⇔𝑃 𝑋 =𝑏𝑋

Ainsi : 𝐾𝑒𝑟 𝑓 =𝑉𝑒𝑐𝑡 𝑋

Par conséquent (X) est une famille génératrice. Et, comme 𝑋 ≠0, (X) est une famille libre et donc une base de 𝐾𝑒𝑟 𝑓 . Finalement 𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟 𝑓 =1

− f est-elle injective ?

𝐾𝑒𝑟(𝑓)≠ 0 donc f n’est pas injective

− Déterminer une base de Im(f) et sa dimension 𝐼𝑚 𝑓 =𝑉𝑒𝑐𝑡(𝑓 1 ,𝑓 𝑋 ,𝑓(𝑋^!)

𝐼𝑚 𝑓 =𝑉𝑒𝑐𝑡 −1,0,𝑋^! =𝑉𝑒𝑐𝑡 −1,𝑋^! =𝑉𝑒𝑐𝑡 1,𝑋^! Ainsi : ℱ = 1,𝑋^! est une famille génératrice de Im 𝑓 . Par ailleurs, d’après le théorème du rang :

dimKer 𝑓 +rg 𝑓 =dim𝐸=dim𝑅_! 𝑋 =3 Donc : rg 𝑓 =dimIm 𝑓 =3−1=2

Comme card ℱ=2=dimIm 𝑓 et ℱ est génératrice, ℱ est une base de Im(f)

− f est-elle surjective ?

dimIm 𝑓 =2≠dim𝐹=dim𝑅_! 𝑋 =3 Ainsi f n’est pas surjective.