A30010. Premiers en polynôme
1/ Premiers en polynôme
Pour n entier = 1 à 16, les valeurs du polynôme P(n) = n2−n+ 17 sont des nombres premiers, de 17 à 257.
Pour nplus grand, ce polynôme fournit encore des nombres premiers (359, 397, 479, 523, . . . pour n= 19, 20, 22, 23, . . .).
Pour n= 17, 18, 21, 26, . . . P(n) est composé, mais avec des facteurs pre- miers qui sont eux-mêmes des valeurs deP(n).
a/ Pouvez-vous trouver des nombres premiers qui sont des diviseurs de cer- taines valeurs deP(n) sans être des valeurs prises parP(n) ?
b/ Donnez un exemple d’entier N tel qu’aucun diviseur premier de P(N) n’est lui-même une valeur prise parP(n).
Solution
Tous ces nombres premiers p, divisant 4P(n) = (2n−1)2+ 67, ont pour propriété que−67 est résidu quadratique modulop. Par la loi de réciprocité quadratique, ces nombres sont résidus quadratiques modulo 67 et appar- tiennent à 33 progressions arithmétiques de raison 134.
Pour qu’un entier p soit une valeur de P(n), il faut et il suffit que 4p−67 soit un carré parfait ; c’est plus restrictif que d’être de la formeb2−67m; si de plusp est premier, un théorème de Lagrange dit qu’il est représenté par une des formes quadratiques de discriminant −67 : P(n) en est une, mais aussin2+ 67m2 etn2−mn+ 17m2.
D’où des exemples de réponse à a/ : 71 = 22+ 67·12, 269 = 12 + 67·22, 157 = 42−4·3 + 17·32, 163 = 52−5·3 + 17·32, . . .
Exemples de réponse à b/ :P(106) = 71×157, P(108) = 71×163, . . .
