Exercices sur les endomorphismes des espaces euclidiens

(1)

Endomorphismes des espaces euclidiens

Matrices orthogonales

Exercice 1 [ 02744 ][correction]

SoitA∈ On(R). On suppose que 1 n’est pas valeur propre deA.

a) Etudier la convergence de 1

p+ 1(I_n+A+· · ·+A^p) lorsquep→+∞.

b) La suite (A^p)_p∈Nest-elle convergente ?

Déterminer les matrices deOn(R) dont tous les coefficients sont positifs ou nuls.

SoitA∈ Mn(R) inversible. En interprétantAcomme la matrice de passage entre une base orthonormée d’un espace euclidien et une autre base de cet espace et en orthonormalisant cette dernière, établir qu’il existe deux matricesQ∈ On(R) et R∈T_n⁺(R) telles queA=QR.

SoitJ la matrice deMn(R) dont tous les coefficients sont égaux à 1.

Quelles sont lesAdeOn(R) telles queJ+Asoit inversible ?

[Transformation de Cayley]

a) SiAest une matrice antisymétrique réelle, que peut-on dire des valeurs propres complexes deA?

b) Soit

ϕ:A∈ An(R)7→(In−A)(In+A)⁻¹ Montrer queϕréalise une bijection deAn(R) sur

{Ω∈ O_n(R)/−1∈/Sp(Ω)}

Soitn∈N^?. SiM ∈ Mn(R), on dira queM a la propriété (P) si, et seulement si, il existe une matriceU ∈ Mn+1(R) telle queM soit la sous-matrice de U obtenue en supprimant les dernières ligne et colonne deU et queU soit une matrice orthogonale, soit encore si, et seulement si, il existeα1, . . . , α2n+1∈Rtels que

U =







α_2n+1

M ...

α_n+2 α₁ · · · α_n α_n+1







∈ On+1(R)

a) Ici

M =







λ1 (0) . ..

(0) λ_n







est une matrice diagonale. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur lesλi pour queM ait la propriété (P).

b) IciM ∈ Sn(R). Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour queM ait la propriété (P).

c) SiM ∈GL_n(R), montrer qu’il existeU ∈ On(R) etS ∈ Sn(R) telles que M =U S.

On admettra qu’une telle décomposition existe encore siM n’est pas inversible.

d) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour queM ∈ M_n(R) quelconque ait la propriété (P).

Cette condition portera sur^tM M.

e) Montrer le résultat admis dans la question c).

Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Isométries vectorielles

Soientf ∈ O(E) et V un sous-espace vectoriel deE.

Montrer que :

V est stable pourf si, et seulement si,V^⊥ l’est Exercice 8 [ 02730 ][correction]

SoitEun espace euclidien. Quels sont les endomorphismes deE tels que pour tout sous-espace vectorielV deE

f(V^⊥)⊂(f(V))^⊥?

(2)

Soitf ∈ O(E) diagonalisable. Montrer quef est une symétrie.

SoientE un espace euclidien etf :E→Eune application linéaire vérifiant

∀x, y∈E,(x|y) = 0⇒(f(x)|f(y)) = 0 a) Calculer (u+v|u−v) pouru, v vecteurs unitaires.

b) Etablir qu’il existeα∈R⁺ vérifiant

∀x∈E,kf(x)k=αkxk c) Conclure qu’il existeg∈ O(E) vérifiant f =α.g

SoientE un espace euclidien etf une application deE versE vérifiant f(0) = 0 et∀x, y∈E, kf(x)−f(y)k=kx−yk a) Montrer que

∀x∈E, kf(x)k=kxk b) Etablir

∀x∈E, f(−x) =−f(x) c) Etablir que

∀x, y∈E, (f(x)|f(y)) = (x|y)

d) SoitB= (e1, . . . , en) une base orthonormée deE. Justifier que

∀x∈E, f(x) =

n

X

k=1

(ek |x)f(ek) e) En déduire quef est un automorphisme orthogonal deE.

Dans un espace euclidienE, soit f ∈ L(E). Montrer que deux des trois propriétés suivantes entraînent la troisième :

(i)f est une isométrie vectorielle ; (ii)f²=−Id ;

(iii)f(x) est orthogonal à xpour toutx.

Soitn∈N^?. On note Ml’espace vectoriel réelMn(R). On pose ϕ: (A, B)∈ M²7→tr^tAB

a) Montrer queϕest un produit scalaire.

b) Donner une condition nécessaire et suffisante sur Ω∈ Mpour queM 7→ΩM soitϕ-orthogonale.

Soit (E,h,i) un espace euclidien.

Pourϕ∈ O(E), on noteM(ϕ) = Im(ϕ−IdE) etF(ϕ) = ker(ϕ−IdE).

Siu∈E\ {0}, sudésigne la symétrie orthogonale par rapport à l’hyperplanu^⊥. a) Soitϕ∈ O(E). Montrer queM(ϕ)⊕^⊥F(ϕ) =E.

b) Si (u₁, . . . , u_k) est libre, montrer :

M(su₁◦ · · · ◦su_k) = Vect(u1, . . . , uk)

c) On suppose (u1, . . . , uk) libre. Soientv1, . . . , vk ∈E\ {0}tels que s_u₁◦ · · · ◦s_u_k=s_v₁◦ · · · ◦s_v_k

Montrer que (v1, . . . , vk) est libre.

On note (. | .) le produit scalaire canonique deRⁿ. Pour toute famille u= (u1, . . . , up)∈(Rⁿ)^p on pose

M_u= ((u_i|u_j))₁

6i,j6p

a) Montrer que la famille (u1, . . . up) est libre si, et seulement si,Mu est inversible.

b) On suppose qu’il existeu= (u1, . . . , up) etv= (v1, . . . , vp) telles queMu=Mv. Montrer qu’il existef ∈ O(Rⁿ) telle quef(ui) =f(vi) pour touti.

Soituun automorphisme orthogonal deE euclidien etv=u−IdE. a) Montrer que kerv= (Imv)^⊥.

b) Soit

un= 1 n

n−1

X

k=0

u^k Montrer que (un(x))_n∈

Nconverge, pour tout vecteurx, vers le projeté orthogonal dexsur kerv.

(3)

Soituun automorphisme orthogonal d’un espace euclidienE de dimensionn.

a) On posev=u−Id. Montrer

kerv= (Imv)^⊥

b) Soitx∈E. Justifier l’existence de (x₁, y)∈kerv×E tel que x=x1+v(y)

Montrer

1 N

N−1

X

k=0

u^k(x) =x1+ 1

N(u^N(y)−y) c) On notepla projection orthogonale sur kerv. Montrer

∀x∈E, lim

N→+∞

p(x)− 1 N

N−1

X

k=0

u^k(x)

= 0

p, qsont deux entiers strictement positifs. A, B deux matrices deMp,q(R) telles que^tAA=^tBB.

a) Comparer kerAet kerB.

b) Soitf (respectivementg) l’application linéaire deR^q dansR^p de matriceA (respectivementB) dans les bases canoniques deR^q et R^p. On munitR^p de sa structure euclidienne canonique. Montrer que

∀x∈R^q,hf(x), f(y)i=hg(x), g(y)i

c) Soient (ε1, . . . , εr) et (ε⁰₁, . . . , ε⁰_r) deux bases d’un espace euclidienF de dimensionrvérifiant

∀(i, j)∈ {1, . . . , r}²,hε_i, ε_ji= ε⁰_i, ε⁰_j Montrer qu’il existe une application orthogonalesdeF telle que

∀i∈ {1, . . . , r}, s(εi) =ε⁰_i d) Montrer qu’il existeU ∈ O_p(R) tel que A=U B.

Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

SoitEun espace euclidien ; on noteO(E) le groupe des endomorphismes orthogonaux deEet on définit l’ensemble

Γ ={u∈ L(E)/∀x∈E,ku(x)k6kxk}

a) Montrer que Γ est une partie convexe deL(E) qui contientO(E).

b) Soitu∈Γ tel qu’il existe (f, g)∈Γ²vérifiant f 6=g etu=1

2(f+g) Montrer queu /∈ O(E).

c) Soitv un automorphisme deE; montrer qu’il existeρ∈ O(E) etsun endomorphisme autoadjoint positif deE tels que v=ρ◦s.

On admet que ce résultat reste valable si on ne suppose plusv bijectif.

d) Soitu∈Γ qui n’est pas un endomorphisme orthogonal.

Montrer qu’il existe (f, g)∈Γ² tels que f 6=g etu=1

2(f+g) e) Démontrer le résultat admis à la question c).

Isométries de l’espace de dimension 3

SoitEun espace vectoriel euclidien orienté muni d’une base orthonormale directe B= (i, j, k). Soitf ∈ L(E) dont la matrice dansB est

A=1 3





2 2 1

1 −2 2

2 −1 −2





Etudierf.

SoitEun espace vectoriel euclidien orienté muni d’une base orthonormée directe B= (i, j, k).

(4)

Soitf ∈ L(E) dont la matrice dans la baseBest 1

2





1 −√

2 1

√2 0 −√ 2

1 √

2 1





a) Former une base orthonormée directeB⁰= (u, v, w) telle que v, w∈P :x+z= 0.

b) Former la matrice def dansB⁰ et reconnaîtref.

E désigne un espace vectoriel euclidien orienté muni d’une base orthonormée directeB= (i, j, k). Déterminer la nature, et préciser les éléments caractéristique, de l’endomorphismef deE dont la matrice dansBest donnée ci-après :

a)A=1 4





3 1 √

6

1 3 −√

6

−√

6 √

6 2



 b)A=−1 9





7 4 4

−4 8 −1

4 1 −8



 c)A=1 9





−8 4 1

4 7 4

1 4 −8





Soient (a, b)∈R² et

A=





a b b b a b b b a





a) Pour quelsa, b∈R, a-t-on A∈ O(3) ?

b) Préciser alors la nature et les éléments caractéristiques de l’endomorphismef deR³dont la matrice dans la base canonique seraitA.

Soitf une rotation d’un espace vectoriel euclidien orientéE de dimension 3 d’axe D= Vect(u).

a) On suppose qu’il existev6= 0E tel que f(v) =−v. Montrer quef est une symétrie axiale.

b) Montrer que toute rotationf peut s’écrire comme produit de deux symétries axiales.

Soitf une rotation d’axeD dirigé et orienté par un vecteur unitaireuet d’angle θ6= 0 [2π].

Soitsune réflexion deE montrer quef etscommutent si, et seulement si,D est orthogonale au plan de réflexion desou bienD est incluse dans ce plan etf est un retournement.

SoitEun espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.

a) Montrer que deux rotations de même axe ou deux retournements d’axes orthogonaux commutent.

Soitf et g deux rotations deE, autres que Id_E, telles que f◦g=g◦f. b) Soituun vecteur unitaire appartenant à l’axe de la rotationf.

Montrer queg(u) appartient à l’axe de la rotationf et en déduire queg(u) =u oug(u) =−u.

c) Dans le cas oùg(u) =u, conclure que les rotationsf etg ont même axe.

d) Dans le cas oùg(u) =−u, justifier que les axes def etg sont orthogonaux puis quef etg sont des retournements autour de ceux-ci.

SoitEun espace euclidien de dimension 3,rdans SO(E) etsune symétrie orthogonale.

Caractériser l’application

s◦r◦s

SoientE un espace vectoriel euclidien,u∈E non nul,g∈ O(E). On noteσla symétrie orthogonale par rapport à l’hyperplanu^⊥. Décrire g◦σ◦g⁻¹.

Soientf etg dans SO₃(R) tels quef 6=g etg◦f =f◦g.

Montrer quef etg sont soit deux rotations de même axe, soit deux symétries de droites orthogonales.

E désigne un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 muni d’une base orthonormée directeB= (i, j, k).

(5)

Rechercher les rotationsRdeE telles que

R(i) =−j etR(i−j+k) =i−j+k Exercice 31 [ 03190 ][correction]

SoitE un espace euclidien orienté de dimension 3 muni d’une base orthonormée directeB= (i, j, k). Soitθ∈R, déterminer les éléments caractéristiques de

Rotk,π/2◦Rotcosθi+sinθj,π

Réduction des endomorphismes orthogonaux

a) Trouver les matrices deOn(R) diagonalisables surR. b) Montrer qu’une matrice deOn(R) est diagonalisable surC. Exercice 33 [ 02562 ][correction]

Soit Ω∈ Mn(R) une matrice orthogonale.

Soitλune valeur propre complexe de Ω et X ∈ Mn,1(C) vérifiant ΩX=λX

En calculant de deux façons

t Ω ¯¯X ΩX établir queλest de module 1.

SoitA∈ On(R).

a) Montrer que siλest une valeur propre complexe deAalors|λ|= 1.

b) Soitλune valeur propre complexe non réelle deAetZ ∈ Mn,1(C) un vecteur propre associé.

On poseX= Re(Z) etY = Im(Z). Montrer que Vect(X, Y) est stable parA.

c) Montrer que les colonnesX etY ont alors même norme et sont orthogonales.

Quelle est la nature de l’endomorphisme induit par la matriceA sur l’espace Vect(X, Y) ?

Déterminer les applicationsu∈ O(E) vérifiant (u−Id)²= ˜0

Endomorphismes symétriques

Quels sont les automorphismes orthogonaux symétriques d’un espace vectoriel euclidienE?

Soitf un endomorphisme symétrique d’un espace vectoriel euclidien E.

Montrer que les espaces Imf et kerf sont supplémentaires et orthogonaux.

Soientf etg deux endomorphismes symétriques d’un espace vectoriel euclidienE.

Montrer quef◦g est symétrique si, et seulement si,f◦g=g◦f.

SoitE un espace euclidien de dimensionn>2,aun vecteur unitaire deE etkun réel.

a) Montrer que

f(x) =x+k(x|a)a définit un endomorphisme symétrique deE.

b) Etudier les valeurs propres et les sous-espaces propres def.

SoitE un espace euclidien de dimensionn>2,aun vecteur unitaire deE etkun réel aveck6=−1.

a) Montrer que

f(x) =x+k(x|a)a définit un endomorphisme symétrique deE.

b) Montrer quef est un automorphisme.

c) Etudier les valeurs propres et les sous-espaces propres def.

Soitpune projection d’un espace vectoriel euclidienE.

Montrer que la projectionpest orthogonale si, et seulement si,pest symétrique.

(6)

On poseE=Rn[X] muni du produit scalaire définie par (P |Q) =

Z 1 0

P(t)Q(t) dt a) Montrer que la relation

u(P)(x) = Z 1

0

(x+t)ⁿP(t) dt définit un endomorphismeude l’espaceE.

b) Vérifier que l’endomorphismeuest symétrique c) Calculer la trace deu.

SoitE un espace vectoriel euclidien de dimension non nulle.

a) Montrer que sipest un projecteur orthogonal deE alorspest symétrique.

Soientpetqdeux projecteurs orthogonaux de E.

b) Montrer quep◦q◦pest symétrique.

c) Montrer que

(Imp+ kerq)^⊥= Imq∩kerp d) En déduire quep◦qest diagonalisable.

On se place dans l’espace euclidienE.

1) Soitpun projecteur deE.

Etablir l’équivalence des conditions suivantes : (i)pest un projecteur orthogonal ;

(ii)∀x∈E,kp(x)k6kxk; (iii)pest symétrique.

2) Soientpetq deux projecteurs orthogonaux.

a) Montrer quep◦q◦pest symétrique.

b) Montrer que

(Imp+ kerq)^⊥= Imq∩kerp c) Montrer quep◦qest diagonalisable.

Soientpetqdes projecteurs orthogonaux d’un espace euclidienE.

a) Montrer quep◦q◦pest diagonalisable et que ses valeurs propres sont comprises entre 0 et 1.

b) Déterminer (Imp+ kerq)^⊥

c) En déduire quep◦q est diagonalisable et que ses valeurs propres sont comprises entre 0 et 1.

a) Vérifier que l’on définit un produit scalaire surR²par : hx, yi=x1y1+ 5x2y2−2 (x1y2+x2y1)

b) Pour quelle(s) valeur(s) dea∈Rl’endomorphismeucanoniquement représenté par

M =

2 a 0 0

est-il symétrique ?

Soienta∈R^?,uun vecteur unitaire deR³ euclidien.

a) Montrer que l’applicationfa définie par

fa(x) =x+ahx, uiu est un endomorphisme deR³.

b) Montrer qu’il existe un uniquea⁰6= 0 vérifiant

∀x∈R³,kfa⁰(x)k=kxk Donner la nature defa⁰ (on pourra s’intéresser àf_a²0).

c) Montrer quefa est un endomorphisme symétrique et déterminer ses éléments propres.

Théorème spectral

Soitf un endomorphisme symétrique de E vérifiant

∀x∈E, (f(x)|x) = 0 Déterminerf.

(7)

Soituun endomorphisme symétrique d’un espace euclidienE de valeurs propres λ1, . . . , λn comptées avec multiplicité et rangées en ordre croissant.

Montrer

∀x∈E,λ1kxk²6(u(x)|x)6λnkxk²

Soituun endomorphisme symétrique d’un espace euclidienE.

On pose

k= sup

λ∈Sp(u)

|λ|

Vérifier

∀x∈E,ku(x)k6kkxk

SoientE un espace vectoriel euclidien de dimensionnetS sa sphère unité S={x∈E/kxk= 1}

Pourp∈ {1, . . . , n}, on noteV_p l’ensemble des sous-espaces vectoriels deE de dimensionp.

Soitf un endomorphisme symétrique deE de valeurs propresλ16· · ·6λn

comptées avec multiplicité. Etablir λ_p= min

V∈Vp

max

x∈S∩V(f(x)|x)

Soituun endomorphisme symétrique d’un espace euclidienE de dimensionnnon nulle.

On pose

Hu={x∈E/(u(x)|x) = 1}

Enoncer une condition nécessaire et suffisante portant sur le spectre deupour qu’il existe un vecteur unitaire élément deHu.

Equations matricielles avec transposition

SoitA∈GLn(R) telle que^tA=A².

a) Montrer queA³=In et queAest orthogonale.

b) Soitf l’endomorphisme canoniquement associé à la matriceA.

Montrer que le noyau def²+f+ Id est de dimension paire et en déduire la forme de la matrice def dans une base bien choisie.

SoitA∈ Mn(R) vérifiant

A³=A^tA Montrer que la matriceA est diagonalisable surC. Exercice 55 [ 02716 ][correction]

Résoudre dansMn(R) le système

(M²+M+I_n = 0

tM M=M^tM

On étudie l’équationM^tM M =In d’inconnueM ∈ Mn(R).

a) Montrer qu’une solution est une matrice symétrique.

b) En déduire les solutions de l’équation étudiée.

Trouver lesM deM_n(R) telles que^tM =M²et que M n’ait aucune valeur propre réelle.

Matrices commutant avec leur transposée

SoitM ∈ Mn(R) qui commute avec sa transposée. Montrer queM est orthogonalement semblable à une matrice diagonale par blocs, dont les blocs diagonaux sont de taille 1 ou de taille 2 de la forme

α β

−β α

(8)

Matrices symétriques

SoitA∈ Mn(R) symétrique.

On supposeAⁿ =On. DéterminerA.

SoitA∈ Mn(R) telle que^tAA=A^tA. On suppose qu’il existep∈N^?tel que A^p= 0.

a) Montrer que^tAA= 0.

b) En déduire queA= 0.

SoitA∈ Mn(R). Montrer que la matrice^tAAest diagonalisable à valeurs propres positives.

SoitAune matrice réelle carrée d’ordren.

a) Montrer que

χtAA=χ_AtA

b) Montrer que les matrices^tAAet A^tAsont semblables.

Soient

A∈ Mn(R) et B=1 2

tA+A On noteαla plus petite valeur propre deB etβ sa plus grande.

a) Pour une colonneX ∈ Mn,1(R) comparer^tXAX et^tXBX.

b) Montrer que pour toutX ∈ Mn,1(R),

α^tXX 6^tXAX6β^tXX c) En déduire

SpA⊂[α, β]

SoitA= (ai,j)∈ Mn(R) une matrice symétrique.

a) Justifier que le spectre deA est une partie finie non vide deR. On pose

λmin= min SpAetλmax= max SpA b) Montrer

∀16i6n, λ_min6ai,i6λ_max

SoitA∈ Sn(R) à valeurs propres positives. Etablir (detA)^1/n6 1

ntrA Exercice 66 [ 02401 ][correction]

SoientAet B dansMn(R). Montrer, si A^tA=B^tB, qu’il existeQ∈ On(R) tel queB=AQ.

Non défini

Montrer que le rang deA∈ Mn(R) est égal au nombre de valeurs propres non nulles (comptées avec leur ordre de multiplicité) de^tAA.

Soientm, n∈N^? etM ∈ Mm,n(R).

Etablir l’existence deU ∈ Om(R) etV ∈ On(R) telle que la matriceN =U M V vérifie :

∀(i, j)∈ {1, . . . , m} × {1, . . . , n}, i6=j ⇒N_i,j= 0

Soit

A=







a₁ b₁ (0) c₁ a₂ . ..

. .. . .. b_n−1 (0) c_n−1 an







∈ Mn(R)

(9)

vérifiantbkck>0 pour tout 16k6n−1.

a) Montrer qu’il existe une matrice diagonale inversibleD vérifiant D⁻¹AD∈ Sn(R)

b) En déduire queAest diagonalisable.

SoitA= (ai,j)∈ Sn(R) de valeurs propresλ1, . . . , λn comptées avec multiplicité.

Etablir

n

X

i,j=1

a²_i,j=

n

X

i=1

λ²_i

SoientA, B∈ Sn(R) etp∈N. On suppose queA^2p+1=B^2p+1. Montrer que A=B.

SoitA∈ Mn(R). Montrer que les matrices^tAAetA^tAsont orthogonalement semblable i.e.

∃P ∈ On(R),^tΩ(^tAA)Ω =A^tA

SoitA∈ Mn(R) vérifiant

Sp ^tAA−A^tA

⊂R⁺ Montrer queAet ^tAcommutent.

SoitA∈ Sn(R) vérifiantA²=A. Etablir kAk₁6n√

trA

SoitM ∈ Mn(R) etA=^tM M.

a) Montrer que les valeurs propres deA sont positives.

b) Soit (Xi)16i6n une famille orthonormée de colonnes telle que la famille (M Xi)16i6n soit orthogonale.

Montrer que lesX_i sont des vecteurs propres deA.

SoientA∈ Mn(R) symétrique. On pose

B=A³+A+In

Montrer queAest un polynôme enB.

SoientA∈ Mn(R) symétrique et positive. On pose B=A²+A+In

Montrer queAest un polynôme enB.

a)A=

a b b c

∈ M2(R) etB =

2 1 1 2

A quelles conditions nécessaires et suffisantes sura, b, cexiste-t-ilP ∈ O2(R) telle queA=P B^tP?

A quelles conditions nécessaires et suffisantes suraexiste-t-ilb, c∈Ret P ∈ O2(R) tels queA=P B^tP?

A quelles conditions nécessaires et suffisantes surcexiste-t-ila, b∈Ret P ∈ O2(R) tels queA=P B^tP?

b)A=

a b c d

∈ M2(R) etB =

2 1 1 2

A quelles conditions nécessaires et suffisantes sura, b, c, dexiste-t-ilP ∈GL₂(R) telle queA=P BP⁻¹?

A quelles conditions nécessaires et suffisantes suraexiste-t-ilb, c, d∈Ret P ∈GL₂(R) tels queA=P BP⁻¹?

A quelles conditions nécessaires et suffisantes surdexiste-t-ila, b, c∈Ret P ∈GL2(R) tels queA=P BP⁻¹?

(10)

c) SiA, B∈ Mn(R), justifier l’existence de

P,Q∈Omax_n(R)det P A^tP+QB^tQ

d) Calculer ce maximum siB=

2 1 1 2

etA=

1 −2

−2 −1

. e) SiA, B∈ Mn(R),

sup

P,Q∈GLn(R)

det P AP⁻¹+QBQ⁻¹

est-il fini en général ? (Si oui, le montrer, si non, donner un contre-exemple).

f) De manière générale, siA1, . . . , Ak∈ S₂⁺(R) déterminer max

P₁,...,P_k∈O₂(R)det P1A1tP1+· · ·+PkAktPk

Soit (E,h., .i) un espace euclidien de dimensionn>2.

a) Soiente= (e1, . . . , en) une base orthonormée deE, (x1, . . . , xn) et (y1, . . . , yn) dansEⁿ. On introduit

A= Mate(x1, . . . , xn) etB= Mate(y1, . . . , yn) Déterminer les coefficients de la matrice^tAB.

b) Soit (x₁, . . . , x_n) une base deE. Montrer qu’il existe une unique famille (y₁, . . . , y_n) deE telle que

∀(i, j)∈ {1, . . . , n}²,hyi, xji=δi,j

Montrer que (y₁, . . . , y_n) est une base deE et exprimer la matrice de passage de la base (x₁, . . . , x_n) à la base (y₁, . . . , y_n) à l’aide de la matrice

M = (hx_i, x_ji)₁₆_i,j₆_n

On considère dans la suite une famille (x1, . . . , xn) deEvérifiant

∀i∈ {1, . . . , n},kx_ik= 1, ∀(i, j)∈ {1, . . . , n}², i6=j⇒ hx_i, x_ji<0 et

∃v∈E,∀i∈ {1, . . . , n},hxi, vi>0

c) Montrer que la famille (x1, . . . , xn) est une base deE.

d) On poseM = (hxi, xji)₁₆_i,j₆_n∈ Mn(R) etS=In−M/n.

Montrer queS est diagonalisable et que Sp(S)⊂]0,1[.

e) Montrer que les coefficients deM⁻¹ sont positifs.

f) Soit (y₁, . . . , y_n) déduit de (x₁, . . . , x_n) comme dans b). Montrer

∀(i, j)∈ {1, . . . , n}²,hyi, yji>0

SoientAet B dansS2(R) telles queA²=AetB²=B.

a) La matriceABest-elle diagonalisable ? b) Encadrer les valeurs propres deAB.

Orthodiagonalisation de matrices symétriques

SoitJ la matrice deM_n(R) dont tous les coefficient sont égaux à 1. Trouver P ∈ O_n(R) et D∈ M_n(R) diagonale telles que ^tP J P =D.

Justifier que

A=





1 −2 −2

−2 1 −2

−2 −2 1





est diagonalisable et trouverP telle que^tP AP soit diagonale.

On considère la matrice

A=





−2 −2 1

−2 1 −2

1 −2 −2





a) Justifiez que la matriceAest diagonalisable.

b) DéterminerP et D dansM₃(R) telles que^tP =P⁻¹,D est diagonale et

tP AP =D.

(11)

Matrices antisymétriques

SoitM ∈ Mn(R) telle queM+^tM soit nilpotente.

Montrer queM est antisymétrique.

Montrer que tout matrice antisymétrique réelle est de rang pair.

Montrer que le déterminant d’une matrice antisymétrique réelle est positif ou nul.

SoitE un espace vectoriel euclidien dont le produit scalaire est noté (.|.) Une applicationf :E→E est dite antisymétrique lorsque

∀x, y∈E,(f(x)|y) =−(x|f(y))

a) Montrer qu’une telle application est linéaire (ce qui permet dès lors de parler d’endomorphisme antisymétrique)

b) Montrer que la matrice dans une base orthonormée d’un endomorphisme antisymétrique deE est elle-même antisymétrique.

c) SoientA∈ Mn(R) une matrice antisymétrique,λune valeur propre complexe deAet X∈ Mn,1(C) une colonne non nulle vérifiant

AX=λX En calculant de deux façons^tXAX, établir¯

λ∈iR

d) En déduire que le déterminant d’un endomorphisme antisymétrique est un réel positif.

Un endomorphismeud’un espace euclidienE est dit antisymétrique si

∀x∈E, (u(x)|x) = 0

Soituun endomorphisme antisymétrique.

a) Quelles sont les seules valeurs propres réelles possibles pouru?

A quelle condition un endomorphisme antisymétrique est-il diagonalisable ? b) Etablir que, pour toutx, y∈E,

(u(x)|y) =−(x|u(y))

En déduire que la matriceAdans une base orthonormée d’un endomorphisme antisymétrique est elle-même antisymétrique.

c) SoientAune matrice antisymétrique réelle,λune valeur propre complexe de la matriceAetX un vecteur propre associé.

En étudiant^tXAX, établir que¯ λ∈iR.

SoitA∈ Mn(R) antisymétrique. Montrer queAest orthogonalement semblable à une matrice diagonale par blocs avec sur la diagonale des zéros et des blocs de la forme

0 a

−a 0

oùa∈R

SoitA∈ Mn(R) telle que^tA=−A.

a) Montrer que sinest impair alorsAn’est pas inversible.

b) Montrer que sinest pair, detA>0. Sous quelle condition l’inégalité est-elle stricte ?

Montrer queAantisymétrique réelle d’ordre nest semblable à C 0

0 0

oùCest une matrice inversible d’ordre pair.

Soitf un endomorphisme bijectif d’un espace euclidienE vérifiant :

∀(x, y)∈E²,(f(x)|y) =−(x|f(y))

(12)

a) Montrer que pour tout vecteurxdeE, les vecteursxetf(x) sont orthogonaux.

b) Montrer que l’endomorphismes=f◦f est symétrique.

Soital’une de ses valeurs propres etVa le sous-espace propre associé.

c) Soitx∈Va\ {0E}. Montrer que

(s(x)|x) =akxk²=− kf(x)k² et en déduire quea <0.

d) On considère toujoursx∈Va\ {0E}

Montrer queF = Vect(x, f(x)) etF^⊥ sont stables parf.

Montrer que l’endomorphisme induit surF parf a une matrice de la forme 0 −b

b 0

dans une base orthonormée (on préciserab) e) Conclure que la dimensionE est paire.

On noteE l’espace vectorielRⁿ,n>2, muni de sa structure euclidienne canonique. Le produit scalaire est noté (|).

On dit qu’une applicationf :E→E est antisymétrique si

∀x, y∈E, (x|f(y)) =−(f(x)|y) a) Montrer qu’une application antisymétrique deE est linéaire.

Que dire de sa matrice dans la base canonique deE?

b) Montrer que l’ensemble des endomorphismes antisymétriques deEest un sous-espace vectoriel deL(E) et donner sa dimension.

Soit

A=







0 0 1 i

0 0 −i 1

−1 i 0 0

−i −1 0 0







a) CalculerA². La matriceAest-elle diagonalisable ?

b) Les matrices antisymétriques complexes sont-elles toujours diagonalisables ?

Endomorphismes symétriques à valeurs propres po- sitives

Soit (e1, . . . , en) une base quelconque d’un espace euclidien E.

a) Montrer que l’endomorphismef donnée par f(x) =

n

X

k=1

(e_k|x)e_k est symétrique à valeurs propres strictement positives.

b) Montrer qu’il existe un endomorphisme symétriqueg deE tel que g²=f⁻¹

c) Montrer que la famille (g(e1), . . . , g(en)) est une base orthonormale deE

Soitpun entier naturel impair etuun endomorphisme symétrique d’un espace euclidien de dimensionn.

a) Montrer qu’il existe un unique endomorphisme symétriquev tel quev^p=u.

b) Que se passe-t-il sipest pair ?

c) Sipest pair etuà valeurs propres positives ? d) Sipest pair etuetv à valeurs propres positifs ?

Soitv∈ L(E) symétrique à valeurs propres strictement positives.

a) Montrer qu’il existe un endomorphismessymétrique vérifiants²=v.

b) Soituun endomorphisme symétrique deE. Etablir quev⁻¹◦uest diagonalisable.

Soituun endomorphisme symétrique à valeurs propres positives d’un espace vectoriel euclidienE.

a) Montrer qu’il existe un endomorphismev symétrique à valeurs propres positives tel queu=v².

b) Etablir l’unicité dev en étudiant l’endomorphisme induit parv sur les sous-espaces propres deu.

(13)

SoientE un espace euclidien etu∈ L(E) symétrique à valeurs propres strictement positives.

Montrer que, pour toutx∈E,

kxk⁴6hu(x), xi

u⁻¹(x), x

Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il y ait égalité.

Matrices symétriques à valeurs prores positives

Soienta, b, ctrois vecteurs de R³ et

M =





a.a a.b a.c b.a b.b b.c c.a c.b c.c





Montrer queM diagonalisable, de valeurs propres positives et detM >0.

SoitA∈ Mn(R) symétrique dont toutes les valeurs propres sont positives.

Montrer que pour toutX∈ Mn,1(R),

tXAX∈R⁺

SoitA∈ Sn(R). Montrer que

∀X∈ M_n,1(R),^tXAX >0⇔SpA⊂R⁺

On noteS_n⁺(R) l’ensemble des matrices symétriques deMn(R) de valeurs propres positives.

SoitA∈ S_n⁺(R). On veut montrer qu’il existe une unique matriceB∈ S_n⁺(R) telle que

B²=A a) Prouver l’existence.

On considère maintenantB∈ S_n⁺(R) vérifiantB²=A

b) Etablir par le lemme de décomposition des noyaux que pour toutλ >0 ker(B−√

λIn) = ker(A−λIn) c) Montrer aussi

kerB= kerA d) Conclure l’unicité.

On noteS_n⁺(R) l’ensemble des matrices symétriques deMn(R) de valeurs propres positives.

SoitA∈ S_n⁺(R). On veut montrer qu’il existe une unique matriceB∈ S_n⁺(R) telle que

B²=A a) Prouver l’existence.

b) Etablir que siB∈ S_n⁺(R) vérifieB²=Aalors pour toutλ∈SpA, ker(B−√

λI_n)⊂ker(A−λI_n) puis

ker(B−√

λI_n) = ker(A−λI_n) c) Conclure l’unicité.

On noteS_n⁺(R) l’ensemble des matrices symétriques deM_n(R) de valeurs propres positives. SoitS∈ S_n⁺(R).

a) Montrer qu’il existe une matriceA∈ S_n⁺(R) qui est un polynôme enS vérifiant A²=S

b) SoitB∈ S_n⁺(R) vérifiantB²=S. Montrer queB commute avecApuis que B=A.

On noteS_n⁺(R) l’ensemble des matrices symétriques deM_n(R) de valeurs propres positives.

SoitA∈ S_n⁺(R). Montrer qu’il existe une unique matriceB ∈ S_n⁺(R) telle que B²=A.

(14)

SoitM ∈ Mn(R). Montrer queA=^tM M ∈ Sn(R) et SpA⊂R⁺. Inversement, pourA∈ Sn(R) telle que SpA⊂R⁺, établir qu’il existe M ∈ Mn(R) telle queA=^tM M.

SoientAune matrice symétrique réelle à valeurs propres positives etU une matrice orthogonale de même taille.

Comparer tr(AU) et tr(U A) à trA.

On munitMn(R) du produit scalaire canonique. On noteAn(R) l’ensemble des matrices antisymétriques deMn(R) etS_n⁺(R) l’ensemble des matrices

symétriques à valeurs propres positives.

SoitA∈ M_n(R) telle que pour toutU ∈ O_n(R), tr(AU)6trA.

a) Déterminer le supplémentaire orthogonal deAn(R).

b) SoitB∈ An(R). Montrer que pour toutx∈R, exp(xB)∈ On(R).

c) Montrer queA∈ S_n⁺(R).

d) Etudier la réciproque.

e) Montrer que pour toute matriceM ∈ Mn(R) il existeS∈ S_n⁺(R) etU ∈ On(R) telles queM =SU.

SoitAune matrice symétrique réelle positive de taillen.

Pourα >0, on note Sα=

M ∈ Sn(R)/SpM ⊂R⁺ et det(M)>α Le but est de montrer la formule :

Minf∈Sα

tr(AM) =n(αdet(A))^1/n a) Démontrer la formule dans le casA=In.

b) Montrer que toute matriceAsymétrique réelle positive peut s’écrireA=^tP P avecP matrice carrée de taille n.

c) Démontrer la formule.

d) Le résultat est-il encore vrai siα= 0 ?

e) Le résultat reste-t-il vrai siAn’est que symétrique réelle ?

SoientA∈ Sn(R) avec SpA⊂R⁺ et B∈ Mn(R). On suppose AB+BA= 0

MontrerAB=BA= 0.

[Décomposition de Cartan]

On noteS_n⁺⁺(R) le sous-ensemble deSn(R) constitué des matrices de valeurs propres strictement positives.

SoitA∈GLn(R).

a) Etablir que^tAA∈ S_n⁺⁺(R).

b) Montrer qu’il existe une matriceS∈ S_n⁺⁺(R) telle que S²=^tAA

c) Conclure

∀A∈GLn(R),∃(O, S)∈ On(R)× S_n⁺⁺(R),A=OS d) Etablir l’unicité de cette écriture.

(15)

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

a) Posons

U_p= 1

p+ 1(I_n+A+· · ·+A^p) On a

(I−A)Up= 1

p+ 1(In−A^p+1)→0 car pour la norme euclidienne

∀M ∈ On(R),kMk=√ n Puisque 1∈/SpA,Up→0.

b) Par l’absurde siA^p converge versB alors pour toutX ∈ Mn,1(R),

A^p+1X =AA^pX donne à la limiteBX =ABX. Or 1∈/ SpA doncBX = 0 et puisque ceci vaut pour toutX, B= 0.

OrkA^pk=√

n6 →0. Absurde.

La suite (A^p)p∈Nest divergente.

SoitA∈ On(R) dont tous les coefficients sont positifs ou nuls.

Montrons que chaque colonne deAne comporte qu’au plus un coefficient non nul.

Par l’absurde, supposons que laj-ème colonne deApossède au moins deux coefficients non nuls situés enk-ième et en`-ième ligne. Puisque les colonnes deA sont orthogonales, on a pour toutj⁰ 6=j

n

X

i=1

ai,jai,j⁰= 0

Sachant que tous les coefficients sont positifs, cette équation équivaut à

∀i∈ {1, . . . , n}, ai,jai,j⁰ = 0 et on en tire

ak,j⁰ =a`,j⁰ = 0

Ainsi lesn−1 colonnes correspondant aux indices autres quej appartiennent à l’espace formé des colonnes dont lesk-ième et`-ième coefficients sont nuls. Or ces n−1 colonnes sont indépendantes et cet espace est de dimension n−2. C’est absurde.

Puisque les colonnes deAsont de norme 1 et que ses coefficients sont positifs, sur chaque colonne figure un 1 etn−1 coefficients nuls.

Le même raisonnement peut être adapté aux lignes deA pour affirmer que chacune d’elles contient un coefficient 1 etn−1 coefficients nuls.

Inversement, on vérifie aisément qu’une telle matrice est une matrice orthogonale à coefficients positifs.

En fait, les matrices considérés sont les matrices de permutation, il y en an!

On munitRⁿ de sa structure euclidienne canonique, on noteBsa base canonique etB⁰ la famille d’éléments deRⁿ déterminée parA= Mat_BB⁰. La familleB⁰ est libre, on peut donc l’orthonormaliser par le procédé de Schmidt en une familleB⁰⁰. Par changement de base,A= Mat_BB⁰⁰×Mat_B⁰⁰B⁰ avec Mat_BB⁰⁰∈ On(R) car B,B⁰⁰ orthonormées et MatB⁰⁰B⁰∈T_n⁺(R) carB⁰⁰obtenue par le procédé de Schmidt.

J+An’est pas inversible si, et seulement si, il existe une colonne non nulle vérifiantAX=−J X.

On a alors^tAJ X =−X et donc−1∈Sp(^tAJ) = Sp(J A) avec une réciproque immédiate.

Le polynôme caractéristique deJ Aétant Xⁿ⁻¹(X−X

i,j

ai,j) on obtient le critère

J+Aest inversible si, et seulement si, X

i,j

ai,j6=−1

a) Soitλune valeur propre complexe deAetX ∈ Mn,1(C) une colonne propre associée.

D’une part^tXAX¯ =λ^tXX, d’autre part¯ ^tXAX¯ =^tAXX=−λ¯^tXX.¯ Puisque^tXX¯ ∈R^+?, on obtient ¯λ=−λdoncλ∈iR.

b) Pour toutA∈ A_n(R), Ω =ϕ(A) est bien définie car−1∈/SpA.

tΩΩ = (In−A)⁻¹(In+A)(In−A)(In+A)⁻¹ orIn+Aet In−Acommutent donc^tΩΩ =In.

(16)

De plus, si ΩX=−X alors (In−A)X =−(In+A)X (carIn−Aet (In+A)⁻¹ commutent) et doncX = 0.

Ainsi l’applicationϕ:An(R)→ {Ω∈ On(R)/−1∈/ Sp(Ω)}est bien définie.

Siϕ(A) =ϕ(B) alors (In−A)(In+B) = (In+A)(In−B). En développant et en simplifiant on obtientA=B et donc l’applicationϕest injective.

Enfin soit Ω∈ On(R) tel que−1∈/ Sp(Ω).

PosonsA= (Ω +I_n)⁻¹(I_n−Ω) qui est bien définie car−1∈/SpΩ.

On a

tA= (I_n−Ω⁻¹)(Ω⁻¹+I_n)⁻¹= (Ω−I_n)Ω⁻¹Ω(I_n+Ω)⁻¹= (Ω−I_n)(I_n+Ω)⁻¹=−A etϕ(A) = Ω.

Finalementϕest bijective.

a) SiM possède la propriété (P) alors les colonnes de la matriceU introduites doivent être unitaires donc

∀16i6n, λ²_i +α²_i = 1 et elles doivent être deux à deux orthogonales donc

∀16i6=j6n, αiαj= 0

Cette dernière condition ne permet qu’au plus unα_k non nul et alors|λ_k|61 tandis que pouri6=k, |λi|= 1.

Inversement, si tous lesλi vérifient|λi|= 1 sauf peut-être un vérifiant|λk|<1, alors on peut construire une matriceU affirmant que la matriceM possède la propriété (P) en posant

∀16i6=k6n, α_i=α_2n+2−i= 0,α_k=α_2n+2−k= q

1−λ²_k etα_n+1=−λk

b) La matriceM est orthogonalement diagonalisable, on peut donc écrire M =^tP DP avecP∈ On(R) etD= diag(λ1, . . . , λn) Considérons alors la matrice

Q=

P 0 0 1

∈ O_n+1(R)

Si la matriceM possède la propriété (P) alors on peut introduireU ∈ O_n+1(R) prolongeantM et alors

V =^tQU Q=







β_2n+1

D ...

β_n+2 β₁ · · · βn βn+1







∈ On+1(R)

ce qui entraîne que les valeurs propresλ1, . . . , λn deM sont toutes égales à±1 sauf peut être une élément de [−1,1].

La réciproque est immédiate.

c) La matrice^tM M est symétrique définie positive. On peut donc en diagonalisant orthogonalement celle-ci déterminer une matriceS symétrique définie positive telle que

tM M=S²

On pose alorsU =M S⁻¹et on vérifieU ∈ O_n(R) par le calcul de ^tU U. d) Supposons que la matriceM =U S possède la propriété (P). En multipliant par la matrice

V = _t

U 0

0 1

∈ On+1(R) on démontre que la matriceS possède aussi la propriété (P).

Puisque les valeurs propres deS sont les racines des valeurs propres de ^tM M, on obtient la condition nécessaire suivante : les valeurs propres de^tM M doivent être égales à 1 sauf peut-être une dans [0,1] (ces valeurs propres sont nécessairement positives).

La réciproque est immédiate.

e) SoitM ∈ Mn(R). Pourpassez grand, la matrice M_p=M +1

pI_n

est assurément inversible ce qui permet d’écrireMp=UpSp avecUporthogonale etSp symétrique réelle.

La suite (U_p) évolue dans le compactOn(R), elle possède une valeur d’adhérence U_∞∈ On(R) et la matriceS_∞=U_∞⁻¹M est symétrique réelle en tant que limite d’une suite de matrices symétriques réelles.

On peut donc conclure.

(⇒) SiV est stable pourf alorsf(V)⊂V et puisquef est un automorphisme f(V) =V. Soient x∈V^⊥ ety∈V

(f(x)|y) = (x|f⁻¹(y)) = 0 carf⁻¹(y)∈V doncf(x)∈V^⊥ puisV^⊥ stable parf. (⇐) SiV^⊥ stable parf alorsV =V^⊥⊥aussi