Sous-espaces stables

(1)

Réduction

Sous-espaces stables

Exercice 1 [ 00755 ][Correction]

Soientuetv deux endomorphismes d'unK-espace vectorielE.

On suppose queuet v commutent, montrer queImuet Kerusont stables parv. Que dire de la réciproque ?

Montrer qu'un endomorphismef d'unK-espace vectorielE commute avec un projecteurpsi, et seulement si, les espaces ImpetKerpsont stables parf.

SoientE unK-espace vectoriel etf etg deux endomorphismes deE tels que f◦g=g◦f.

(a) Montrer queKerf et Imf sont stables pargi.e. g(Kerf)⊂Kerf et g(Imf)⊂Imf

(b) En déduire que, sipest un projecteur deE, on a :

pet f commutent si, et seulement si,ImpetKerpstables parf.

Soituun endomorphisme d'unK-espace vectorielE de dimension nie.

On pose

N =

∞

[

p=0

Keru^p etI=

∞

\

p=0

Imu^p. (a) Montrer qu'il existe n∈Ntel queN = Keruⁿ etI= Imuⁿ.

(b) Établir que N et Isont des sous-espaces vectoriels supplémentaires stables paruet tels que les restrictions deuà N et I soient respectivement nilpotente et bijective.

(c) Réciproquement on supposeE=F⊕GavecF etGsous-espaces vectoriels stables parutels que les restrictions deuàF et Gsoient respectivement nilpotente et bijective. ÉtablirF =N et G=I.

Soientu∈ L(E)(avecdimE <+∞) nilpotent etp∈N^∗ tel queu^p= 0.

(a) Établir que pour toutk∈ {1, . . . , p}, il existe un sous-espace vectorielFk de E tel que

Keru^k = Keru^k−1⊕Fk. (b) Établir queE=F1⊕ · · · ⊕Fp.

(c) Observer que la matrice deudans une base adaptée à la somme directe ci-dessus est triangulaire supérieure à coecients diagonaux nuls.

SoientE unR-espace vectoriel de dimension nie nnon nulle etf ∈ L(E) vériantf²=−Id_E.

(a) Soita∈E non nul. Montrer que la famille(a, f(a))est libre.

On poseF(a) = Vect a, f(a).

(b) Montrer qu'il existe des vecteurs de E a₁, . . . , a_p non nuls tels que E=F(a₁)⊕ · · · ⊕F(a_p).

(c) En déduire que la dimension deE est paire et justier l'existence d'une base deE dans laquelle la matrice def est simple.

SoitEunR-espace vectoriel de dimension nie etuun endomorphisme deE vériant

u³+u= 0. (a) Montrer que l'espace Imuest stable par u. (b) Pourx∈Imu, calculeru²(x)

(c) Soitv l'endomorphisme induit parusurImu. Montrer quev est un isomorphisme.

(d) En déduire que le rang de l'endomorphismeuest un entier pair.

Soientuetv deux endomorphismes d'unK-espace vectoriel de dimensionn∈N^∗. On supposeu◦v=v◦uetv nilpotent.

On désire montrer

det(u+v) = detu en raisonnant par récurrence sur la dimensionn≥1.

(2)

(a) Traiter le casn= 1et le casv= 0.

(b) Pourn≥2 etv6= 0, former les matrices de uet vdans une base adaptée à Imv.

(c) Conclure en appliquant l'hypothèse de récurrence aux restrictions deuetv au départ deImv.

SoitE=E1⊕E2unK-espace vectoriel. On considère Γ =

u∈ L(E)

Keru=E1 et Imu=E2 .

(a) Montrer, pour toutudeΓ queu˜=u_E₂ est un automorphisme deE₂. Soitφ: Γ→GL(E2)dénie parφ(u) = ˜u.

(b) Montrer que ◦est une loi interne dansΓ.

(c) Montrer queφest un morphisme injectif de(Γ,◦)dans(GL(E₂),◦). (d) Montrer que φest surjectif.

(e) En déduire que(Γ,◦)est un groupe. Quel est son élément neutre ?

On noteE=C(R,R)et on pose, pour toute f ∈E et toutx∈R, T f(x) =f(x) +

Z x 0

f(t) dt. (a) L'opérateurT est-il un automorphisme deE?

(b) Existe-t-il un sous-espace vectoriel de E de dimension nie impaire et stable parT?

Une matriceA= (ai,j)∈ Mn(R)est dite magique s'il existe un réelsvériant

∀i∈J1 ;nK,

n

X

j=1

a_i,j=set∀j ∈J1 ;nK,

n

X

i=1

a_i,j=s. On noteU la colonneU =^t 1 · · · 1

∈ Mn,1(R).

(a) Montrer que la matriceA est magique si, et seulement si, il existe des réelsλ etµvériant

AU =λU et ^tU A=µ^tU. Que dire alors des réelsλetµ?

(b) On introduit les espacesD= Vect(U)et H=

X ∈ Mn,1(R)

^tU X= 0 . Pourquoi peut-on armer que ces espaces sont supplémentaires ?

(c) Montrer qu'une matriceA deMn(R)est magique si, et seulement si, elle laisse stable les espacesD etH.

(d) En déduire la dimension de l'espace de matrices magiques deMn(R).

On se place dans leR-espace vectorielE=R[X].

(a) SoitH un sous-espace vectoriel de dimension nie etf un endomorphisme de H. Montrer qu'il existep∈Ntel que

∀k≥p,Kerf^k+1= Kerf^k.

SoitF un sous-espace vectoriel de E stable par l'opérateurD de dérivation.

(b) On suppose que F est de dimension nie non nulle. Montrer que l'endomorphisme induit parD surRn[X]est nilpotent pour toutn∈N.

Montrer qu'il existem∈Ntel queF =Rm[X].

(c) Montrer que siF est de dimension innie alorsF =R[X].

(d) Soitg∈ L(E)tel que g²=kId +D aveck∈R. Quel est le signe dek?

SoitD :P 7→P⁰ l'endomorphisme de dérivation surR[X]. Existe-t-il un endomorphisme∆ deR[X]tel que∆²= D?

Matrices semblables

SoitA∈ M3(R)vériantA²= 0etA6= 0. Établir queAest semblable à la matrice

B =





0 0 0 1 0 0 0 0 0



.

(3)

SoitA∈ Mn(K)vériant

Aⁿ⁻¹6= On et Aⁿ= On. Établir queAest semblable à la matrice

B =







0 1

(0)

... ...

... 1

(0)

₀





 .

SoitA∈ Mn(K)une matrice telle que A²= 0et de rang r >0. Montrer queAest semblable à

B= 0 Ir

0 0

.

SoitM ∈ M4(R)telle queM²+ I4= O4. Montrer queM est semblable à la matrice







0 −1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 −1

0 0 1 0





.

SoitA∈ Mn(K)une matrice de rang 1.

(a) Montrer queAest semblable à une matrice dont lesn−1premières colonnes sont nulles.

(b) En déduire

A²= tr(A).Aet det(In+A) = 1 + trA. Exercice 19 [ 02382 ][Correction]

Quelles sont les matrices carrées réelles d'ordrenqui commutent avec diag(1,2, . . . , n)et lui sont semblables ?

Soitf:Mn(C)→Cnon constante telle que :

∀(A, B)∈ Mn(C)², f(AB) =f(A)f(B). PourA∈ Mn(C), prouver l'équivalence :

Ainversible ⇐⇒ f(A)6= 0.

SoitA∈ M3(R)non nulle vériantA²= O3. Déterminer la dimension de l'espace

C=

M ∈ M3(R)

AM−M A= O₃ .

Les matrices suivantes sont-elles semblables ?

A=







3 6 −5 −2

−1 −6 5 −2

−1 −10 8 −3

0 −3 2 0





 et B=







1 2 6 21 0 2 2 5 0 0 3 2 0 0 0 5





.

SoitGune partie de Mn(R)non réduite à la matrice nulle.

On suppose que(G,×)est un groupe. Montrer qu'il existe r∈N^∗ tel que le groupe(G,×)soit isomorphe à un sous-groupe de(GL_r(R),×).

SoitA∈ M2(C). Les matricesAet ^tAsont-elles semblables ?

SoitA∈ M3(C). Montrer queAest semblable à −A si, et seulement si, tr(A) = det(A) = 0.

(4)

Étude théorique des éléments propres d'un endomor- phisme

Soitf un endomorphisme d'unK-espace vectorielE de dimension nie.

Montrer

0∈/ Sp(f) ⇐⇒ f surjectif . Exercice 27 [ 00762 ][Correction]

Soientf un endomorphisme d'unK-espace vectoriel etn∈N^∗. On suppose que 0∈Sp(fⁿ).

Montrer que0∈Sp(f).

Soituun automorphisme d'unK-espace vectorielE. Établir

Spu⁻¹= λ⁻¹

λ∈Spu . Exercice 29 [ 00765 ][Correction]

SoientE unK-espace vectoriel,u∈ L(E), a∈GL(E)et v=a◦u◦a⁻¹. ComparerSpuet Spv d'une part,Eλ(u)etEλ(v)d'autre part.

Soituun endomorphisme d'unK-espace vectorielE tel que tout vecteur non nul en soit vecteur propre.

Montrer queuest une homothétie vectorielle.

Soientu,v deux endomorphismes d'un espace vectoriel.

(a) Siλ6= 0est valeur propre deu◦v, montrer qu'il l'est aussi dev◦u. (b) PourP ∈E=R[X], on pose

u(P) =P⁰ et v(P) = Z X

0

P(t) dt ce qui dénit des endomorphismes deE. Déterminer

Ker(u◦v)et Ker(v◦u).

(c) Montrer que la propriété de la première question reste valable pourλ= 0si l'espaceE est de dimension nie.

Crochet de Lie

Soientf etg deux endomorphismes d'unC-espace vectorielE de dimension nie n≥1tels que

f◦g−g◦f =f. (a) Montrer quef est nilpotent.

(b) On supposefⁿ⁻¹6= 0. Montrer qu'il existe une baseedeE etλ∈Ctels que :

Matef =







0 1 (0)

... ...

... 1

(0) 0







et

Mateg= diag(λ, λ+ 1, . . . , λ+n−1).

SoientE unC-espace vectoriel de dimension nie non nulle,u, v dansL(E)et a, b dansC. On suppose

u◦v−v◦u=au+bv. (a) On étudie le casa=b= 0.

Montrer queuet vont un vecteur propre en commun.

(b) On étudie le casa6= 0,b= 0. Montrer queuest non inversible.

Calculeruⁿ◦v−v◦uⁿ et montrer queuest nilpotent.

Conclure queuet vont un vecteur propre en commun.

(c) On étudie le casa, b6= 0.

SoientE unC-espace vectoriel de dimension nie non nulle,(a, b)∈C²,f et g dansL(E)tels que

f ◦g−g◦f =af+bg. Montrer quef etg ont un vecteur propre commun.

(5)

SoitE un espace vectoriel complexe de dimension nie non nulle. Soientuetv des endomorphismes deE; on pose[u;v] =uv−vu.

(a) On suppose[u;v] = 0. Montrer queuetv sont cotrigonalisables.

(b) On suppose[u;v] =λuavecλ∈C^∗. Montrer queuest nilpotent et queuet v sont cotrigonalisables.

(c) On suppose l'existence de complexesαet β tels que[u;v] =αu+βv. Montrer queuet v sont cotrigonalisables.

Soientf et gdeux endomorphismes d'unK-espace vectorielE tels que f◦g−g◦f =I.

(a) Montrer que, pour tout entier n≥1, on afⁿ◦g−g◦fⁿ=nfⁿ⁻¹. (b) En dimension nie non nulle, montrer qu'il n'existe pas deux

endomorphismesf etg tels quef◦g−g◦f =I.

(c) Montrer que dansE=K[X]les endomorphismesf etgdénis parf(P) =P⁰ etg(P) =XP conviennent.

SoientE un espace vectoriel réel de dimension nie,f et gdeux endomorphismes deE vériant

f◦g−g◦f =f. (a) Calculer

fⁿ◦g−g◦fⁿ.

(b) Soit P un polynôme. Montrer que siP(f) = 0 alorsf ◦P⁰(f) = 0. (c) En déduire quef est un endomorphisme nilpotent.

SoitA∈ Mn(C). On considère l'endomorphismeT deMn(C)déni par T(M) =AM−M A.

(a) On suppose que la matriceA est nilpotente.

Montrer que l'endomorphismeT est aussi nilpotent.

(b) Réciproque ?

SoientA, B, C ∈ Mn(R)vériant

AB−BA=C.

On suppose en outre queCcommute avec les matricesAet B.

(a) On suppose que Aet diagonalisable. Montrer que la matriceC est nulle.

(b) On suppose que la matriceC est diagonalisable. Montrer à nouveau que la matriceCest nulle.

On xeA∈ Mp(R)et on considère∆ : M ∈ Mp(R)7→AM−M A. (a) Prouver que∆ est un endomorphisme deMp(R)et que :

∀n∈N^∗,∀(M, N)∈ Mp(R)²,∆ⁿ(M N) =

n

X

k=0

n k

∆^k(M)∆^n−k(N). (b) On suppose que B= ∆(H)commute avecA. Montrer :

∆²(H) = 0et ∆ⁿ⁺¹(Hⁿ) = 0. Vérier∆ⁿ(Hⁿ) =n!Bⁿ.

(c) Soitk · kune norme surMp(R). Montrer que Bⁿ

1/n−−−−−→

n→+∞ 0. (d) En déduire que la matrice B est nilpotente.

SoientE unC-espace vectoriel de dimension nie non nulle,uet v deux endomorphismes deE.

(a) On suppose dans cette question et dans la suivante queu◦v−v◦u=u. Montrer queKer(u)est stable parv.

(b) Montrer que Ker(u)6={0}.

Indice : On pourra raisonner par l'absurde et utiliser la trace.

En déduire queuetv ont un vecteur propre commun.

(c) On suppose maintenant queu◦v−v◦u∈Vect(u, v)

Montrer qu'il existe une base deE dans laquelle les matrices deuet vsont triangulaires supérieures.

(6)

Éléments propres d'un endomorphisme

SoientE=C^∞(R,R)et Dl'endomorphisme de E qui àf associe sa dérivéef⁰. Déterminer les valeurs propres deD ainsi que les sous-espaces propres associés.

SoientE=C^Net f:E→E l'application qui transforme une suiteu= (un)en v= (vn)dénie par

v₀=u₀et ∀n∈N^∗, v_n= un+u_n−1

2 .

Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres def.

SoientE l'espace des suites réelles convergeant vers 0 et∆ : E→E l'endomorphisme déni par

∀u∈E,∀n∈N, ∆(u)(n) =u(n+ 1)−u(n). Déterminer les valeurs propres de∆.

SoientE=C⁰(R,R)et Il'endomorphisme de E qui àf ∈E associe sa primitive qui s'annule en 0.

Déterminer les valeurs propres deI.

SoitE leR-espace vectoriel des fonctions continues de[0 ; +∞[versRconvergeant en+∞.

SoitT l'endomorphisme de E donné par

∀x∈[0 ; +∞[, T(f)(x) =f(x+ 1).

Déterminer les valeurs propres deT et les vecteurs propres associés.

SoitEl'espace vectoriel des fonctions continues de[0 ; +∞[ versR.

Pour toutf ∈E, on dénitT(f) : ]0 ; +∞[→Rpar T(f)(x) = 1

x Z x

0

f(t) dtpour x >0.

(a) Montrer que la fonctionT(f)se prolonge par continuité en 0 et qu'alorsT est un endomorphisme deE.

(b) Déterminer les éléments propres deT.

SoitEl'espace des fonctions f de classeC¹ de[0 ; +∞[versRvériantf(0) = 0. Pour un élémentf deE on poseT(f)la fonction dénie par

T(f)(x) = Z x

0

f(t) t dt.

Montrer queT est un endomorphisme deE et déterminer ses valeurs propres.

SoitE=C([0 ; 1],R). Sif ∈E on pose T(f) :x∈[0 ; 1]7→

Z 1 0

min(x, t)f(t) dt. (a) Vérier queT est un endomorphisme deE.

(b) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres deT.

(a) Montrer queΦ, qui àP associe

(X²−1)P⁰(X)−(4X+ 1)P(X) est un endomorphisme deR4[X].

(b) Résoudre l'équation diérentielle y⁰=

5−λ

2(x−1)+ 3 +λ 2(x+ 1)

y.

(7)

(c) En déduire les valeurs propres et les vecteurs propres deΦ.

Soita∈Retn≥2.

(a) Montrer queφ(P)(X) = (X−a) P⁰(X)−P⁰(a)

−2(P(X)−P(a))dénit un endomorphisme deRn[X].

(b) À l'aide de la formule de Taylor, déterminer l'image et le noyau deφ. (c) Trouver ses éléments propres. L'endomorphisme est-il diagonalisable ?

(a) Soit f un endomorphisme d'unR-espace vectoriel de dimension nie. Siaest valeur propre def, de multiplicitém, et siE(f, a)est le sous-espace propre attaché, montrer

1≤dimE(f, a)≤m. (b) Soit

A=







1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4





 .

Déterminer simplement les valeurs propres deA. La matriceAest-elle diagonalisable ?

Polynômes caractéristiques

(a) Montrer que deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique.

(b) Réciproque ?

SoitF un sous-espace vectoriel stable par un endomorphismeud'unK-espace vectorielE de dimension nie.

Établir que le polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit parusurF divise le polynôme caractéristique deu.

SoientA, B∈ Mn(C). On désire établir l'égalité des polynômes caractéristiques χAB=χBA.

(a) Établir l'égalité quandA∈GL_n(C).

(b) PourA /∈GLn(C), justier que pourp∈Nassez grandA+¹_pIn∈GLn(C). En déduire que l'égalité est encore vraie pourAnon inversible.

SoientA∈ Mn,p(K),B∈ Mp,n(K)et λ∈K. En multipliant à droite et à gauche la matrice

M =

λIn A B Ip

∈ Mn+p(K) par des matrices triangulaires par blocs bien choisies, établir

λ^pχ_AB(λ) =λⁿχ_BA(λ).

Soit(A, B)∈ M_p,q(R)× M_q,p(R). Montrer que X^qχAB(X) =X^pχBA(X). On pourra commencer par le cas où

A= Ir 0

0 0

.

SoientA, B∈ Mn(K)etp∈N^∗. Établir

χ_(AB)p=χ_(BA)p.

SoitA∈ Mn(R)inversible de polynôme caractéristiqueχA. Établir que pour toutx6= 0,

χ_A−1(x) = xⁿ

χ_A(0)χA(1/x).

(8)

SoitA∈ Mn(C). Montrer

χ_AA∈R[X].

(a) SiP ∈Z[X]est unitaire de degrén, existe-t-il une matriceA∈ Mn(Z)de polynôme caractéristiqueP(X)?

(b) Soient(λ1, . . . , λn)∈Cⁿ et le polynôme P=

n

Y

i=1

(X−λi).

On supposeP ∈Z[X]. Montrer que pour toutq∈N^∗ le polynôme P_q =

n

Y

i=1

(X−λ^q_i) appartient encore àZ[X].

(c) Soit P dansZ[X]unitaire dont les racines complexes sont de modules≤1. Montrer que les racines non nulles deP sont des racines de l'unité.

Soientn≥2 etf ∈ L(Cⁿ)endomorphisme de rang2.

Exprimer le polynôme caractéristique def en fonction detr(f)ettr(f²).

SoientAet B dansMn(K)(K=RouC).

(a) Comparer SpB etSp^tB.

(b) Soit C∈ Mn(K). Montrer que s'il existeλpour lequelAC=λC, alors ImC⊂Ker(A−λI_n).

(c) Soit λune valeur propre commune à AetB. Montrer qu'il existe C∈ Mn(K),C6= 0, telle queAC=CB=λC.

(d) On suppose l'existence de C∈ Mn(K)avecrgC=retAC=CB. Montrer que le PGCD des polynômes caractéristiques deAet B est de degré≥r. (e) Étudier la réciproque de d).

Calcul de polynômes caractéristiques

Calculer le polynôme caractéristique de la matrice







0 1 0

... ... ...

0 · · · 0 1 a0 a1 · · · an−1





 .

Soient

A_n =







0 1

(0)

1 ... ...

... ... 1

(0)

₁ ₀







∈ M_n(C) et P_n(x) = det(xI_n−A_n).

(a) Montrer

Pn(x) =xP_n−1(x)−P_n−2(x). CalculerP1(x)et P2(x).

(b) Pour toutx∈]−2 ; 2[, on posex= 2 cos(α)avecα∈]0 ;π[. Montrer que Pn(x) = sin (n+ 1)α

sin(α) .

(c) En déduire quePn(x)admetnracines puis queAn est diagonalisable.

Soienta1, . . . , an∈C^∗, tous distincts etP(x) = det(A+xIn)avec

A=







0 a2 · · · an

a1 0 ...

... ... an

a1 · · · an−1 0





 .

(9)

(a) CalculerP(ai)et décomposer en éléments simples la fraction P(x)

Qn

i=1(x−ai). (b) En déduiredetA.

Soienta1, . . . , an∈C^∗ deux à deux distincts.

On pose

P(x) = det(A+xI_n)avecA=







0 a₂ . . . a_n a₁ 0 ... ...

... ... ... an

a1 · · · a_n−1 0





 .

(a) CalculerP(ai).

(b) Justier queP est un polynôme unitaire de degrén.

(c) Former la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle P(X)

Qn

i=1(X−a_i). (d) En déduire le déterminant deA+In.

Applications du polynôme caractéristique

SoientA, B∈ M_n(R). Montrer queABet BAont même valeurs propres.

SoitA∈ Mn(R)telle queSpA⊂R⁺. Montrer detA≥0. Exercice 70 [ 03121 ][Correction]

SoientA, B∈ Mn(C). Établir

χ_A(B)∈GL_n(C) ⇐⇒ SpA∩SpB=∅.

(a) SoientB, C ∈ Mn(C)semblables

Pourx∈C, montrer que les matricesxI_n−B etxI_n−C sont semblables.

En est-il de même de(xI_n−B)⁻¹ et(xI_n−C)⁻¹?

(b) SoitA∈ Mn(C). On notePA(x) = det(xIn−A)etP_A⁰ le polynôme dérivé de PA.

On suppose quexn'est pas valeur propre deA, montrer tr(xI_n−A)⁻¹=P_A⁰(x)

PA(x).

Existence de valeurs propres dans un espace com- plexe

SoitEunC-espace vectoriel de dimension nie.

(a) Justier que tout endomorphisme de E possède au moins une valeur propre (b) Observer que l'endomorphismeP(X)7→(X−1)P(X)deC[X]n'a pas de

valeurs propres.

(a) Rappeler pourquoi un endomorphisme d'unC-espace vectoriel de dimension nie non nulle admet au moins un vecteur propre.

(b) Soientu, v deux endomorphismes d'unC-espace vectorielE de dimension nie non nulle.

On suppose

u◦v=v◦u.

SoientA, B∈ Mn(C)vériantAB=BA.

Montrer queAetB ont un vecteur propre en commun.

Montrer queA, B∈ Mn(C)ont une valeur propre en commun si, et seulement si, il existeU ∈ Mn(C)non nulle vériantU A=BU.

(10)

KdésigneRouC.

On dit qu'une matriceA∈ Mn(K)vérie la propriété(P)si

∃M ∈ Mn(K),∀λ∈K,det(M+λA)6= 0.

(a) Rappeler pourquoi une matrice deMn(C)admet au moins une valeur propre.

(b) Soit T une matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle.

Calculerdet(In+λT). En déduire queT vérie la propriété(P) (c) Déterminer le rang de la matrice

Tr= 0 Ir

0 0

∈ Mn(K).

(d) SoientAvériant(P)et B une matrice de même rang queA; montrer

∃(P, Q)∈GLn(K)², B=P AQ et en déduire queB vérie(P).

(e) Conclure que, dansMn(C), les matrices non inversibles vérient (P)et que ce sont les seules.

(f) Que dire des cette propriété dans le casMn(R)(on distingueranpair etn impair) ?

Soientu, v deux endomorphismes d'unC-espace vectoriel Ede dimension nie non nulle vériantu◦v=v◦u. Montrer queuet vont au moins un vecteur propre en commun.

Éléments propres d'une matrice

SoitA∈ Mn(K)vériantrg(A) = 1. Montrer qu'il existeλ∈Ktel que A²=λA et que ce scalaireλest valeur propre de A.

PourA∈ Mn(R), on pose

kAk= sup

1≤i≤n n

X

j=1

|ai,j|.

Montrer que

Sp(A)⊂[−kAk;kAk].

SoitA= (a_i,j)∈ M_n(R)vériant pour touti, j∈ {1, . . . , n} a_i,j∈R+ et pour touti∈ {1, . . . , n},Pn

j=1a_i,j= 1. (a) Montrer que1∈Sp(A).

(b) Justier que siλ∈Cest valeur propre deAalors|λ| ≤1.

(c) Observer que siλ∈Cest valeur propre deAet vérie|λ|= 1 alorsλest une racine de l'unité.

Soit la matriceA∈ Mn(R)donnée parA= (min(i, j))_1≤i,j≤n.

(a) Trouver une matrice triangulaire inférieure unitéLet une matrice triangulaire supérieureU telle queA=LU.

(b) ExprimerA⁻¹à l'aide de

N=







0 1 (0)

... ...

... 1

(0) 0





 .

(c) Montrer queSpA⁻¹⊂[0 ; 4].

Déterminer les valeurs propres de la matrice







0 · · · 0 1 ... ... ...

0 · · · 0 1 1 · · · 1 1







∈ M_n(R).

(11)

Soientn≥3 et

A=







0 (0) 1

1 ... ...

... ... 1

1 (0) 0







∈ Mn(R).

(a) Calculer les rangs deA etA².

(b) Soit f l'endomorphisme deRⁿ canoniquement représenté par la matriceA. Montrer

Kerf⊕Imf =Rⁿ.

(c) En déduire que la matriceAest semblable à une matrice de la forme







0 (0)

...

0

(0) B







avecB∈GL2(R).

(d) Calculer trB et trB².

En déduire les valeurs propres deB puis celles deA. (e) La matriceAest-elle diagonalisable ?

Soit(a₀, . . . , a_p−1)∈C^p. On suppose que 1 est racine simple de P(X) =X^p− a_p−1X^p−1+· · ·+a₁X+a₀.

On suppose la convergence d'une suite(u_n)_n∈_Ndéterminée par sesppremiers termesu₀, . . . , u_p−1et la relation de récurrence

u_n+p=a_p−1u_n+p−1+· · ·+a₁u_n+1+a₀u_n. Déterminer la limite de(u_n)_n∈_N.

Expliquer brièvement pourquoi

tCom(A)A= det(A)In.

On suppose queAadmetnvaleurs propres distinctes ; que vautdet(A)? Que représente un vecteur propre deApour^tCom(A)?

On suppose de plus queA n'est pas inversible. Déterminer dim Ker^tCom(A).

Prouver que^tCom(A)n'admet que deux valeurs propres, les expliciter.

SoitAune matrice diagonalisable deM_n(R)admettant une valeur propre multipleλ. Pour i∈J1 ;nK, montrer queλest valeur propre de la matriceA_i obtenue par suppression de lai-ème et de lai-ème colonne deA.

Éléments propres d'un endomorphisme matriciel

SoientA∈ Mn(C)etΦA l'endomorphisme deMn(C)dénie parΦA(M) =AM. (a) Montrer que les valeurs propres deΦ_Asont les valeurs propres de A.

(b) Déterminer les valeurs propres de ΨA:M 7→M A.

On considère les matrices réelles A=

1 0 0 2

etM = a b

c d

. (a) CalculerAM−M A.

(b) Déterminer les éléments propres de l'endomorphismeM 7→AM−M A.

Diagonalisabilité d'une matrice par similitude

Montrer que siAest diagonalisable alors^tAl'est aussi.

SoientA∈GL_n(K)etB ∈ M_n(K).

On suppose la matriceABdiagonalisable. Montrer queBA est diagonalisable.

(12)

Diagonalisabilité d'une matrice par l'étude des élé- ments propres

Soientα∈Ret A=

cosα −sinα sinα cosα

∈ M2(K)et B=

cosα sinα sinα −cosα

∈ M2(K). (a) On supposeK=C. La matriceAest-elle diagonalisable ?

(b) On supposeK=R. La matriceAest-elle diagonalisable ? (c) Mêmes questions avecB.

Soienta, b∈R^∗ tels que|a| 6=|b|et

A=







a b a · · · b b a b · · · a a b a · · · b ... ... ... ... ...

b a b · · · a







∈ M2n(R) (avecn≥2).

(a) Calculer le rang de A. En déduire que 0 est valeur propre deAet déterminer la dimension du sous-espace propre associé.

(b) Déterminer deux vecteurs propres non colinéaires et en déduire que Aest diagonalisable.

Monter que la matrice suivante est diagonalisable

A=







0 1 (0)

n ... 2 n−1 ... ...

... ... n

(0) 1 0







∈ Mn+1(C)

On pourra interpréterA comme la matrice d'un endomorphisme deCn[X].

Considérons la matriceAsuivante :

A=







0 1 0 0 1 k 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0







∈ M₄(C).

(a) On supposekréel, la matriceAest-elle diagonalisable dansM4(R)? (sans calculs) ;

(b) Déterminer le rang deA.

(c) Donner la raison pour laquelle le polynôme caractéristique deAest de la forme

X²(X−u₁)(X−u₂) avecu1,u2 appartenant àC^∗ et vériant

u₁+u₂=ket u²₁+u²₂=k²+ 6. (d) Étudier les éléments propres dans le cas oùu₁=u₂.

(e) En déduire les valeurs dek pour queAsoit diagonalisable dansM4(C).

Pour quelle(s) valeurs dex∈R, la matrice suivante n'est-elle pas diagonalisable ?

A=





−2−x 5 +x x x −2−x −x

−5 5 3



.

Soienta, b, c, d quatre nombres complexes aveca²+b²6= 0et

A=







a b c d

−b a −d c

−c d a −b

−d −c b a





. (a) CalculerA^tA, detAet montrer querg(A) = 2ou4.

(b) On poseα²=b²+c²+d²supposé non nul. Montrer queAest diagonalisable.

(13)

Soit(a1, . . . , an−1)∈Cⁿ⁻¹.

(a) Quel est le rang de A∈ Mn(C)dénie par

A=







0 · · · 0 a1

... ... ...

0 · · · 0 a_n−1 a1 · · · a_n−1 0







?.

(b) Avec la trace, que peut-on dire des valeurs propres ? (c) Aest-elle diagonalisable ?

SoientA∈ M_n(K)etB =

O In

A O

.

(a) Étudier les valeurs propres deB en fonction de celles deA. (b) On supposeAdiagonalisable.B est-elle diagonalisable ?

SoientA₁∈ Mp(K),A₂∈ Mq(K)etA∈ Mp+q(K)dénie par A=

A₁ O O A₂

.

Montrer queAest diagonalisable si, et seulement si,A1 etA2le sont.

Déterminer lesz complexes pour lesquels la matrice suivante est diagonalisable

M =





0 0 z 1 0 0 1 1 0



.

Soienta, b, ctrois réels non nuls. Étudier la diagonalisabilité de la matrice réelle

M =





0 a c

1/a 0 b

1/c 1/b 0



.

SoientA∈R[X]et x0, x1, . . . , xn des réels deux à deux distincts. On étudie l'applicationf qui associe à un polynômeP deRn[X] le reste de la division euclidienne deAP parB = (X−x0)(X−x1). . .(X−xn).

(a) Vérier quef est un endomorphisme deRn[X].

(b) Déterminer les valeurs propres de f ainsi que les espaces propres associés.

(c) L'endomorphismef est-il diagonalisable ?

Diagonalisabilité des matrices de rang 1

SoitA∈ Mn(C)telle quergA= 1. Établir

Adiagonalisable si, et seulement si, trA6= 0.

SoientX, Y ∈ Mn,1(K)non nuls.

À quelle condition la matriceX^tY est-elle diagonalisable ?

SoientKun sous-corps deCet

J =







1 · · · 1 ... ...

1 · · · 1





∈ M_n(K). Montrer queJ est diagonalisable.

Soit(a1, . . . , an)∈Cⁿ. La matrice(aiaj)1≤i,j≤n est-elle diagonalisable ?

Parmi les matrices élémentairesEi,j deMn(K), lesquelles sont diagonalisables ?

(14)

Soient(a₁, . . . , a_n)∈(R^∗+)ⁿ et

N=







a₁ a₁ · · · a₁ a2 a2 · · · a2

... ... ...

an an · · · an





 .

CalculerN², la matriceN est-elle diagonalisable ? Montrer queM = 2N+In est inversible et calculerM⁻¹.

Diagonalisation d'une matrice

On pose

M(a, b) =







a² ab ab b² ab a² b² ab ab b² a² ab b² ab ab a²







pour tousa, bréels.

(a) Ces matrices sont-elles simultanément diagonalisables ?

(b) Étudier et représenter graphiquement l'ensemble des(a, b)∈R² tel que M(a, b)ⁿ tend vers 0 quandntend vers∞.

Soienta,b deux réels et les matrices

A=







a b · · · b b a ... ...

... ... ... b b · · · b a







et B=







b · · · b a ... ... a b b ... ... ...

a b · · · b





 .

Réduire ces deux matrices.

Diagonaliser les matrices deMn(R)







0 · · · 0 1 ... ... ...

0 · · · 0 1 1 · · · 1 1





 et







1 · · · 1 ... 0 · · · 0 ...

... ... ... ...

... 0 · · · 0 ...

1 · · · 1





 .

Soit

Mn=







0 (b)

...

(a) 0





∈ Mn(C). À quelle condition la matriceMn est-elle diagonalisable ? Déterminer alors une base de vecteurs propres

Calcul de puissances d'une matrice

CalculerAⁿ pour

A=





2 1 1 1 2 1 1 1 2



.

Soit

A=

cosθ 2 sinθ

1

2sinθ cosθ

. (a) Déterminer deux réelsα, βtel que A²=αA+βI2. (b) Calculer Aⁿ pourn≥1.

(15)

Soit

M =







0 1

...

1 0





∈ Mn(R)avecn≥2. (a) Montrer queM est diagonalisable.

(b) Déterminer le polynôme minimal deM. (c) CalculerM^p pourp∈N.

Applications diverses de la diagonalisabilité

(a) Déterminer les valeurs propres de

A=





1 3 0

3 −2 −1 0 −1 1



.

(b) Combien y a-t-il de matrice M telle queM²=AdansMn(C)? dans Mn(R)?

Soit

A= 5 3

1 3

∈ M2(R).

(a) Diagonaliser la matriceAen précisant la matrice de passageP (b) Soit M ∈ M2(R)une matrice telle queM²+M =A.

Justier que la matriceP⁻¹M P est diagonale.

(c) Déterminer les solutions de l'équationM²+M =A. Exercice 118 [ 00815 ][Correction]

Pourn≥2, on considère la matrice

J =







0 1

(0)

... ... ...

0 ... 1

1 0 · · · 0





 .

(a) Montrer que la matriceJ est diagonalisable dansMn(C) (b) Application: Exprimer

a0 a1 · · · a_n−1 a_n−1 ... ... ...

... ... ... a1

a1 · · · an−1 a0

.

Les matrices





1 2 3 3 1 2 2 3 1



 et





1 3 2 2 1 3 3 2 1





sont-elles semblables ?

SoientA, B∈ Mn(R)avecB diagonalisable.

Montrer

AB³=B³A =⇒ AB=BA.

Soientp, q∈N^∗et A, B, M ∈ Mn(C)avecA, B diagonalisables. Montrer A^pM B^q = O_n =⇒ AM B= O_n.

Soitϕune application de M2(C)versCvériant :

∀A, B∈ M₂(C), ϕ(AB) =ϕ(A)ϕ(B)etϕ λ 0

0 1

=λ. Montrer queϕ= det.

(16)

On considère trois suites réelles(un)_n≥0,(vn)_n≥0 et(wn)_n≥0 vériant







un+1=−un+vn+wn

vn+1=un−vn+wn

wn+1=un+vn−wn.

À quelle condition sur(u0, v0, w0), ces trois suites sont-elles convergentes ?

SoitM ∈ M_n(R)telle queM² soit triangulaire supérieure à coecients

diagonaux deux à deux distincts. Montrer queM est aussi triangulaire supérieure.

(a) Soit D∈ Mn(C). Déterminer l'inverse de I_n D O_n I_n

.

(b) SoientA, B∈ Mn(C)diagonalisables telles queSpA∩SpB=∅. Montrer que pour tout matriceC∈ Mn(C), les matrices suivantes sont semblables

A C On B

et

A On

On B

.

(a) Déterminer les entierskpour lesquelles l'équation e^iθ+ e^ikθ = 1 admet au moins une solutionθ∈R.

(b) Soit Sk l'ensemble des suites réellesutelles que

∀n∈N, un+k=un+u_n+k−1.

À quelle condition surk,Sk contient-il une suite périodique non nulle.

On dit qu'une matriceA∈ Mn(C)vérie la propriété(P)si

∃α∈C, A+^tComA=αIn. (a) Traiter le casn= 2.

Désormais, on supposen≥3.

(b) Rappeler le lien entre la comatrice et l'inverse d'une matrice inversible.

(c) SoitA, B ∈GL_n(C). Montrer Com(AB) = ComAComB

(d) Montrer que si A∈GL_n(C)vérie(P)alors toutes les matrices semblables à Avérient aussi(P).

(e) On suppose la matriceA inversible, non scalaire et ne possédant qu'une seule valeur propre.

Montrer queAvérie(P)si, et seulement si, il existe une matriceN telle N²= O_n et un complexeλtelle queλⁿ⁻²= 1pour lesquelsA=λ.I_n+N. (f) On suppose queAvérie la propriété(P)et possède au moins deux valeurs

propres distinctes. Montrer queAest diagonalisable et conclure quelles sont les matrices de cette forme vériant(P).

Diagonalisabilité d'un endomorphisme par l'étude de ses éléments propres

Soituun endomorphisme d'unK-espace vectoriel de dimension nieE. On suppose que

Im(u−IdE)∩Im(u+ IdE) ={0E}. Montrer queuest diagonalisable.

SoitE=Rn[X]. Pour P∈E, on poseϕ(P) =P−(X+ 1)P⁰. (a) Justier queϕdénit un endomorphisme deRn[X].

(b) Déterminer les valeurs propres de ϕet justier queϕest diagonalisable.

(17)

Montrer que l'application

f: P(X)7→(X²−1)P⁰⁰(X) + 2XP⁰(X)

est un endomorphisme de l'espace vectoriel réelE=Rn[X]. Former la matrice de f relative à la base canonique deE. En déduire la diagonalisabilité def ainsi que ses valeurs propres et la dimension des sous-espaces propres associés.

SoientE=Rn[X]et deux réelsa6=b. PourP ∈E, on pose ϕ(P) = (X−a)(X−b)P⁰−nXP. (a) Montrer queϕest un endomorphisme deE.

(b) Déterminer les valeurs propres de ϕet en déduire queϕest diagonalisable.

Étudier la diagonalisabilité de l'endomorphismeφdeMn(R)déni par φ(M) =M+ tr(M)In.

SoientE unK-espace vectoriel de dimension nie, f ∈ L(E)etF ∈ L(L(E)) dénie parF(u) =f◦u.

(a) Montrer quef est diagonalisable si, et seulement si,F l'est.

(b) Montrer que f etF ont les mêmes valeurs propres.

(c) Soit λune valeur propre def. ÉtablirdimEλ(F) = dimE×dimEλ(f).

SoientE un espace vectoriel de dimension nie, un projecteur xé deE et F:L(E)→ L(E)dénie par

F:f 7→ 1

2(f ◦p+p◦f). (a) F est-elle linéaire ?

(b) F est-elle diagonalisable ?

(c) Quelle est la dimension des sous-espaces propres associés ?

SoientA∈R[X]et B∈R[X] scindé à racines simples de degrén+ 1. SoitΦ l'endomorphisme deRn[X]qui àP ∈R[X]associe le reste de la division euclidienne deAP parB. Déterminer les éléments propres deΦ.

L'endomorphismeΦest-il diagonalisable ?

SoitA, Bxés dansRⁿ[X].

On notef l'application qui, àP ∈Rⁿ[X]associe le reste de la division euclidienne deAP parB.

(a) Montrer quef est un endomorphisme ; est-ce un isomorphisme ?

(b) On suppose dans la suite que les polynômes AetB premiers entre eux avec B scindé à racines simples ; donner les valeurs propres def.

(c) L'endomorphismef est-il diagonalisable ?

SoitEun espace vectoriel réel de dimension nie, f ∈ L(E)tel quef²=f. Étudier les éléments propres et la diagonalisabilité de l'endomorphisme u7→f u−uf deL(E).

SoientE un espace vectoriel réel de dimension nie etf ∈ L(E). On dénit T ∈ L(E)→ L(E)par

T(g) =f◦g−g◦f.

Montrer que sif est diagonalisable, alorsT est diagonalisable ; sif est nilpotente, alorsT est nilpotente.

SoientE unC-espace vectoriel de dimension nie ete= (e1, . . . , en)une base de E.

On considère l'endomorphismef deE déterminé par

∀k∈ {1, . . . , n}, f(ek) =ek+

n

X

i=1

ei.

(18)

(a) Donner la matrice def danse.

(b) Déterminer les sous-espaces propres def. (c) L'endomorphisme f est-il diagonalisable ?

(d) Calculer le déterminant de f. L'endomorphismef est-il inversible ? Exercice 140 [ 03450 ][Correction]

On considère unR-espace vectoriel de dimension nieE,uun endomorphisme de E,U = (ui,j)la matrice deudans une base deE,ei,j les projecteurs associés à cette base etEi,j la matrice de ces projecteurs.

On considèreϕl'endomorphisme dansL(E)tel que ϕ(v) =u◦v.

(a) Montrer queϕetuont les mêmes valeurs propres.

(b) Calculer U Ei,j en fonction desEk,j. En déduire qu'il existe une base deL(E) dans laquelle la matrice deϕest diagonale par blocs.

(c) Exprimer cette matrice.

SoientD= diag(λ1, . . . , λn)etϕ:M 7→DM−M D endomorphisme deMn(K). (a) Calculerϕ(Ei,j)oùEi,j désigne la matrice élémentaire d'indice(i, j)de

Mn(K).

Quelle particularité présente la matrice deϕrelativement à la base canonique deMn(K)?

(b) Soit f un endomorphisme diagonalisable d'unK-espace vectoriel E de dimension nie.

L'endomorphismeφ:u7→f◦u−u◦f deL(E)est-il diagonalisable ? Exercice 142 [ 01324 ][Correction]

SoientE=S2(R),

A= a b

c d

∈ M₂(R) etΦ :S2(R)→ S2(R)dénie par

Φ(S) =AS+S^tA. (a) Déterminer la matrice deΦdans une base deE.

(b) Quelle relation existe-t-il entre les polynômes caractéristiques χΦet χA? (c) SiΦest diagonalisable, la matrice Al'est-elle ?

(d) SiA est diagonalisable, l'endomorphismeΦl'est-il ?

Applications de la diagonalisabilité d'un endomor- phisme

Soitf un endomorphisme d'unK-espace vectorielE de dimensionnadmettant exactementnvaleurs propres distinctes.

(a) Montrer qu'il existe a∈E tel que la famille a, f(a), . . . , fⁿ⁻¹(a)

soit une base deE.

(b) Quelle est la forme de la matrice de f dans cette base ?

Soitf un endomorphisme diagonalisable d'un K-espace vectoriel E de dimension n.

On noteCf l'ensemble des endomorphismes qui commutent avecf. (a) Montrer queCf est un sous-espace vectoriel deL(E).

(b) Montrer qu'un endomorphismeg appartient àCf si, et seulement si, chaque sous-espace propre def est stable parg.

(c) En déduire que

dimCf = X

λ∈Sp(f)

α²_λ

oùαλ est l'ordre de multiplicité de la valeur propreλ.

(d) On suppose que les valeurs propres def sont simples. Montrer que (Id, f, . . . , fⁿ⁻¹)est une base deCf.

SoitEun espace vectoriel de dimension nien≥2.

(a) Donner un exemple d'endomorphisme f deE dont l'image et le noyau ne sont pas supplémentaires.

(b) On suppose, dans cette question seulement, quef est un endomorphisme de E diagonalisable.

Justier que l'image et le noyau def sont supplémentaires.

(c) Soitf un endomorphisme deE. Montrer qu'il existe un entier naturel non nulktel que

Im(f^k)⊕Ker(f^k) =E.

L'endomorphismef^k est-il nécessairement diagonalisable ?

(19)

(d) Le résultat démontré en c) reste-t-il valable si l'espace est de dimension innie ?

Soitf un endomorphisme d'unK-espace vectorielE de dimensionn∈N^∗. On suppose quef possède exactementnvaleurs propres distinctes. Montrer que seuls les polynômes enf commutent avecf.

On pourra introduire un polynôme interpolateur convenable.

SoientE unR-espace vectoriel de dimension nie etu∈ L(E),v∈ L(E) diagonalisables vériant

u³=v³. Montrer queu=v.

Trigonalisabilité d'une matrice

SoientA, B∈ Mn(C)vériantAB=On.

(a) Montrer que les matricesA etB ont un vecteur propre en commun.

(b) Établir que AetB sont simultanément trigonalisables.

Trigonalisation d'une matrice

Soit

A=





2 −1 −1

2 1 −2

3 −1 −2



. (a) Calculer le polynôme caractéristique de A. (b) Trigonaliser la matriceA.

Soit

A=





0 1 1

−1 1 1

−1 1 2



.

(a) Calculer le polynôme caractéristique de A. (b) Trigonaliser la matriceA.

Trigonaliser la matrice

A=





1 0 0 0 0 −1 0 1 2



.

Montrer que la matrice





13 −5 −2

−2 7 −8

−5 4 7





est trigonalisable et préciser une matrice de passage.

(a) Déterminer l'ensembleΩdes réelsatels que

A=





2 1 −2 1 a −1 1 1 −1





n'est pas diagonalisable.

(b) Poura∈Ω, trouverP inversible telle queP⁻¹AP soit triangulaire supérieure.

Réduction et sous-espaces stables

Soientf, gendomorphisme d'un K-espace vectoriel E de dimension nie.

On suppose quef est diagonalisable. Montrer :

f◦g=g◦f ⇐⇒ chaque sous-espace propre de f est stable parg.

(20)

SoitE unC-espace vectoriel de dimension nie.

Déterminer lesf ∈ L(E)tels que tout sous-espace vectoriel de E stable parf possède un supplémentaire stable.

SoientE unK-espace vectoriel muni d'une baseB,f ∈ L(E)etH un hyperplan.

(a) Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel

u∈E^∗

u(H) ={0} . (b) Montrer que si H a pour équationu(x) = 0alorsH est stable parf si, et

seulement si,u◦f est colinéaire àu. (c) SoientAet Lles matrices dansB def et u.

Montrer queH est stable parf si, et seulement si,^tLest vecteur propre de^tA (d) Déterminer les plans stables par

A=





3 −2 −4

−1 1 1

1 −2 −2



.

Soituun endomorphisme d'unR-espace vectorielE de dimension nie non nulle Montrer qu'il existe une droite vectorielle ou un plan vectoriel stable paru.

Soientf une endomorphisme deRⁿ et Asa matrice dans la base canonique de Rⁿ. On suppose queλest une valeur propre non réelle deAet queZ ∈Cⁿ est un vecteur propre associé.

On noteX etY les vecteurs deRⁿ dont les composantes sont respectivement les parties réelles et imaginaires des composantes deZ.

(a) Montrer queX et Y sont non colinéaires.

(b) Montrer que Vect(X, Y)est stable parf. (c) On suppose que la matrice def est donnée par

A=







1 1 0 0

−1 2 0 1 0 0 −1 0

1 0 0 1





. Déterminer tous les plans stables parf.

Énoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

SoitEunC-espace vectoriel de dimension nie etu∈ L(E)tel que u³= Id.

Décrire les sous-espaces stables deu.

Même question avecE unR-espace vectoriel.

Soituun endomorphisme diagonalisable d'unK-espace vectorielE de dimension nie.Montrer qu'un sous-espace vectorielF non nul est stable parusi, et seulement si, il possède une base de vecteurs propres deu.

Soitf l'endomorphisme de R³dont la matrice est





5 1 −1

2 4 −2

1 −1 3





dans la base canonique.

Déterminer les sous-espaces vectoriels stables parf.

Application de la trigonalisabilité

Expliquer pourquoi le déterminant deA∈ Mn(R)est le produit des valeurs propres complexes deA, valeurs propres comptées avec multiplicité.

SoitA∈ Mn(K). On suppose χA scindé.

(a) Justier queAest trigonalisable.

(b) Établir que pour toutk∈N,

Sp(A^k) = λ^k

λ∈Sp(A) .

(21)

SoitA∈ M_n(Z)de polynôme caractéristique

n

Y

i=1

(X−λ_i)avecλ_i∈C.

Déterminer une matrice à coecients entiers de polynôme caractéristique

n

Y

i=1

(X−λ^p_i).

Montrer que pour toutA∈ Mn(C),

det(exp(A)) = exp(trA).

SoientA∈ M_n(K)etP ∈K[X].

On suppose le polynôme caractéristique deAde la forme χ_A(X) =

n

Y

k=1

(X−λ_k). Exprimer le polynôme caractéristique deP(A).

(a) SoientAet B dansM2(K)telles queAB=BA. Montrer queB ∈K[A]ou A∈K[B].

(b) Le résultat subsiste-t-il dans M3(K)?

SoitA∈ Mn(C)telle quetr(A^m)→0quand m→+∞. Montrer que les valeurs propres deAsont de module<1

SoientA, B∈ Mn(C)vériant

∀m∈N,tr(A^m) = tr(B^m).

Montrer que les matricesA etB ont les mêmes valeurs propres.

PourA= (a_i,j)∈ M_n(C)etB= (b_i,j)∈ M_n(C), on dénitA∗B∈ M_n2(C)par

A∗B=







a_1,1B · · · a_1,nB

... ...

an,1B · · · an,nB





.

(a) Montrer que siA, A⁰, B, B⁰ ∈ Mn(C)alors(A∗B)(A⁰∗B⁰) = (AA⁰)∗(BB⁰). (b) En déduire queA∗Best inversible si, et seulement si,AetB sont inversibles.

(c) Déterminer le spectre deA∗B.

En déduire le polynôme caractéristique, la trace et le déterminant deA∗B.

SoitA∈ Mn(C). Déterminer les valeurs propres deA^k pourk∈N.

Polynômes en un endomorphisme ou une matrice

SoientE unK-espace vectoriel de dimensionnetu∈ L(E). On suppose qu'il existe un vecteurx0∈E tel que la famille x0, u(x0), . . . , uⁿ⁻¹(x0)

soit libre.

Montrer que seuls les polynômes enucommutent avecu.

SoientAet B deux matrices réelles carrées d'ordrentelles qu'il existe un polynômeP ∈R[X]de degré au moins égal à 1 et vériant

P(0) = 1 etAB=P(A). Montrer queAest inversible et queAetB commutent.