Exercices sur la réduction

(1)

Réduction

Sous-espaces stables

Exercice 1 [ 00755 ][correction]

Soientuetv deux endomorphismes d’unK-espace vectorielE.

On suppose queuet v commutent, montrer que Imuet kerusont stables parv.

Que dire de la réciproque ?

Montrer qu’un endomorphismef d’unK-espace vectorielE commute avec un projecteurpsi, et seulement si, les espaces Impet kerpsont stables parf.

SoientE unK-espace vectoriel etf etg deux endomorphismes deE tels que f◦g=g◦f.

a) Montrer que kerf et Imf sont stables pargi.e.g(kerf)⊂kerf et g(Imf)⊂Imf

b) En déduire que, sipest un projecteur de E, on a :

pet f commutent si, et seulement si, Impet kerpstables parf.

Soituun endomorphisme d’unK-espace vectorielE de dimension finie.

On pose

N =

∞

[

p=0

keru^p etI=

∞

\

p=0

Imu^p a) Montrer qu’il existen∈Ntel que N= keruⁿ et I= Imuⁿ.

b) Etablir queN et I sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires stables par uet tels que les restrictions deuàN etI soient respectivement nilpotente et bijective.

c) Réciproquement on supposeE =F⊕GavecF et Gsous-espaces vectoriels stables parutels que les restrictions de uà F et Gsoient respectivement nilpotente et bijective. EtablirF =N etG=I.

Soientu∈ L(E) (avec dimE <+∞) nilpotent etp∈N^? tel queu^p= 0.

a) Etablir que pour toutk∈ {1, . . . , p}, il existe un sous-espace vectorielFk deE tel que

keru^k = keru^k−1⊕F_k b) Etablir queE=F1⊕ · · · ⊕Fp.

c) Observer que la matrice deudans une base adaptée à la somme directe ci-dessus est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux nuls.

SoientE unR-espace vectoriel de dimension finie nnon nulle etf ∈ L(E) vérifiantf²=−IdE.

a) Soita∈E non nul. Montrer que la famille (a, f(a)) est libre.

On poseF(a) = Vect (a, f(a)).

b) Montrer qu’il existe des vecteurs deE a₁, . . . , a_p non nuls tels que E=F(a1)⊕ · · · ⊕F(ap)

c) En déduire que la dimension deE est paire et justifier l’existence d’une base de E dans laquelle la matrice def est simple.

SoientE unR-espace vectoriel de dimension finie etuun endomorphisme deE vérifiant

u³+u= 0 a) Montrer que l’espace Imuest stable par u.

b) Pourx∈Imu, calculeru²(x)

c) Soitv l’endomorphisme induit parusur Imu.

Montrer quev est un isomorphisme.

d) En déduire que le rang de l’endomorphismeuest un entier pair.

Déterminer les sous-espaces vectoriels stables pour l’endomorphisme de dérivation dansK[X].

(2)

[Endomorphisme cyclique]

Soientuendomorphisme d’unK-espace vectorielE de dimension finien>2.

On suppose queE est le seul sous-espace vectoriel non nul stable paru.

a) L’endomorphismeupossède-t-il des valeurs propres ?

b) Montrer que pour toutx∈E\ {0E}, la famille (x, u(x), . . . , uⁿ⁻¹(x)) est une base deE.

Quelle est la forme de la matrice deudans cette base ? c) Montrer que cette matrice ne dépend pas du choix dex.

Soientuetv deux endomorphismes d’unK-espace vectoriel de dimensionn∈N^?. On supposeu◦v=v◦uetv nilpotent.

On désire montrer

det(u+v) = detu en raisonnant par récurrence sur la dimensionn>1.

a) Traiter le casn= 1 et le cas v= 0.

b) Pourn>2 etv6= 0, former les matrices deuetvdans une base adaptée à Imv.

c) Conclure en appliquant l’hypothèse de récurrence aux restrictions deuetv au départ de Imv.

SoientE un espace vectoriel de dimension finie etu∈ L(E) nilpotent.

SoitS un sous-espace vectoriel deE stable paruet tel que E=S+ Imu

Montrer queS=E.

SoitE=E₁⊕E₂unK-espace vectoriel. On considère Γ ={u∈ L(E),keru=E1et Imu=E2}

a) Montrer, pour toutude Γ que ˜u=u_E₂ est un automorphisme de E₂. Soitφ: Γ→GL(E₂) définie parφ(u) = ˜u.

b) Montrer que◦ est une loi interne dans Γ.

c) Montrer queφest un morphisme injectif de (Γ,◦) dans (GL(E₂),◦).

d) Montrer queφest surjectif.

e) En déduire que (Γ,◦) est un groupe. Quel est son élément neutre ?

On noteE=C(R,R) et on pose, pour toutef ∈E et toutx∈R, T f(x) =f(x) +

Z x 0

f(t) dt a) L’opérateurT est-il un automorphisme deE?

b) Existe-t-il un sous-espace vectoriel deE de dimension finie impaire et stable parT?

Matrices semblables

SoitA∈ M3(R) vérifiant A²= 0 etA6= 0.

Etablir queAest semblable à la matrice B=





0 0 0 1 0 0 0 0 0





SoitA∈ Mn(K) vérifiant

Aⁿ⁻¹6=O_n et Aⁿ=O_n Etablir queAest semblable à la matrice

B =







0 1 (0)

. .. . .. . .. 1

(0) 0







SoitA∈ Mn(K) une matrice non nulle telle que les espaces ImAet kerAsoient supplémentaires.

Montrer que la matriceA est semblable à une matrice de la forme A⁰ 0

0 0

avecA⁰ ∈GLr(K)

(3)

SoitA∈ Mn(K) une matrice non nulle telle queA²= 0.

Montrer queAest semblable à B=

0 Ir

0 0

avecr= rgA.

SoitA∈ M₃(R) non nulle vérifiant

A³+A=O3

Montrer queAest semblable à la matrice





0 0 0

0 0 −1

0 1 0





SoitM ∈ M₄(R) telle queM²+I= 0.

Montrer queM est semblable à la matrice







0 −1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 −1

0 0 1 0







SoitA∈ Mn(R) de trace nulle.

Montrer queAest semblable à une matrice de la forme







0 ?

. ..

? 0







SoitA∈ Mn(K) une matrice de rang 1.

a) Montrer queAest semblable à une matrice dont lesn−1 premières colonnes sont nulles.

b) En déduire

A²= tr(A).A et det(I_n+A) = 1 + trA Exercice 22 [ 02382 ][correction]

Quelles sont les matrices carrées réelles d’ordrenqui commutent avec diag(1,2, . . . , n) et lui sont semblables ?

SoientAetB dansMn(R) semblables surC. Montrer queAetB sont semblables surR.

Soitf :Mn(C)→Cnon constante telle que :

∀(A, B)∈ Mn(C)², f(AB) =f(A)f(B) PourA∈ Mn(C), prouver l’équivalence :

Ainversible ⇔f(A)6= 0 Exercice 25 [ 01322 ][correction]

SoitA∈ M3(R) non nulle vérifiantA²=O3. Déterminer la dimension de l’espace

C={M ∈ M3(R)/AM−M A=O3} Exercice 26 [ 03778 ][correction]

Les matrices suivantes sont-elles semblables ?

A=







3 6 −5 −2

−1 −6 5 −2

−1 −10 8 −3

0 −3 2 0







etB=







1 2 6 21

0 2 2 5

0 0 3 2

0 0 0 5







SoitGune partie de Mn(R) non réduite à la matrice nulle.

On suppose que (G,×) est un groupe. Montrer qu’il exister∈N^? tel que le groupe (G,×) soit isomorphe à un sous-groupe de (GL_r(R),×).

(4)

Etude théorique des éléments propres d’un endo- morphisme

Soitf un endomorphisme d’unK-espace vectorielE de dimension finie.

Montrer

0∈/sp(f)⇔f surjectif

Soientf un endomorphisme d’unK-espace vectoriel etn∈N^?. On suppose que 0∈sp(fⁿ).

Montrer que 0∈sp(f).

Soituun automorphisme d’unK-espace vectorielE . Etablir

Spu⁻¹=

λ⁻¹/λ∈Spu

SoientE unK-espace vectoriel,u∈ L(E),a∈GL(E) etv=a◦u◦a⁻¹. Comparer Spuet Spv d’une part,Eλ(u) etEλ(v) d’autre part.

Soituun endomorphisme d’unK-espace vectorielE tel que tout vecteur non nul en soit vecteur propre.

Montrer queuest une homothétie vectorielle.

Soientu,v deux endomorphismes d’un espace vectoriel.

a) Siλ6= 0 est valeur propre deu◦v, montrer qu’il l’est aussi dev◦u.

b) PourP ∈E=R[X], on pose

u(P) =P⁰ et v(P) = Z X

0

P(t) dt

ce qui définit des endomorphismes deE. Déterminer ker(u◦v) et ker(v◦u)

c) Montrer que la propriété de la première question reste valable pourλ= 0 si l’espaceE est de dimension finie.

Soientuetv deux endomorphismes d’unR-espace vectorielE de dimension finie.

Montrer que siλest valeur propre deu◦valorsλest aussi valeur propre dev◦u.

Crochet de Lie

SoientA, B∈ M_n(R) vérifiantAB−BA=A.

a) CalculerA^kB−BA^k pourk∈N.

b) A quelle condition la matriceA^k est-elle vecteur propre de l’endomorphisme M 7→M B−BM deMn(R) ?

c) En déduire que la matriceA est nilpotente.

Soientf etg deux endomorphismes d’unC-espace vectoriel Ede dimension finie n>1 tels que

f◦g−g◦f =f a) Montrer quef est nilpotent.

b) On supposefⁿ⁻¹6= 0. Montrer qu’il existe une baseedeE etλ∈Ctels que :

Matef =







0 1 (0)

. .. . .. . .. 1

(0) 0







et

Mat_eg= diag(λ, λ+ 1, . . . , λ+n−1)

(5)

SoientE unC-espace vectoriel de dimension finie non nulle,u, v dansL(E) eta, b dansC. On suppose

u◦v−v◦u=au+bv a) On étudie le casa=b= 0.

Montrer queuetv ont un vecteur propre en commun.

b) On étudie le casa6= 0,b= 0.

Montrer queuest non inversible.

Calculeruⁿ◦v−v◦uⁿ et montrer que uest nilpotent.

Conclure queuet v ont un vecteur propre en commun.

c) On étudie le casa, b6= 0.

Montrer queuetv ont un vecteur propre en commun.

SoientE unC-espace vectoriel de dimension finie non nulle, (a, b)∈C², f etg dansL(E) tels que

f◦g−g◦f =af+bg Montrer quef etg ont un vecteur propre commun.

SoitE un espace vectoriel complexe de dimension finie non nulle. Soientuetv des endomorphismes deE; on pose [u, v] =uv−vu.

a) On suppose [u, v] = 0. Montrer queuetv sont cotrigonalisables.

b) On suppose [u, v] =λu avecλ∈C^?. Montrer queuest nilpotent et queuetv sont cotrigonalisables.

c) On suppose l’existence de complexesαetβ tels que [u, v] =αu+βv. Montrer queuet v sont cotrigonalisables.

Soientf et gdeux endomorphismes d’un K-espace vectoriel Etels que f◦g−g◦f =I.

a) Montrer que, pour tout entiern>1, on afⁿ◦g−g◦fⁿ=nfⁿ⁻¹.

b) En dimension finie non nulle, montrer qu’il n’existe pas deux endomorphismes f etg tels quef ◦g−g◦f =I.

c) Montrer que dansE=K[X] les endomorphismesf etg définis parf(P) =P⁰ etg(P) =XP conviennent.

SoientE un espace vectoriel réel de dimension finie,f et gdeux endomorphismes deE vérifiant

f◦g−g◦f =f a) Calculer

fⁿ◦g−g◦fⁿ

b) SoitP un polynôme. Montrer que siP(f) = 0 alorsf◦P⁰(f) = 0.

c) En déduire quef est un endomorphisme nilpotent.

SoitA∈ Mn(C). On considère l’endomorphismeT deMn(C) défini par T(M) =AM−M A

a) On suppose que la matriceAest nilpotente.

Montrer que l’endomorphismeT est aussi nilpotent.

b) Réciproque ?

SoientA, B, C ∈ Mn(R) vérifiant

AB−BA=C

On suppose en outre queC commute avec les matricesAet B.

a) On suppose queAet diagonalisable. Montrer que la matriceC est nulle.

b) On suppose que la matriceCest diagonalisable. Montrer à nouveau de que la matriceC est nulle.

Eléments propres d’un endomorphisme

SoientE=C^∞(R,R) et Dl’endomorphisme de E qui àf associe sa dérivéef⁰. Déterminer les valeurs propres deD ainsi que les sous-espaces propres associés.

SoientE=C^Netf :E→E l’application qui transforme une suiteu= (u_n) en v= (v_n) définie par

v0=u0et ∀n∈N^?, vn= un+un−1

2 Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres def.

(6)

SoientE l’espace des suites réelles convergeant vers 0 et ∆ :E→E l’endomorphisme défini par

∆(u)(n) =u(n+ 1)−u(n) Déterminer les valeurs propres de ∆.

SoientE=C⁰(R,R) etIl’endomorphisme de E qui àf ∈E associe sa primitive qui s’annule en 0.

Déterminer les valeurs propres deI.

SoitE leR-espace vectoriel des fonctions continues de [0,+∞[ versRconvergeant en +∞.

SoitT l’endomorphisme deE donné par

∀x∈[0,+∞[, T(f)(x) =f(x+ 1)

Déterminer les valeurs propres deT et les vecteurs propres associés.

SoitE le sous-espace vectoriel des fonctions deC([0,+∞[R) s’annulant en 0.

Pour toutf ∈E, on définitϕ(f) : [0,+∞[→Rpar ϕ(f)(0) = 0 etϕ(f)(x) = 1

x Z x

0

f(t) dt pourx >0 a) Montrer queϕ(f)∈E puis queϕest un endomorphisme deE.

b) Déterminer les éléments propres deϕ.

SoitE l’espace vectoriel des fonctions continues de [0,+∞[ versR. Pour toutf ∈E, on définitT(f) : ]0,+∞[→Rpar

T(f)(x) = 1 x

Z x 0

f(t) dtpour x >0

a) Montrer que la fonctionT(f) se prolonge par continuité en 0 et qu’alorsT est un endomorphisme deE.

b) Déterminer les éléments propres deT.

SoitEl’espace des fonctions f de classeC¹ de [0,+∞[ versRvérifiantf(0) = 0.

Pour un élémentf deE on poseT(f) la fonction définie par T(f)(x) =

Z x 0

f(t) t dt

Montrer queT est un endomorphisme deE et trouver ses valeurs propres.

SoitE=C([0,1],R). Sif ∈E on pose T(f) :x∈[0,1]7→

Z 1 0

min(x, t)f(t) dt a) Vérifier queT est un endomorphisme deE.

b) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres deT.

a) Montrer que Φ, qui àP associe

(X²−1)P⁰(X)−(4X+ 1)P(X) est un endomorphisme deR4[X].

b) Résoudre l’équation différentielle y⁰ =

5−λ

2(x−1) + 3 +λ 2(x+ 1)

y c) En déduire les valeurs propres et les vecteurs propres de Φ.

Déterminer valeurs propres et vecteurs propres de l’endomorphismeϕdeRn[X] défini par

ϕ:P7→(X²−1)P⁰−nXP

Soita∈Retn>2.

a) Montrer queφ(P)(X) = (X−a) (P⁰(X)−P⁰(a))−2(P(X)−P(a)) définit un endomorphisme deRn[X].

b) A l’aide de la formule de Taylor, déterminer l’image et le noyau deφ.

c) Trouver ses éléments propres. L’endomorphisme est-il diagonalisable ?

(7)

a) Soitf un endomorphisme d’unR-espace vectoriel de dimension finie. Siaest valeur propre def, de multiplicitém, et siE(f, a) est le sous-espace propre attaché, montrer

16dimE(f, a)6m b) Soit

A=







1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4







Déterminer simplement les valeurs propres deA.

La matriceAest-elle diagonalisable ?

Polynômes caractéristiques

a) Montrer que deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique.

b) Réciproque ?

SoitF un sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme ud’unK-espace vectorielE de dimension finie.

Etablir que le polynôme caractéristique de l’endomorphisme induit parusurF divise le polynôme caractéristique deu.

SoientA, B∈ Mn(C). On désire établir l’égalité des polynômes caractéristiques χ_AB=χ_BA

a) Etablir l’égalité quandA∈GLn(C).

b) PourA /∈GL_n(C), justifier que pourp∈Nassez grandA+¹_pI_n∈GL_n(C).

En déduire que l’égalité est encore vraie pourAnon inversible.

SoientA∈ M_n,p(K),B∈ M_p,n(K) et λ∈K. En multipliant à droite et à gauche la matrice

M =

λI_n A B Ip

∈ M_n+p(K)

par des matrices triangulaires par blocs bien choisies, établir λ^pχAB(λ) =λⁿχBA(λ)

Soit (A, B)∈ Mp,q(R)× Mq,p(R). Montrer que X^qχ_AB(X) =X^pχ_BA(X) Indice : Commencer par le cas où

A=

I_r 0 0 0

SoientA, B∈ M_n(K) etp∈N^?. Etablir

χ_(AB)p=χ_(BA)p

SoitA∈ Mn(R) inversible de polynôme caractéristiqueχA. Etablir que pour toutx6= 0,

χ_A−1(x) = xⁿ

χA(0)χ_A(1/x)

SoitA∈ Mn(C). Montrer

χ_AA¯∈R[X]

a) SiP∈Z[X] est unitaire de degrén, existe-t-il une matriceA∈ Mn(Z) de polynôme caractéristique (−1)ⁿP(X) ?

b) Soient (λ₁, . . . , λ_n)∈Cⁿ et le polynôme P=

n

Y

i=1

(X−λ_i)

(8)

On supposeP ∈Z[X]. Montrer que pour toutq∈N^?le polynôme Pq =

n

Y

i=1

(X−λ^q_i) appartient encore àZ[X].

c) SoitP dansZ[X] unitaire dont les racines complexes sont de modules61.

Montrer que les racines non nulles deP sont des racines de l’unité.

Soientn>2 etf ∈ L(Cⁿ) endomorphisme de rang 2.

Déterminer le polynôme caractéristique def en fonction de trf et trf². Exercice 67 [ 02699 ][correction]

SoientAet B dansMn(K) (K=RouC).

a) Comparer SpB et Sp^tB.

b) SoitC∈ Mn(K). Montrer que s’il existe λpour lequelAC =λC, alors ImC⊂ker(A−λI_n).

c) Soitλune valeur propre commune àAet B. Montrer qu’il existeC∈ Mn(K), C6= 0, telle queAC =CB=λC.

d) On suppose l’existence deC∈ M_n(K) avec rgC=ret AC=CB. Montrer que le PGCD des polynômes caractéristiques deAetB est de degré >r.

e) Etudier la réciproque de d).

SoientA, B∈ Mn(R). On suppose qu’il existeM dansMn(R) de rangr tel que AM =M B

Montrer que deg(χA∧χB)>r.

SoientAet B dansMn(K) (K=RouC).

Calcul de polynômes caractéristiques

Calculer le polynôme caractéristique de la matrice







0 1 0

... . .. . .. 0 · · · 0 1 a0 a1 · · · an−1







Soient

A_n =







0 1 0

1 . .. . .. . .. . .. 1

0 1 0







∈ M_n(C) etP_n(x) = det(xI_n−A_n)

a) Montrer

P_n(x) =xP_n−1(x)−P_n−2(x) CalculerP1(x) etP2(x).

b) Pour toutx∈]−2,2[, on pose x= 2 cosαavecα∈]0, π[. Montrer que Pn(x) = sin((n+ 1)α)

sinα

c) En déduire quePn(x) admetnracines puis que An est diagonalisable.

Soienta₁, . . . , a_n∈C^?, tous distincts etP(x) = det(A+xI_n) avec

A=







0 a2 · · · an

a₁ 0 ... ... . .. a_n a₁ · · · a_n−1 0







a) CalculerP(ai) et décomposer en éléments simples la fraction P(x)

n

Q

i=1

(x−a_i) b) En déduire detA.

Soienta₁, . . . , an∈C^? deux à deux distincts.

On pose

P(x) = det(A+xI_n) avecA=







0 a₂ . . . a_n a₁ 0 . .. ...

... . .. . .. a_n a₁ · · · a_n−1 0







(9)

a) CalculerP(ai).

b) Justifier queP est un polynôme unitaire de degrén.

c) Former la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle P(X)

n

Q

i=1

(X−ai) d) En déduire le déterminant deA+In.

Applications du polynôme caractéristique

SoientA, B∈ Mn(R). Montrer queABet BAont même valeurs propres.

SoitA∈ Mn(R) telle que SpA⊂R⁺. Montrer

detA>0

SoientA, B∈ M_n(C). Etablir

χA(B)∈GLn(C)⇔SpA∩SpB=∅

a) SoientB, C∈ M_n(C) semblables

Pourx∈C, montrer que les matricesxI_n−B etxI_n−C sont semblables.

En est-il de même de (xI_n−B)⁻¹et (xI_n−C)⁻¹?

b) SoitA∈ Mn(C). On notePA(x) = det(xIn−A) etP_A⁰ le polynôme dérivé de PA.

On suppose quexn’est pas valeur propre de A, montrer tr (xIn−A)⁻¹=P_A⁰(x)

P_A(x)

Existence de valeurs propres dans un espace com- plexe

SoitEunC-espace vectoriel de dimension finie.

a) Justifier que tout endomorphisme deE possède au moins une valeur propre b) Observer que l’endomorphismeP(X)7→(X−1)P(X) deC[X] n’a pas de valeurs propres.

a) Rappeler pourquoi un endomorphisme d’unC-espace vectoriel de dimension finie non nulle admet au moins un vecteur propre.

b) Soientu, v deux endomorphismes d’unC-espace vectoriel Ede dimension finie non nulle.

On suppose

u◦v=v◦u Montrer queuet v ont un vecteur propre en commun.

SoientA, B∈ Mn(C) vérifiantAB=BA.

Montrer queAet B ont un vecteur propre en commun.

Montrer queA, B∈ Mn(C) ont une valeur propre en commun si, et seulement si, il existeU ∈ Mn(C) non nulle vérifiantU A=BU.

Kdésigne RouC.

On dit qu’une matriceA∈ M_n(K) vérifie la propriété (P) si

∃M ∈ M_n(K),∀λ∈K,det(M +λA)6= 0

a) Rappeler pourquoi une matrice deM_n(C) admet au moins une valeur propre.

b) SoitT une matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle.

Calculer det(In+λT). En déduire queT vérifie la propriété (P)

(10)

c) Déterminer le rang de la matrice Tr=

0 Ir

0 0

∈ Mn(K)

d) SoientA vérifiant (P) etB une matrice de même rang queA; montrer

∃(P, Q)∈GLn(K)², B=P AQ et en déduire queB vérifie (P).

e) Conclure que, dansMn(C), les matrices non inversibles vérifient (P) et que ce sont les seules.

f) Que dire des cette propriété dans le casMn(R) (on distingueranpair etn impair) ?

Soientu, vdeux endomorphismes d’unC-espace vectorielEde dimension finie non nulle vérifiantu◦v=v◦u. Montrer queuetv ont un vecteur propre en commun.

Eléments propres d’une matrice

SoitA∈ Mn(K) vérifiant rg(A) = 1.

Montrer qu’il existeλ∈Ktel que A²=λAet que ce scalaireλest valeur propre deA.

PourA∈ Mn(R), on pose

kAk= sup

16i6n n

X

j=1

|ai,j|

Montrer que

Sp(A)⊂[− kAk,kAk]

SoitA= (ai,j)∈ Mn(R) vérifiant pour touti, j∈ {1, . . . , n}ai,j>0 et pour tout i∈ {1, . . . , n},

n

P

j=1

ai,j= 1.

a) Montrer que 1∈Sp(A).

b) Justifier que siλ∈Cest valeur propre deAalors|λ|61.

c) Observer que siλ∈Cest valeur propre deAet vérifie |λ|= 1 alorsλ= 1.

SoitA= (a_i,j)∈ M_n(R) vérifiant pour touti, j∈ {1, . . . , n}a_i,j∈R⁺ et pour touti∈ {1, . . . , n},

n

P

j=1

ai,j = 1.

a) Montrer que 1∈Sp(A).

b) Justifier que siλ∈Cest valeur propre deAalors|λ|61.

c) Observer que siλ∈Cest valeur propre deAet vérifie |λ|= 1 alorsλest une racine de l’unité.

Soit la matriceA∈ Mn(R) donnée parA= (min(i, j))16i,j6n.

a) Trouver une matrice triangulaire inférieure unitéL et une matrice triangulaire supérieureU telle queA=LU.

b) ExprimerA⁻¹à l’aide de

N=







0 1 (0)

. .. . .. . .. 1

(0) 0







c) Montrer que SpA⁻¹⊂[0,4].

Déterminer les valeurs propres de la matrice deMn(R) suivante

M =







1 1 · · · 1

1 1 (0)

... . ..

1 (0) 1







(11)

Déterminer les valeurs propres de la matrice







0 · · · 0 1 ... ... ... 0 · · · 0 1 1 · · · 1 1







∈ Mn(R)

Soitn∈N,n>2. Déterminer les valeurs propres de la comatrice deA∈ Mn(C).

On commencera par étudier le cas où la matriceAest inversible.

Soientn>3 et

A=







0 (0) 1

1 . .. ... ... . .. 1

1 (0) 0







∈ M_n(R)

a) Calculer les rangs deAetA².

b) Soitf l’endomorphisme deRⁿ canoniquement représenté par la matriceA.

Montrer

kerf⊕Imf =Rⁿ

c) En déduire que la matriceA est semblable à une matrice de la forme







0 (0)

. .. 0

(0) B







avecB ∈GL₂(R)

d) Calculer trB et trB².

En déduire les valeurs propres deB puis celles deA.

e) La matriceAest-elle diagonalisable ?

Soit (a0, . . . , a_p−1)∈C^p. On suppose que 1 est racine simple de P(X) =X^p− a_p−1X^p−1+· · ·+a1X+a0

On suppose la convergence d’une suite (un)_n∈N déterminée par sesppremiers termesu0, . . . , up−1et la relation de récurrence

un+p=ap−1un+p−1+· · ·+a1un+1+a0un

Déterminer la limite de (u_n)n∈N.

Expliquer brièvement pourquoi

tcom(A)A= det(A)In

On suppose queAadmetnvaleurs propres distinctes ; que vaut det(A) ? Que représente un vecteur propre deApour^tcom(A) ?

On suppose de plus queA n’est pas inversible. Déterminer dim ker^tcomA

Prouver que^tcomAn’admet que deux valeurs propres, les expliciter.

Soient

A_n=







0 1 (0)

1 . .. . .. . .. . .. 1

(0) 1 0







∈ Mn(C)

etχ_n son polynôme caractéristique.

a) Calculer

u_n=χ_n(2 cosα) pour toutα∈]0, π[.

b) Déterminer les valeurs propres deA_n.

Quelle est la dimension des sous-espaces propres deA_n? c) Déterminer les sous-espaces propres deA_n

Indice : on pourra, pourλvaleur propre deA_n, chercher

X =





 x1

... x_n







∈ Mn,1(C)

vérifiantAX=λX et poserx0=xn+1 = 0.

(12)

Eléments propres d’un endomorphisme matriciel

Soientn∈N^? et E=Mn(R). PourA∈E, on introduitu:E→E défini par u(M) =AM

Montrer queAet uont les mêmes valeurs propres et préciser les sous-espaces propres deuen fonction de ceux deA.

SoientA∈ Mn(C) et ΦA l’endomorphisme de Mn(C) définie par ΦA(M) =AM. a) Montrer que les valeurs propres de ΦA sont les valeurs propres deA.

b) Déterminer les valeurs propres de ΨA:M 7→M A.

On considère les matrices réelles A=

1 0 0 2

et M =

a b c d

a) CalculerAM−M A.

b) Déterminer les éléments propres de l’endomorphismeM 7→AM−M A.

Diagonalisabilité d’une matrice par similitude

Montrer que siAest diagonalisable alors^tAl’est aussi.

SoientA∈GLn(K) et B∈ Mn(K).

On suppose la matriceABdiagonalisable. Montrer queBAest diagonalisable.

Diagonalisabilité d’une matrice par l’étude des élé- ments propres

Soientα∈Ret A=

cosα −sinα sinα cosα

∈ M₂(K) etB=

cosα sinα sinα −cosα

∈ M₂(K)

a) On supposeK=C. La matriceAest-elle diagonalisable ? b) On supposeK=R. La matriceA est-elle diagonalisable ? c) Mêmes questions avecB.

Soienta, b, c∈R. La matrice M =





0 −b c

a 0 −c

−a b 0



∈ M3(R) est-elle diagonalisable ?

Soienta, b∈R^? tels que|a| 6=|b|et

A=







a b a · · · b b a b · · · a a b a · · · b ... ... ... . .. ... b a b · · · a







∈ M2n(R) (avec n>2)

a) Calculer le rang deA. En déduire que 0 est valeur propre deAet déterminer la dimension du sous-espace propre associé.

b) Déterminer deux vecteurs propres non colinéaires et en déduire queAest diagonalisable.

Monter que la matrice suivante est diagonalisable

A=







0 1 (0)

n . .. 2 n−1 . .. . ..

. .. . .. n

(0) 1 0







∈ Mn+1(C)

(indice : on pourra interpréterAcomme la matrice d’un endomorphisme de Cn[X])

(13)

a) Exprimer le polynôme caractéristique de la matrice

M =







0 1 0

... . .. . .. 0 · · · 0 1 a₀ a₁ · · · a_n−1







en fonction du polynôme

P(X) =Xⁿ−(a_n−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a₁X+a₀)

b) Soitλune racine deP. Déterminer le sous-espace propre deM associé à la valeur propreλ.

c) A quelle condition la matriceM est-elle diagonalisable ?

Considérons la matriceAsuivante :

A=







0 1 0 0

1 k 1 1

0 1 0 0







∈ M₄(C)

1. On supposekréel, la matriceAest-elle diagonalisable dansM4(R) ? (sans calculs) ;

2.a) Déterminer le rang deA.

2.b) Donner la raison pour laquelle le polynôme caractéristique deAest de la forme

X²(X−u1)(X−u2) avecu₁,u₂appartenant àC^? et vérifiant

u1+u2=k etu²₁+u²₂=k²+ 6 2.c) Etudier les éléments propres dans le cas oùu1=u2.

2.d) En déduire les valeurs dek pour queAsoit diagonalisable dansM4(C).

Pour quelle(s) valeurs dex∈R, la matrice suivante n’est-elle pas diagonalisable ? A=





−2−x 5 +x x x −2−x −x

−5 5 3





Soienta, b, c, d quatre nombres complexes aveca²+b²6= 0 et

A=







a b c d

−b a −d c

−c d a −b

−d −c b a







a) CalculerA^tA, detAet montrer que rg(A) = 2 ou 4.

b) On poseα²=b²+c²+d² supposé non nul. Montrer queAest diagonalisable.

Soit (a1, . . . , an−1)∈Cⁿ⁻¹.

a) Quel est le rang deA∈ Mn(C) définie par

A=







0 · · · 0 a1

... ... ... 0 · · · 0 a_n−1 a1 · · · an−1 0







?

b) Avec la trace, que peut-on dire des valeurs propres ? c)Aest-elle diagonalisable ?

SoientA∈ Mn(K) etB =

O I_n A O

.

a) Etudier les valeurs propres deB en fonction de celles deA.

b) On supposeAdiagonalisable.B est-elle diagonalisable ?

SoientA₁∈ Mp(K),A₂∈ Mq(K) etA∈ Mp+q(K) définie par A=

A₁ O O A₂

Montrer queAest diagonalisable si, et seulement si,A₁ etA₂le sont.

(14)

Diagonalisabilité des matrices de rang 1

SoitA∈ Mn(C) telle que rgA= 1.

Etablir

Adiagonalisable si, et seulement si, trA6= 0

SoientX, Y ∈ Mn,1(K) non nuls.

A quelle condition la matriceX^tY est-elle diagonalisable ?

SoientKun sous-corps deCet

J =







1 · · · 1 ... ... 1 · · · 1





∈ Mn(K) Montrer queJ est diagonalisable.

Soit (a₁, . . . , a_n)∈Cⁿ. La matrice (a_ia_j)₁₆_i,j₆_n est-elle diagonalisable ?

Parmi les matrices élémentairesE_i,j deMn(K), lesquelles sont diagonalisables ?

Soient (a1, . . . , an)∈(R^?+)ⁿ et

N =







a₁ a₁ · · · a₁ a₂ a₂ · · · a₂ ... ... ... a_n a_n · · · a_n







CalculerN², la matriceN est-elle diagonalisable ? Montrer queM = 2N+In est inversible et calculerM⁻¹.

Diagonalisation d’une matrice

On pose

M(a, b) =







a² ab ab b² ab a² b² ab ab b² a² ab b² ab ab a²







pour tousa, bréels.

a) Ces matrices sont-elles simultanément diagonalisables ?

b) Etudier et représenter graphiquement l’ensemble des (a, b)∈R² tel que M(a, b)ⁿ tend vers 0 quandntend vers∞.

Soienta,b deux réels et les matrices

A=







a b · · · b b a . .. ... ... . .. . .. b b · · · b a







et B=







b · · · b a ... . ..

a b b . ..

. .. ... a b · · · b







Réduire ces deux matrices.

Diagonaliser les matrices deMn(R)







0 · · · 0 1 ... ... ... 0 · · · 0 1 1 · · · 1 1





 et







1 · · · 1 ... 0 · · · 0 ... ... ... ... ... ... 0 · · · 0 ... 1 · · · 1







Soit

M_n=







0 (b)

. ..

(a) 0





∈ Mn(C)

(15)

A quelle condition la matriceMn est-elle diagonalisable ? Déterminer alors une base de vecteurs propres

Calcul de puissances d’une matrice

CalculerAⁿ pour

A=





2 1 1 1 2 1 1 1 2





Soit

A=

cosθ 2 sinθ

1

2sinθ cosθ

a) Déterminer deux réelsα, β tel queA²=αA+βI2. b) CalculerAⁿ pour n>1.

Soit

M =







0 1

. ..

1 0





∈ Mn(R) avecn>2 a) Montrer queM est diagonalisable.

b) Déterminer le polynôme minimal deM. c) CalculerM^ppour p∈N.

Applications diverses de la diagonalisabilité

a) Déterminer les valeurs propres de A=





1 3 0

3 −2 −1

0 −1 1





b) Combien y a-t-il de matriceM telle queM²=AdansMn(C) ? dansMn(R) ?

Soit

A=

5 3 1 3

∈ M2(R)

a) Diagonaliser la matriceAen précisant la matrice de passage P b) SoitM ∈ M2(R) une matrice telle que M²+M =A.

Justifier que la matriceP⁻¹M P est diagonale.

c) Déterminer les solutions de l’équationM²+M =A.

Soit pourn>2 la matrice

J =







0 1 (0)

... 0 . ..

0 . .. 1

1 0 · · · 0







a) Montrer que la matriceJ est diagonalisable dansM_n(C) b) Application : calculer

a₀ a₁ · · · a_n−1 a_n−1 . .. . .. ...

... . .. . .. a1

a1 · · · a_n−1 a0

Les matrices





1 2 3 3 1 2 2 3 1



 et





1 3 2 2 1 3 3 2 1





sont-elles semblables ?

SoitGun sous-groupe de (GLn(R),×) vérifiant

∀M ∈G, M²=In

(16)

a) Montrer queGest commutatif.

b) En déduire que les éléments deGsont codiagonalisables.

c) En déduire

CardG62ⁿ

d) Application : Montrer que s’il existe un isomorphisme entre (GLn(R),×) et (GLm(R),×) alorsn=m.

SoientA, B∈ Mn(R) avecB diagonalisable.

Montrer

AB³=B³A⇒AB=BA

Soientp, q∈N^? etA, B, M ∈ Mn(C) avecA, B diagonalisables. Montrer A^pM B^q =On⇒AM B=On

Soitϕune application de M2(C) versCvérifiant :

∀A, B∈ M2(C), ϕ(AB) =ϕ(A)ϕ(B) et ϕ

λ 0 0 1

=λ Montrer queϕ= det.

On considère trois suites réelles (u_n)n>0, (v_n)n>0 et (w_n)n>0 vérifiant







u_n+1=−un+v_n+w_n vn+1=un−vn+wn

w_n+1=u_n+v_n−w_n

A quelle condition sur (u₀, v₀, w₀), ces trois suites sont-elles convergentes ?

SoitM ∈ Mn(R) telle queM² soit triangulaire supérieure à coefficients

diagonaux deux à deux distincts. Montrer queM est aussi triangulaire supérieure.

a) SoitD∈ Mn(C). Déterminer l’inverse de In D

O_n I_n

b) SoientA, B∈ Mn(C) diagonalisables telles que SpA∩SpB =∅.

Montrer que pour tout matriceC∈ Mn(C), les matrices suivantes sont semblables A C

O_n B

et

A O_n O_n B

a) Déterminer les entiersk pour lesquelles l’équation e^iθ+ e^ikθ= 1 admet au moins une solutionθ∈R.

b) SoitSk l’ensemble des suites réelles utelles que

∀n∈N, un+k=un+u_n+k−1

A quelle condition surk,Sk contient-il une suite périodique non nulle.

Diagonalisabilité d’un endomorphisme par l’étude de ses éléments propres

Soituun endomorphisme d’unK-espace vectoriel de dimension finieE.

On suppose que

Im(u−IdE)∩Im(u+ IdE) ={0E} Montrer queuest diagonalisable.

SoitE=Rn[X]. PourP ∈E, on poseϕ(P) =P−(X+ 1)P⁰. a) Justifier queϕdéfinit un endomorphisme de Rn[X].

b) Déterminer les valeurs propres deϕet justifier queϕest diagonalisable.

(17)

Montrer que l’application

f :P(X)7→(X²−1)P⁰⁰(X) + 2XP⁰(X)

est un endomorphisme de l’espace vectoriel réelE=Rn[X]. Former la matrice de f relative à la base canonique deE. En déduire la diagonalisabilité def ainsi que ses valeurs propres et la dimension des sous-espaces propres associés.

SoientE=Rn[X] et deux réelsa6=b. PourP ∈E, on pose ϕ(P) = (X−a)(X−b)P⁰−nXP a) Montrer queϕest un endomorphisme deE.

b) Déterminer les valeurs propres deϕet en déduire queϕest diagonalisable.

L’endomorphismeφdeMn(R) défini par

φ(M) =M+ tr(M).In

est-il diagonalisable ?

SoientE unK-espace vectoriel de dimension finie,f ∈ L(E) etF ∈ L(L(E)) définie parF(u) =f◦u.

a) Montrer quef est diagonalisable si, et seulement si,F l’est.

b) Montrer quef etF ont les mêmes valeurs propres.

c) Soitλune valeur propre def. Etablir dimEλ(F) = dimE×dimEλ(f).

SoientE un espace vectoriel de dimension finie, un projecteur fixé deE et F:L(E)→ L(E) définie par

F :f 7→ 1

2(f◦p+p◦f) a)F est-elle linéaire ?

b)F est-elle diagonalisable ?

c) Quelle est la dimension des sous-espaces propres associés ?

SoientA∈R[X] etB∈R[X] scindé à racines simples de degrén+ 1. Soit Φ l’endomorphisme deRn[X] qui àP ∈R[X] associe le reste de la division euclidienne deAP parB. Déterminer les éléments propres de Φ.

L’endomorphisme Φ est-il diagonalisable ?

SoientA, B fixés dansRn[X].

On notef l’application qui, àP ∈Rn[X] associe le reste de la division euclidienne deAP parB.

a) Montrer quef est un endomorphisme ; est-ce un isomorphisme ?

b) On suppose dans la suite que les polynômesAetB premiers entre eux avecB scindé à racines simples ; donner les valeurs propres def.

c) L’endomorphismef est-il diagonalisable ?

SoitEun espace vectoriel réel de dimension finie, f ∈ L(E) tel quef²=f. Etudier les éléments propres et la diagonalisabilité de l’endomorphisme u7→f u−uf deL(E).

SoientE un espace vectoriel réel de dimension finie etf ∈ L(E). On définit T ∈ L(E)→ L(E) par

T(g) =f◦g−g◦f

Montrer que sif est diagonalisable, alorsT est diagonalisable ; sif est nilpotente, alorsT est nilpotente.

SoientE unC-espace vectoriel de dimension finie ete= (e₁, . . . , e_n) une base de E.

On considère l’endomorphismef deE déterminé par

∀k∈ {1, . . . , n}, f(e_k) =e_k+

n

X

i=1

e_i a) Donner la matrice def danse.

b) Déterminer les sous-espaces propres def. c) L’endomorphismef est-il diagonalisable ?

d) Calculer le déterminant def. L’endomorphismef est-il inversible ?