ECS2 Lycée Louis Pergaud
Exercices de colle de la semaine 8
ECS2
Colle de 17h à 18h
Exercice 8.1
On considère l’applicationf :x7→
Z 1 0
(1−t2)xdt.
1. Montrer que l’intégrale f(x) converge si et seulement six >−1.
Ainsi, f est une fonction définie surI=]−1,+∞[. On admet quef est continue surI.
2. Montrer quef est décroissante surI.
3. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que : ∀x∈I, (2x+ 3)f(x+ 1) = (2x+ 2)f(x).
4. En déduire quef(x) ∼
x→−1+
1 2x+ 2.
Exercice 8.2
Soient les matricesF =
1 −1 −1
−2 2 3
2 −2 −3
etG=
1 0 0
−2 3 4
2 −2 −3
.
1. Montrer queP =X3−X est un polynôme annulateur deF. En déduire les éléments propres deF.
2. Déterminer le rang deG−I3et calculerG
0
−1 1
.
En déduire les éléments propres deG.
3. (a) Montrer qu’il existe une baseBdeM3,1(R) composée de vecteurs propres communs àF etG.
(b) Déterminer la matrice de passage P de la base canonique de M3,1(R) à la base B, ainsi que les matricesP−1F P et P−1GP.
4. Pour touta∈R, on noteHa la matriceHa=
1 −a −a
−2 3−a 4−a
2 −2 −3
.
(a) Montrer que pour tout réela, on a Ha=aF+ (1−a)G.
(b) Calculer (Ha)n pour touta∈Ret pour toutn∈N∗.
Exercice 8.3
On note, sous réserve d’existence : In =
Z +∞
0
dt
1 +t+tn, Jn= Z 1
0
dt
1 +t+tn, Kn= Z +∞
1
dt 1 +t+tn. 1. Justifier, pour toutn∈N\ {0,1}, l’existence deIn, Jn, Kn.
Quelle relation y a-t-il entreIn, Jn, Kn ? 2. On note J=
Z 1 0
dt
1 +t. Montrer que lim
n→+∞Jn−J = 0.
3. Montrer que pour toutn∈N\ {0,1}, on a : 0≤Kn≤ Z +∞
1
1 tn dt.
4. Conclure sur la limite deIn.
1
ECS2 Lycée Louis Pergaud
Colle de 18h à 19h
Exercice 8.4
1. Justifier que pour tout x∈]0,+∞[, l’intégrale Z +∞
x
e−t2dt converge.
Soitf la fonction définie par : ∀x∈]0,+∞[, f(x) = Z +∞
x
e−t2dt.
2. (a) Justifier qu’on a lim
x→+∞f(x) = 0.
(b) À l’aide du changement de variableu=t2 puis d’une intégration par parties, montrer que :
∀x >0, f(x) =e−x2 2x −1
4 Z +∞
x2
e−u u√
udu.
(c) Montrer que pour toutx >0 :
Z +∞
x2
e−u u√
udu≤e−x2 x3 . (d) Montrer que : ∀x >0, e−x2
2x −e−x2
x3 ≤f(x)≤e−x2 2x . En déduire un équivalent def(x) lorsquextend vers +∞.
3. Étudier les variations def.
4. Montrer quef est de classeC1sur ]0,+∞[ et déterminer sa dérivée.
Exercice 8.5
On considère l’applicationf : a b
c d
∈M2(R)7→ 1 2
a+d b+c b+c a+d
.
1. Montrer que f est un endomorphisme de M2(R), et écrire la matrice de f dans la base canonique de M2(R).
2. Montrer quef2=f.
3. Déterminer les valeurs propres def, ainsi qu’une base de chacun de ses sous-espaces propres.
4. Déterminer une base deM2(R) formée de vecteurs propres def. Donner la matrice def dans cette base.
Exercice 8.6
Pourx∈R, on note, sous réserve de convergence,F(x) = Z +∞
1
e−tx2 1 +t3dt.
1. Montrer que, pour toutx∈R, l’intégrale définissantF(x) converge. Ainsi,F est une fonction définie sur R.
2. (a) Montrer queF est paire.
(b) Étudier les variations deF surR+.
(c) Montrer que : ∀x≥0, 0≤F(x)≤e−x2 Z +∞
1
dt 1 +t3. En déduire la limite deF en +∞.
(d) Dresser le tableau de variation deF (on ne demande pas la valeur deF(0)).
3. (a) Montrer que pour tout (a, b)∈(R+)2, on a : |e−a−e−b| ≤ |a−b|.
(b) En déduire que pour tous (x, y)∈R2, on a : |F(x)−F(y)| ≤ |x2−y2|.
(c) Montrer queF est continue surR.
2
