ECS2 Lycée Louis Pergaud
Exercices de colle de la semaine 3
ECS2
Colle de 17h à 18h
Exercice 3.1
On considère deux urnes contenant chacune 2 boules. Initialement, les urnes sont unicolores : la première contient les deux boules noires et la seconde les deux blanches.
On tire au hasard une boule dans chaque urne et on les intervertit. On enchaîne les tirages de façon indépendante.
À chaque étape de ce jeu, on dénombre les boules noires dans la première urne.
Pournun entier naturel non nul, on note les événements :
• Zn :« il y a aucune boule noire dans l’urne une » ;
• Un : « il y a 1 boule noire dans l’urne une » ;
• Dn : « il y a 2 boules noires dans l’urne une ».
Pour la suite, on notera : zn=P(Zn),un =P(Un) etdn =P(Dn).
1. Déterminer ces trois valeurs à l’étapen= 0 etn= 1.
2. Soitnun entier naturel non nul. Exprimerun+1en fonction dezn,un etdn. 3. En déduire une relation entreun+1 etun.
4. En déduire l’expression deun en fonction den.
Exercice 3.2
Soient E = {(x, y, z) ∈ R3, 3x+y+z = 0 etx+z = 0} et F = {(x, y, z) ∈ R3, x+y−z = 0} deux sous-ensembles deR3.
Soienta= (1,1,1), b= (1,0,1) etc= (0,1,1). On poseG= Vect(a).
1. Montrer queE,F et Gsont des sous-espaces vectoriels deR3. 2. Déterminer une base de E. Quelle est la dimension deE ? 3. Montrer que (b, c) est une base deF.
4. A-t-onR3=E⊕F ?
5. Montrer que (a, b, c) est une base deR3. 6. A-t-onR3=F⊕G?
7. Soitu= (2,4,7). Exprimerudans la base (a, b, c).
Exercice 3.3
SoitS3(C) le sous-ensemble deM3(C) formé des matrices symétriques, et A3(C) le sous-ensemble de M3(C) formé des matrices antisymétriques.
1. Montrer queS3(C) etA3(C) sont des sous-espaces vectoriels de M3(C).
2. Montrer queM3(C) =S3(C)⊕A3(C).
Quelle est l’unique décomposition de
1 2 3 4 5 6 7 8 9
comme somme d’un élément deS3(C) et d’un élément deA3(C) ?
3. Déterminer une base de A3(C). Quelle est la dimension deS3(C) ?
1
