124 – Polynôme d’endomorphisme en dimension finie.
Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. A.
« Je n’aurai le temps que de montrer le « si ». Pourtant, le « seulement si », c’est la beauté qui explose sur Terre. »
Un petit commentaire avant de commencer : attention à l’intitulé de la leçon ! Le plan :
I) Polynômes d’endomorphisme.
Définition. Lemme des noyaux. Polynôme minimal d’un endomorphisme, polynôme minimal d’un vecteur selon un endomorphisme. Polynôme caractéristique d’un endomorphisme, d’une matrice. Théorème de Cayley-Hamilton. Dimension de K[u].
II) Diagonalisation et trigonalisation.
Sous-espaces stables. CNS de diagonalisabilité, trigonalisablité. Exemples. Cas des
endomorphismes normaux, théorèmes de réduction d’endomorphismes en particulier. Cas des endomorphismes semi-simples. Topologie des endomorphismes diagonalisables.
III) Invariants de similitude.
Endomorphisme cyclique, caractérisation sur un corps infini. Sous-espace cyclique engendré par un vecteur, sous-espaces caractéristiques. Invariants de similitude d’un endomorphisme.
Réduction de Frobenius.
IV) Dunford et applications.
Décomposition de Dunford. Application au calcul de l’exponentielle d’une matrice. Réduction de l’exponentielle selon les cas. Réduction de Jordan d’un endomorphisme nilpotent.
Les développements :
A1 : Endomorphismes semi-simples A7 : Diagonalisabilité et exponentielle A8 : Invariants de similitude
A9 : Caractérisation des endomorphismes cycliques A11 : Réduction des endomorphismes normaux A27 : Topologie des endomorphismes diagonalisables La bibliographie :
[Go1]-[BMP]-[Cog]-[FG3]
