I.2 En dimension finie

(1)

I Continuité des applications linéaires

I.1 Caractérisation

Proposition SiE,F sont deuxK-espaces vectoriels normés, si f ∈L(E,F), alors les trois propositions suivantes sont équivalentes :

1. f est continue 2. f est lipschitzienne

3. Il existek≥0 tel que, pour toutx∈E, kf(x)kF≤kkxkE

Remarque On peut aussi donner d’autres phrases équivalentes aux trois précédentes : f est continue en 0_E, f est uniformément continue surE,

f est bornée surB⁰(0_E, 1). . .

Remarque Si on ne suppose pasf linéaire, 2. implique 1. et 3., c’est tout.

Remarque (très) utile La caractérisation énoncée est une question assez fréquemment rencontrée à l’écrit : on rencontre par exemple, dans un problème, une application linéaire

u : E−→F

(oùE,F sont desK-espaces vectoriels normés) et on demande de montrer queuest continue.

On doit alors penser que la « vraie » question est : montrer qu’il existektel que

∀x∈E kT(x)kF≤kkxkE

(2)

. . .A moins que E ne soit de dimension finie, auquel cas il n’y a rien à faire :

I.2 En dimension finie

Théorème SiEest de dimension finie, toute application linéaire deEdans F (oùF est un evn quelconque) est continue.

Probablement le résultat le plus utilisé pendant l’année de Spé ! bien remarquer que c’estEqui est de dimension finie, pasF.

Théorème (le même) Toute application linéaire définie sur un espace vectoriel normé de dimension finie est continue.

Corollaire Soit (e₁, . . . ,e_n) une base d’unK-espace vectoriel de dimension finie. Les applications composantes :

πi : E −→ K x=

n

X

k=1

x_ke_k 7−→ x_i

sont continues. Et donc toute application fabriquée à partir desπi par combinaison linéaire, produit, quotient (si le dénominateur ne s’annule pas), composition par des applications continues. . .

Exercice Montrer que l’ensemble des matrices symétriques est un fermé de Mn(K).

Exercice Montrer que l’ensemble des matrices de trace nulle est un fermé deMn(K).

I.3 En pratique

Si on veut montrer la continuité d’une application linéaire, deux méthodes : Méthode 1 Si E est de dimension finie, c’est. . .fini. «u est linéaire sur E qui est de dimension finie, doncuest continue » est peut-être ce qu’on dit le plus souvent en Analyse.

(3)

Méthode 2Sinon, on cherche à trouverktel que

∀x∈E ku(x)kF≤kkxkE

bref, on revient à la caractérisation établie plus haut.

Méthode 3Et si on veut montrer queun’est pas continue ? on cherche à montrer le contraire, c’est-à-dire à montrer :

∀k≥0 ∃x∈E ku(x)kF>kkxkE

ce qui équivaut à

∀n∈N_∗ ∃x∈E ku(x)kF>nkxkE

On peut donc voir le principe : trouver une suite (x_n) telle que, à condition d’avoirnassez grand,ku(x_n)kF soit aussi grand que l’on veut devantkx_nkE.

Exercice Dire si l’applicationf 7−→f(0) est continue sur l’espaceC([0, 1],K) quand on munit celui-ci de la normek.k∞, puis de la normek.k1.

Exercice (Oral Mines) Donner un exemple de forme linéaire non continue.

Exercice (Oral Centrale) Soita>0 etEl’espace des fonctions continues et intégrables deR⁺dansR. On munitE de la norme définie par

∀f ∈E kfk1= Z _+∞

0 |f| Pour f ∈E, on poseφ(f) : x∈R⁺7→e⁻^ax

Z _x

0

e^atf(t)dt. Montrer queφ est un endomorphisme continu deE

(4)

I.4 L

c

(E , F )

Définition On note Lc(E,F) l’ensemble des applications linéaires continues deEdansF.

Proposition Lc(E,F) est un espace vectoriel.

Normes Les normes « subordonnées » surLc(E,F) sont utiles. . .et hors programme. On aura néanmoins intérêt à bien comprendre l’exercice sui- vant, qui s’est déjà trouvé dans des énoncés d’écrit :

Exercice On considère deuxK-espaces vectoriels normés, (E,k.kE) et (F,k.kF).

Si f ∈Lc(E,F), on pose

N(f)=sup³nkf(x)kF

kxkE

; x∈E\ {0_E}o´

=sup

x6=0E

kf(x)kF

kxkE

1. Montrer queNest bien définie.

2. Montrer que, sif ∈Lc(E,F)

N(f)= sup

kxkE=1kf(x)kF

3. Montrer queN(f) est le plus petitktel que, pour toutx∈E, kf(x)kF≤kkxkE

4. Montrer queNest une norme surLc(E,F)

5. IciE=F,Lc(E,F)=Lc(E). CalculerN(Id) et montrer que

∀(u,v)∈Lc(E)² N(v◦u)≤N(u)N(v)

En déduire une inégalité entreN(u^k) et (N(u))^k,k∈N,u∈Lc(E).

(5)

II Applications polynomiales et applications multi- linéaires en dimension finie

II.1 Applications polynomiales

a. Définition

SoitEunK-espace de dimension finie, (e₁, . . . ,e_n) une base deE.

Si (k₁, . . . ,k_n)∈Nⁿ, on notem_(k₁_,...,k_n₎l’application x7−→x^k₁¹x₂^k². . .x_n^kⁿ définie surE, à valeurs dansK, où l’on a noté

x=

n

X

i=1

x_ie_i

Autrement écrit, si on définit comme d’habitude les πk : x7−→x_k alors

m_(k₁_,...,k_n₎=π₁^k¹π^k₂². . .π^knⁿ

Définition On appelle application polynomiale surE toute application de E dansKqui est combinaison linéaire desm_(k₁_,...,k_n₎.

Remarque On peut avoir l’impression qu’il faudrait dire « polynomiale rela- tivement à la base (e₁, . . . ,en) ». . .mais non, c’est indépendant de la base !

b. Continuité

Proposition Toute application polynomiale sur un espace de dimension finie est continue.

c. Exemples fondamentaux

Exemple très utile det est continu surMn(K).

Autre exemple L’applicationM−→com(M) est continue surMn(K),K=R ouK=C.

(6)

Autre exemple très utile L’application qui à une matrice associe son poly- nôme caractéristique est continue (résultat à préciser !).

Remarque Par contre, si on remplace « caractéristique » par « minimal ». . . Application Les exercices d’oral concernant la comatrice. . .Par exemple, Exercice déterminer le coefficient de degré 1 deP_Aen fonction de la trace

de la comatrice de A.

II.2 Applications multilinéaires

Proposition SiE₁, . . . ,E_n sont desK-espaces vectoriels normés de dimension finie, siF est unK-espace vectoriel normé, alors toute application multilinéaire deE₁× · · · ×E_ndansF est continue.

Démonstration Une telle application a pour composantes dans une base de F des applications polynomiales. Et une application dont toutes les applications composantes sont continues l’est (voir chapitre sur la dimension finie).

Exemple det_Best continue surEⁿsiEest unK-espace vectoriel de dimen- sionndont B est une base.

Exemple Soit (E, (.|.)) un espace euclidien ; l’application (x,y)7→(x|y) est continue surE×E.

En fait, le produit scalaire est continu sans hypothèse de dimension finie, grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz, mais ce n’est pas au programme.

Cela permet de se contenter de retenir que tout ce qui est linéaire, bili- néaire, mutlilinéaire sur un espace de dimension finie est continu.

(7)

III Un peu de topologie sur M

n

(K)

Comme d’habitude en Analyse,K=RouK=C.

L’ensemble de ce paragraphe est hors-programme, mais. . .utile.

III.1 Quelques normes

a. Peu importe la norme. . .

Rappel SurMn(K), toutes les normes sont équivalentes.

. . .carMn(K) est de dimension finie.

Cela signifie que les voisinages d’une matrice, les ouverts, les fermés. . .ne dé- pendent pas du choix de la norme. De même, si (A_p)_p_∈N∈Mn(K)^N, la convergence de (A_p) vers une matriceAne dépend pas de la norme choisie surMn(K).

D’ailleurs (caractérisation par les composantes)

³

A_p−−−−−→

p→+∞ A´

⇐⇒

³

∀(i,j)∈ 1,n² (A_p)_i,_j−−−−−→

p→+∞ A_i,_j´ b. Trois premières normes surMn(K)

On peut définir, si A∈Mn(K),

kAk1=

n

X

i=1

Ã n

X

j=1

|a_i,_j|

!

=

n

X

j=1

Ã n

X

i=1

|a_i_,j|

!

= X

(i,j)∈1,n²

|a_i_,j| = X

1≤i,j≤n

|a_i,_j|

kAk2= s

X

1≤i,j≤n

|a_i,_j|² kAk_∞= sup

1≤i,j≤n

|ai,j| = max

1≤i,j≤n|ai,j|

c. Des normes plus intéressantes

Pour des raisons diverses (voir surtout la définition de l’exponentielle de matrices, ou de quelque « série entière matricielle » que ce soit) on aime bien les normes surMn(K) qui vérifient

N(I_n)=1 et ∀(A,B)∈Mn(K)² N(AB)≤N(A)N(B) et donc (récurrence)

∀A∈Mn(K) N(A^k)≤(N(A))^k

(8)

Or des telles normes existent. . .mais les trois normes vues plus haut ne vérifient pas les deux propriétés voulues. Pour construire des normes qui conviennent, on utilise des normes « subordonnées » (voirI.4.).

Proposition-Définition Soit k.k une norme quelconque sur Mn,1(K). On peut définir, siA∈Mn(K),

N(A)= sup

X∈Mn,1(K)\{(0)}

µkAXk kXk

¶

Traduction en termes d’endomorphismes C’est en fait leI.4.qu’on reprend ici, car on peut aussi bien considérer quek.kest une norme surKⁿ (en identifiant comme d’habitudeMn,1(K) etKⁿ).

Et donc, siu∈L(Kⁿ) est canoniquement associé àA, N(A)= sup

x∈Kⁿ\{0}

µku(x)k kxk

¶

Propriétés On peut alors déduire directement duI.4.queNest une norme surMn,1(K), vérifiant les deux propriétés

N(In)=1 et ∀(A,B)∈Mn(K)² N(AB)≤N(A)N(B) Un exemple On n’a jamais besoin d’expliciter une norme subordonnée à

l’aide des coefficients de la matrice. On peut quand même se demander à quoi « ressemble » une telle norme.

Munissons par exempleMn,1(K) de la normek.k1usuelle : kXk1=

n

X

i=1

|x_i|

siX =





 x₁

... x_n







. DéterminerN(A), c’est chercher le plus petitktel que

∀X ∈Mn,1(K) kAXk1≤kkXk1

(voirI.4.ou se souvenir de la définition d’une borne supérieure). On voit

(9)

donc ce qu’il faut faire : majorerkAXk1à l’aide dekXk1. Allons-y : kAXk1=

n

X

i=1

|(AX)_i|

=

n

X

i=1

¯

n

X

j=1

a_i_,jx_j

¯

≤

n

X

i=1

Ã n

X

j=1

|ai,j||xj|

!

=

n

X

j=1

|x_j| Ã n

X

i=1

|a_i_,j|

!

Posonsk= max

1≤j≤n n

X

i=1

|a_i_,j|. Alors, pour toutX, on a bienkAXk1≤kkXk1. De plus, il y a au moins un j₀tel que

n

X

i=1

|ai,j0| = max

1≤j≤n n

X

i=1

|ai,j|

alors, en prenant tous les xj nuls sauf xj0, il y a égalité dans toutes les inégalités précédentes, donckest le plus petit possible, donck=N(A).

Exercice(pas très important) Expliciter la norme subordonnée àk.k∞.

III.2 Quelques ouvert, quelques fermés, quelques densités

Proposition L’application det est continue surMn(K).

Il y a deux manières de justifier cela : la première, très simple, est de dire que det(A) est polynomiale en les coefficients deA. La deuxième, sophistiquée, est de dire que l’application

A7−→(c₁(A), . . . ,c_n(A))

(où lesc_k(A) sont les colonnes deA) est continue surMn(K) car linéaire sur cet espace qui est de dimension finie. Et, siB est la base canonique deKⁿ, l’application (c₁, . . . ,c_n)7−→det_B(c₁, . . . ,c_n) est continue sur (Kⁿ)ⁿcar multilinéaire

(10)

sur cet espace qui est de dimension finie. La composition de ces deux applications est det, qui est donc continue.

ExerciceMontrer queGL_n(K) est ouvert dansM_n(K) ExerciceMontrer queGL_n(K) est dense dansM_n(K) ExerciceMontrer queS_n(K) est fermé dansM_n(K) ExerciceOn définira (chapitre Ab2)

S⁺_n(R)={A∈Sn(R) ;∀X ∈Mn,1(R) X^T A X ≥0}

Montrer queS⁺_n(R) est fermé dansM_n(R).

ExerciceMontrer que, si 1≤r ≤n−1, l’ensemble des matrices de rangr n’est ni ouvert ni fermé dansMn(K).

ExerciceSi T ∈T_n⁺(K) (triangulaire supérieure), montrer qu’il existe une suite de matrices diagonalisables qui converge vers T. En déduire que l’ensemble des matrices diagonalisables est dense dansMn(C).

ExerciceL’ensemble des matrices diagonalisables est-il dense dansM2(R) ? Exercice On rappelle que le rang d’une matrice A est≥r si et seulement si il existeI etJde cardinalrtels que¡

ai,j

¢

(i,j)∈I×J est inversible.

En déduire que {A ∈Mn(K) ; rg(A)≥r} est ouvert dans Mn(K) (on dit que le rang est semi-continu inférieurement).

ExerciceSoitA∈Mn(K). Ecrire une formule donnant le coefficient de degré 1 deP_Aen fonction de la trace de la comatrice de A. On suggère de commencer par supposerAinversible.

Exercice Ecrire com(AB) en fonction de com(A) et com(B). On pourra commencer par envisager le cas des matrices inversibles.

(11)

III.3 Quelques continuités

ExerciceMontrer que l’application A7−→Tr(A) est continue surMn(K).

ExerciceMontrer que l’application

u : Mn(K) −→ K_n[X] A 7−→ P_A

est continue.

ExerciceMontrer que l’applicationA7→πA(πApolynôme minimal deA) n’est pas continue.

ExerciceMontrer que l’application A7→rg(A) n’est pas continue surMn(K).

(12)

IV Quelques solutions

I.3 [Exercice (Oral Centrale)]Il n’est pas du tout évident queφ(f)∈E sif ∈E. Il faut le démontrer, et trouver une constantektelle que

∀f ∈E kφ(f)k1≤kkfk1

En fait, on peut faire les deux en même temps. Pour une fois, on ne va pas raisonner sur la fonction (intégrabilité) mais sur l’intégrale (absolue convergence), car on a très envie de faire des intégrations par parties vu l’aspect de φ(f). Essayons ; soit X >0, alors (après avoir quand même dit queφ(f) était continue sur [0,+∞[)

Z X

0 |φ(f)|(x)dx≤ Z X

0

µ e^−ax

Z x 0

e^at|f(t)|dt

¶ dx

=

·

−e^−ax a

Z _x

0

e^at|f(t)|dt

¸_x=X

x=0

+1 a

Z _X

0 |f(x)|dx

= −e^{−a X} a

Z _X

0

e^at|f(t)|dt+1 a

Z _X

0 |f(x)|dx

≤1 akfk1

ce qui donne tout à la fois : le fait queφ(f)∈E, et le fait queφest continue, sa linéarité ne posant aucun problème.

I.4.

1. Si f ∈Lc(E,F), il existektelle que

∀x∈E kf(x)kF ≤kkxkE

L’ensemblenkf(x)kF

kxkE

; x∈E\ {0E}o

est donc majoré ; il est évidemment non vide (on a oublié de dire qu’on supposaitE6={0E}, mais c’est quand même assez naturel. . .). DoncN(f) est bien définie.

2. Il suffit de remarquer que nkf(x)kF

kxkE

; x∈E\ {0_E}o

=n°

°

° f

µ 1 kxkE

x

¶°

°

°F

; x∈E\ {0_E}o (linéarité de f, homogénéité de la norme). Or

½ 1

x; x∈E\ {0 }

¾

=S(0 , 1)={y∈E; kyk =1}

(13)

ce qui montre bien ce qu’on veut.

3. Les majorants de

nkf(x)kF

kxkE

; x∈E\ {0E} o

sont lesktels que

∀x∈E\ {0_E} kf(x)kF≤kkxkE

autrement dit lesktels que

∀x∈E kf(x)kF ≤kkxkE

Or la borne supérieure est le plus petit majorant.

4. Même type de rédaction que pour une norme de convergence uniforme.

5. Facilement,N(Id)=1. Et siuetvsont dansLc(E),

∀x∈E kv(u(x))kE ≤N(v)ku(x)kE≤N(v)N(u)kxkE

ce qui montre tout à la fois quev◦u est continue (on sait depuis long- temps qu’elle est linéaire) et queN(v◦u)≤N(v)N(u) (par 4.)

III.

ExerciceMontrer queGL_n(K) est ouvert dansM_n(K)

C’est det⁻¹(K\{0}) : image réciproque d’un ouvert par une application continue.

ExerciceMontrer queGL_n(K) est dense dansM_n(K)

SiM∈M_n(K),M− 1

pI_n−−−−−→

p→+∞ Met au moins à partir d’un certain rang, M−1

pI_n∈GL_n(K) (car le spectre deM est fini).

ExerciceMontrer queS_n(K) est fermé dansM_n(K)

(14)

φ : A7→A−A^T est linéaire donc continue surMn(K) qui est de dimension finie.

Doncφ⁻¹({(0)}) est fermé.

ExerciceOn définira (chapitre Ab2)

S⁺_n(R)={A∈Sn(R) ;∀X ∈Mn,1(R) X^T A X ≥0}

Montrer queS⁺_n(R) est fermé dansMn(R).

Linéaire sur un espace de dimension finie, ψX : A 7−→X^T A X est continue pour toute colonne X ∈Mn,1(R), doncφ⁻¹({(0)})∩ \

X∈Mn,1(R)

ψ⁻¹_X (R⁺), intersec- tion de fermés (comme images réciproques de fermés par des applications continues), est un fermé.

ExerciceMontrer que, si 1≤r ≤n−1, l’ensemble des matrices de rangr n’est ni ouvert ni fermé dansMn(K).

NotantJ_r la matrice canonique de rangr,J_r+1

p(I_n−J_r) est de rangn(matrice diagonale à coefficients tous non nuls), et

J_r+1

p(I_n−J_r)−−−−−→

p→+∞ J_r

donc l’ensemble des matrices de rangr n’est pas ouvert (son complémentaire n’est pas fermé). Mais aussi

1

pJr −−−−−→

p→+∞ (0)

donc l’ensemble des matrices de rangr n’est pas fermé.

Beaucoup d’autres manières de résoudre cette question.

ExerciceSi T ∈T_n⁺(K) (triangulaire supérieure), montrer qu’il existe une suite de matrices diagonalisables qui converge vers T. En déduire que l’ensemble

M

(15)

Il est « évident » qu’on peut trouver, aussi « près » qu’on veut deT, une matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux tous distincts, qui sera donc diagonalisable, mais ce n’est pas très facile à écrire. On peut par exemple utiliser la matrice

T_p=T+diag µ1

p,2 p, . . . ,n

p

¶

Il est clair que (Tp) converge versT. Deux coefficients diagonaux de Tp sont égaux si et seulement si il existei6=j tels que

t_i_,i−t_j_,j= j−i p

ce qui ne peut plus se produire à partir d’un certain rang (on peut par exemple dire que

½ti,i−tj,j

j−i ; i6=j

¾

est un ensemble fini).

Soit maintenantM∈Mn(C). On trigonaliseM :M=QT Q⁻¹. On considère une suite de matrices diagonalisables (T_p) qui converge versT. Alors

QT_pQ⁻¹−−−−−→

p→+∞ M et lesQTpQ⁻¹sont diagonalisables.

ExerciceL’ensemble des matrices diagonalisables est-il dense dansM2(R) ?

Non. Prenons par exemple la matrice A=

Ã0 −1

1 0

!

(rotation d’angleπ/2). Si (Mp) converge versA, alors Tr(M_p)−−−−−→

p→+∞ 0 et det(M_p)−−−−−→

p→+∞ 1. A partir d’un certain rang, on aura Tr(M_p)²−4det(M_p)<0

(16)

ce qui empêchera Mp d’être diagonalisable (son polynôme caractéristique ne sera pas scindé).

Exercice On rappelle que le rang d’une matrice A est≥r si et seulement si il existeI etJde cardinalrtels que¡

a_i,_j¢

(i,j)∈I×J est inversible.

En déduire que {A ∈Mn(K) ; rg(A)≥r} est ouvert dans Mn(K) (on dit que le rang est semi-continu inférieurement).

SoitAde rang≥r,IetJcomme ci-dessus. L’application φ : M7−→det³

¡m_i_,j¢

(i,j)∈I×J

´

est continue,φ⁻¹(K\ {0}) est un ouvert contenant Aet inclus dans l’ensemble des matrices de rang≥r. Ce qui conclut.

ExerciceSoitA∈Mn(K). Ecrire une formule donnant le coefficient de degré 1 deP_Aen fonction de la trace de la comatrice de A. On suggère de commencer par supposerAinversible.

Supposons Ainversible :

PA(X)=det(X In−A)

=Xⁿdet µ

I_n− 1 X A

¶

=Xⁿdet(A)det µ

A⁻¹− 1 X I_n

¶

=(−1)ⁿXⁿdet(A)det µ1

XI_n−A⁻¹

¶

=(−1)ⁿXⁿdet(A)P_A−1

µ1 X

¶

Donc

P_A(X)=(−1)ⁿdet(A)+(−1)ⁿ⁺¹det(A)Tr(A⁻¹)X+ · · ·

Le coefficient cherché est donc (−1)ⁿ⁺¹Tr (com(A)). Mais si on noteα(A) le co- α

(17)

cients deA(justifiable grâce à la formule P_A(X)= X

σ∈S

. . . )

L’application A7→(−1)ⁿ⁺¹Tr (com(A)) est continue pour les mêmes raisons, or GL_n(K) est dense dansMn(K), on conclut donc

∀A∈Mn(K) α(A)=(−1)ⁿ⁺¹Tr (com(A))

Exercice Ecrire com(AB) en fonction de com(A) et com(B). On pourra commencer par envisager le cas des matrices inversibles.

Si AetB sont inversibles,

com(AB)=det(A)×det(B)×¡

(AB)⁻¹¢T

=det(A) (A⁻¹)^T×det(B) (B⁻¹)^T

=com(A)×com(B)

Supposons maintenantAseulement inversible. Les applicationsB7−→com(AB) etB7−→com(A)com(B) sont continues (les coefficients de com(A)com(B) sont polynomiaux en les coefficients deB), et coïncident surGL_n(K) qui est dense dansMn(K), donc sont égales. On fixe alorsBquelconque, et on tient les mêmes propos sur A7−→com(AB) et A7−→com(A)com(B), on conclut donc que pour tout couple (A,B) de matrices,

com(AB)=com(A)×com(B)

ExerciceMontrer que l’application A7−→Tr(A) est continue surMn(K).

Elle est linéaire surMn(K) qui est de dimension finie.

(18)

ExerciceMontrer que l’application

u : Mn(K) −→ K_n[X] A 7−→ P_A est continue.

Ses composantes dans la base canonique de l’espace d’arrivée (i.e. les coefficients deP_A) sont fonctions polynomiales des coefficients de A.

ExerciceMontrer que l’applicationA7→πA(πApolynôme minimal deA) n’est pas continue.

PrenonsN=







0 1 0 . . . 0 ... . .. ... ... ... . .. ... 0

... . .. 1

0 . . . 0







. Alors 1

pN−−−−−→

p→+∞ (0), pourtantπ¹

pN =Xⁿ, et

la suite (Xⁿ) ne converge pas versX quandp→ +∞.

ExerciceMontrer que l’application A7→rg(A) n’est pas continue surMn(K).

L’exemple précédent marche encore ici.

(19)

Table des matières

I Continuité des applications linéaires 1

I.1 Caractérisation . . . 1

I.2 En dimension finie . . . 2

I.3 En pratique . . . 2

I.4 Lc(E,F) . . . 4

II Applications polynomiales et applications multilinéaires en dimension finie 5 II.1 Applications polynomiales . . . 5

a. Définition . . . 5

b. Continuité . . . 5

c. Exemples fondamentaux . . . 5

II.2 Applications multilinéaires . . . 6

III Un peu de topologie surMn(K) 7 III.1 Quelques normes . . . 7

a. Peu importe la norme. . . 7

b. Trois premières normes surMn(K) . . . 7

c. Des normes plus intéressantes . . . 7

III.2 Quelques ouvert, quelques fermés, quelques densités . . . 9

III.3 Quelques continuités . . . 11

IV Quelques solutions 12