M ath ematiques ´ - ECS1
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E spaces vectoriels de dimension finie .
Lyc´eeLaBruyere` 30avenue deParis 78000 Versailles
2016, Polycopié du cours de mathématiques de première année.c
23.1 Objectifs du chapitre
Somme de deux sous-espaces vectoriels.
Somme directe de deux sous-espaces vectoriels.
Sous-espaces vectoriels supplémentaires.
Somme et somme directe de k sous-espaces vecto- riels.
Tout vecteur de la somme se décompose de ma- nière unique.
Concaténation de bases de sous espaces vectoriels. Caractérisation de sommes directes par concaté- nation des bases.
Base adaptée à une somme directe Théorème de l’échange.
Espaces vectoriels admettant une famille génératrice finie.
Existence de bases.
SiLest libre et siGest génératrice, le cardinal de Lest inférieur ou égal au cardinal deG.
Dimension d’un espace vectoriel. Notation dim(E).
Caractérisation des bases. Dans un espace vectoriel de dimensionn, une fa- mille libre ou génératrice de cardinal n est une base.
Théorème de la base incomplète.
Dimension d’un sous-espace vectoriel. SiFest un sous-espace vectoriel deEet si dim(F)=dim(E), alorsF=E.
Dimension d’une somme de deux sous espaces vecto- riels d’un espace vectoriel de dimension finie.
Dimension d’un supplémentaire. SiFetGsont supplémentaires, dim(F)+dim(G)=dim(E).
Caractérisation deE=F⊕Gpar la dimension et l’intersection deFetG.
Existence d’un supplémentaire en dimension finie.
Dimension d’une somme directe dekespaces vecto- riels.
Rang d’une famille finie de vecteurs.
Rang d’une application linéaire. Si (e1, . . . ,en) est une famille génératrice de E alors la famille (f(e1), . . . ,f(en)) engendre Im(f).
Lien entre recherche de l’image et résolution de système.
Formule du rang. Si E etFsont des espaces vectoriels,E étant de
dimension finie, et une application linéaireudeE dansF,
dimE=dim(Keru)+dim(Imu).
Application à la caractérisation des isomor- phismes.
Formes linéaires et hyperplans.
2
23.2 Compléments sur les espaces vectoriels 3
23.2 Compléments sur les espaces vectoriels
Dans ce chapitre, parK, on désigne l’ensembleRouC.
23.2.1 Somme de sous-espaces vectoriels
Définition 1. SoitE1,E2, . . . ,Ekdes sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E.
On appellesomme des sous-espaces vectorielsEi, noté E1+. . .+Ekou
k
X
i=1
Ei, l’en- semble des vecteurs deEpouvant s’écrire comme somme de vecteurs des sous-espaces vectorielsEi:
x∈
k
X
i=1
Ei⇐⇒
( il exite (x1,x2, . . . ,xk)∈E1×E2× · · · ×Ekt.q.
x=x1+x2+· · ·+xn
La somme
k
X
i=1
Eiest ditedirectesi tout vecteur de cette somme se décompose de ma- nièreuniquecomme somme de vecteurs des sous-espaces vectorielsEi. La somme di- recte est alors notéeE1⊕E2⊕ · · · ⊕EkouLk
i=1Ei.
Exemple 1. DansR3n[X] oùn≥2, on pose
E1= Vect (1,X, . . . ,Xn−1),E2= Vect (Xn,Xn+1, . . . ,X2n−1), E3= Vect (X2n,X2n+1, . . . ,X3n) On a alors
R3n[X]=E1⊕E2⊕E3.
Proposition 1. Soit E1,E2, . . . ,Ekdes sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectoriel E.
Les propriétés suivantes sont équivalentes : (1) la somme E1+E2+· · ·+Ekest directe
(2) la seule décomposition du vecteur nul0Erelativement à
k
X
i=1
Eiest la décomposition triviale
(3) pour tout j∈~2,k, Ej∩
X
i<j
Ei
={0E}
Exemple 2. Soit f un endomorphisme d’un espace vectorielEtel que f3= f. Montrer que Ker f, Ker (f−IE) et Ker (f+IE) sont en somme directe.
Attention, pour un nombre supérieur ou égal à 3, le caractère direct deux à deux des Fine suffit pas pour établir que leur somme est directe !
Proposition 2. Soit E1,E2, . . . ,Ekdes sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectoriel E de bases respectivesB1,B2, . . . ,Bk.
La somme E1+E2+· · ·+Ekest directe si et seulement si la familleB1∪B2∪. . .∪Bk
est une base de
k
X
i=1
Ei.
Définition 2. SoitE1,E2, . . . ,Ekdes sous-espaces vectoriels ensomme directed’un K-espace vectorielEde bases respectivesB1,B2, . . . ,Bk.
La familleB1∪B2∪. . .∪Bkobtenue en concaténant les basesBiest une base deE, diteadaptéeà la somme directeLk
i=1.
Exercice1.SoitE=C[X]. On pose
E0 ={P∈E|P(jX)=P(X)}, E1 ={P∈E|P(jX)= jP(X)}, E2 ={P∈E|P(jX)= j2P(X)}
Montrer queC[X]=E0⊕E1⊕E2.
23.2.2 Familles libres et familles génératrices.
Proposition 3. Soit E unK-espace vectoriel, deux entiers n,p non nuls et(e1, . . . ,en+p) une famille de n+p vecteurs de E. On noteF =(e1, . . . ,en+p)etF0 =(e1, . . . ,en).
Alors
F libre =⇒ F0libre F0génératrice =⇒ F génératrice
Reformulation :toute sous-famille d’une famille libre est libre et toute surfamille d’une famille génératrice est génératrice.
Proposition 4. Soit E unK-espace vectoriel, un entier n non nul et(e1, . . . ,en+1)une famille de n+1vecteurs de E.
(1) Si la famille (e1, . . . ,en) est libre et si en+1 < Vect(e1, . . . ,en) alors la famille (e1, . . . ,en+1)est libre.
(2) Si la famille(e1, . . . ,en+1)est génératrice et sien+1 ∈ Vect(e1, . . . ,en)alors la fa- mille(e1, . . . ,en)est génératrice.
Théorème de l’échange .Soit E unK-espace vectoriel, deux entiers r,p non nuls.
SoitG =(x1, . . . ,xp)une famille génératrice etL =(y1, . . . ,yr)une famille libre.
23.3 Espaces vectoriels de dimension finie. 5
Alors r ≤ p et on peut remplacer r vecteurs deG par les vecteurs deL pour obtenir une famille génératrice.
23.3 Espaces vectoriels de dimension finie.
Définition 3. UnK-espace vectorielEest dit dedimension finie s’il admet une famille génératrice finie.
UnK-espace vectorielEest dit de dimension infinie s’il n’est pas de dimension finie.
23.3.1 Existence de bases en dimension finie. Dimension d’un espace vectoriel de di- mension finie.
Théorème de la dimension .Soit E unK-espace vectoriel non nul de dimension finie.
Alors il existe une base finie de E et toutes les bases de E ont même cardinal.
Ce cardinal commun s’appellela dimensionde l’espace vectoriel E et on la notedimE.
Preuve.SoitEunK-espace vectoriel non nul de dimension finie. Par définition, il admet une famille génératrice finieG0(contenant au moins un vecteur non nul). Si la familleG0
est libre alors c’est une base et la preuve est finie. Sinon, on considère l’ensemble suivant : F ={G |G est une sous-famille génératrice deG0}
Cet ensemble est non vide puisqueG0∈F et pour toute familleG ∈F, 1≤ cardG ≤ cardG0.
On considère alors l’ensemble
N ={cardG |G ∈F}
L’ensembleN est une partie non vide (elle contient l’entierp= cardG0) deN. Elle admet donc un plus petit élémentr.
Soit alorsGminune famille deF de cardinalr. C’est une famille génératrice deE. Si elle n’était pas libre, on pourrait retirer un vecteur à cette famille et conserver une famille géné- ratrice qui alors serait de cardinalr−1 mais cela contredirait la minimalité der.
La familleGminest donc libre et génératrice, c’est donc une base deE.
Notons alorsBetB0deux bases deE. CommeBest libre etB0est génératrice, cardB≤ cardB0
d’après le théorème de l’échange. De même, en échangeant les rôles deBetB0on obtient cardB0≤ cardB.
Donc
cardB= cardB0
Remarque1.Pour l’espace vectoriel nul{OE}, on conviendra quedim{OE}=0.
Exemple 3. Soitn∈N∗. L’espace vectorielRn(resp.Cn) est unR-espace (resp.C-espace) vectoriel de dimension finie. Il est engendré par les vecteurs (e1,e2, . . . ,en) où
e1=
1 0
· 0
, ej=
0
· 1
· 0
, j∈~1,n, en=
0 0
· 1
.
Ces vecteurs en constituent une base dite canonique.
Exemple 4. Soitn∈N∗. LeK-espace vectorielKn[X] est unK-espace vectoriel de dimen- sion finie. Il est engendré par les polynômes 1,X, . . . ,Xnqui en constituent une base dite canonique.
Exemple 5. Soit (n,p)∈N∗×N∗. LeK-espace vectorielMn,p(K) est de dimension finie.
Il est engendré par les matrices élémentaires (Ei j)1≤i≤n 1≤j≤p
qui en constituent une base dite canonique.
Exemple 6. LeK-espace vectorielK[X] est un espace vectoriel de dimension infinie.
Sinon, il admettrait une famille génératrice finieP1, . . . ,Pn. En notant alorsp= max
j∈~1,n
{degPj}, il viendrait
K[X]=Vect(P1, . . . ,Pn)⊂Kp[X]
ce qui est absurde puisqueXp+1 <Kp[X].
Exemple 7. LeR-espace vectorielC(R) des fonctions continues sur Rest de dimension infinie. En effet, il contient l’espace vectorielR[x] des fonctions polynômiales qui est de dimension infinie puisqu’isomorphe àR[X].
Exemple 8. LeR-espace vectorielRNdes suites réelles est de dimension infinie puisqu’il contient l’espace vectoriel des suites à support fini qui n’est autre queR[X].
Exercice2. Soitnun entier supérieur ou égal à 2 etE={P∈Rn[X]|P(0)=P(1)=0}. Montrer queEest un sous-espace vectoriel deRn[X] et donner sa dimension.
Théoème de la base incomplète .Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie n∈ N∗, un entier naturel k<n et(e1, . . . ,ek)une famille libre de E.
Alors il existe n−k vecteursek+1, . . . ,entels que la famille(e1, . . . ,ek,ek+1, . . . ,en)est une base.
Proposition 5. Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie n∈N∗. (1) Toute famille libre de E est finie et a au plus n éléments.
(2) Toute famille d’au moins n+1vecteurs est liée.
(3) Toute famille génératrice a au moins n éléments.
Exercice3. Soit f ∈L(E) oùEest de dimension finien≥1.On suppose que f ,0 et f est nilpotent, c-à-d qu’il existek∈Ntel que fk=0.
23.3 Espaces vectoriels de dimension finie. 7
(a) Montrer que f n’est pas bijective.
(b) Soit p le plus petit entier tel que fp = 0. Montrer qu’il existe x0 ∈ E tel que (x0,f(x0), . . . ,fp−1(x0)) est libre.
(c) En déduire que p≤n.
Proposition 6. Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie n∈N∗etF une famille de vecteurs de E.
Deux quelconques des propriétés suivantes impliquent la troisième : (1) F possède n éléments
(2) F est libre (3) F est génératrice
Reformulation : dans un espace vectoriel de dimension fininen, toute famille libre den vecteurs est une base et toute famille génératrice denvecteurs est une base.
Remarque2.Terminologie.
(1) Une famille libre denvecteurs d’un espace vectorielEde dimension finienest appe- léefamille libre maximaledeE.
(2) Une famille génératrice denvecteurs d’un espace vectorielEde dimension finienest appeléefamille génératrice minimaledeE.
Exemple 9. Pour toutk∈~0,n,on posePk=Xk(1−X)n−k.
Montrer que la famille (Pj)0≤j≤n est une base deRn[X].On montrera que pour tout j ∈
~0,n, Xj est combinaison linéaire de Pj,Pj+1, . . . ,Pn en commençant par écrire Xj = Xj×1n−j.
Exemple 10. Soit f ∈L(R3) tel que f3=0 et f2 ,0.
Montrer qu’il existe un vecteur~a∈R3tel que (~a,f(~a),f2(~a)) est une base deR3. 23.3.2 Sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension finie.
Proposition 7. Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace vectoriel de E. Alors
(1) F est un espace vectoriel de dimension finie etdimF≤dimE.
(2) De plus, sidimF=dimE alors F=E.
Le corollaire suivant est très utile : pour montrer l’égalité de deux sous-espaces vecto- riels de dimension finie, il suffit de montrer une inclusion et l’égalité des dimensions.
Corollaire 8. Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sous- espaces vectoriels de E. Alors
F=G si et seulement si
(F⊂G et dimF=dimG
Proposition 9. Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie n∈ N∗et F un sous- espace vectoriel de E de dimension p.
Il existe un sous-espace vectoiel S de E supplémentaire de F dans E et tout supplémen- taire de F dans E est de dimension n−p.
Reformulation :tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie admet un supplémentaire dansE.
Proposition 10. Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sous- espaces vectoriels de E. Alors
dim(F+G)=dimF+dimG−dimF∩G.
Proposition 11. Soient E1,E2, . . . ,Ekdes sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension finie.
Si E1,E2, . . . ,Eksont en somme directe alors dim
k
M
i=1
Ei=
k
X
i=1
dimEi.
Définition 4. SoitEunK-espace vectoriel non nul.
(a) On appelledroite vectorielle deEtout sous-espace vectorielDdeEde dimension finie égale à 1.
Il existe alorsa∈E− {OE}tel queD=Ka.
(b) On appelleplan vectorieldeEtout sous-espace vectorielPdeEde dimension finie égale à 2.
Il existe alors deux vecteurs a et b non colinéaires de E − {OE} tel que P = Vect(a,b).
(c) On appelle hyperplandeEtout sous-espace vectorielHdeEadmettant un supplé- mentaire de dimension finie égale à 1.
LorsqueEest de dimension finien∈N∗,
Hest un hyperplan de E si et seulement si dimH=n−1.
Exercice4. SoitEunK-espace vectoriel non supposé de dimension finie.
SoitHun hyperplan deEetF un sous-espace vectoriel deEtel queH ⊂FetH,F.
Montrer queF=E.
Exemple 11. Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E. On suppose que Kerf + Imf est un sous-espace vectoriel de dimension finie deE.
Montrer queEest un espace vectoriel de dimension finie.
23.4 Applications linéaires en dimension finie. Rang. 9
23.4 Applications linéaires en dimension finie. Rang.
Définition 5. SoitEunK-espace vectoriel et (e1, . . . ,en) une famille de vecteurs deE.
On appelle rang de la famille (e1, . . . ,en), et on note rg(e1, . . . ,en), la dimension de Vect(e1, . . . ,en).
Exemple 12. DansR3, déterminer le rang des vecteurs
1 1 1
,
0 1 1
,
0 0 1
Exemple 13. Déterminer le rang de la famille de polynômes (P1,P2,P3,P4) où P1=X, P2 =X+1, P3 =X2+X, P4=−X2+X+1
Proposition 12. Soit E unK-espace vectoriel,(e1, . . . ,en)une famille de vecteurs de E et des scalairesλ1, . . . , λnetα,0. Alors
(1) rg(e1, . . . ,en)=rg
e1, . . . ,en+
n−1
X
j=1
λjej
et (2) rg(e1, . . . ,en)=rg(e1, . . . , αen).
Exercice5.SoitVle sous-espace vectoriel deR4engendré par les vecteurs u1=(1,−2,5,−3), u2=(2,3,1,−4)etu3=(3,8,3,5).
Trouver une baseBdeVet la compléter cette base en une base deR4.
Définition 6. SoientE,FdeuxK-espaces vectoriels avecE de dimension finie etu ∈ L(E,F).
On appellerang de l’application linéaireuet on note rgula dimension de Imu.
Exemple 14. Soit f :R2→R4définie par f x y
!
=
x
−y+x y x
.
Montrer que f est une application linéaire et déterminer rgf. Exemple 15. Soit f :Rn[X]→Rn[X] définie par f(P)=XP0−P. Montrer que f est un endomorphisme deRn[X] et déterminer rgf.
Exercice6. Soitu∈L(E) tel que rgu=1. Montrer qu’il existeλ∈Ktel queu2=λu.
Théorème du rang .Soient E,F deuxK-espaces vectoriels avec E de dimension finie et u∈L(E,F).
AlorsIm u est un espace vectoriel de dimension finie et dim Kerf +dim Imf =dimE.
Exercice7.SoientEun espace vectoriel de dimensionnet fune application linéaire de Edans lui-même.
Montrer queKer (f)=Im (f)⇐⇒ f2=0 etn=2 rg(f).
Exercice8.SoientE,FdeuxK-ev de dimension finie et f ∈L(E,F),g∈L(F,E). On suppose que f◦g◦ f = f etg◦ f◦g=g.
(1) Montrer que rg(f)=rg(g).
(2) Montrer queE=Img⊕Kerf
Proposition 13. Soient E,F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et u ∈ L(E,F). Alors
(1) u est injective si et seulement sirgu=dimE (2) u est surjective si et seulement sirgu=dimF
Caractérisation des isomorphismes en dimension finie.
Théorème : caractérisation des isomorphismes en dimension finie .Soient E,F deux K-espaces vectoriels de dimension finie tels quedimE=dimF et u∈L(E,F).
Alors les énoncés suivants sont équivalents : (1) u est injective
(2) u est surjective
(3) u est un isomorphisme de E sur F
Reformulation :
— Toute application linéaire injective entre deux espaces vectoriels ayant la même dimension (finie) est bijective.
— Toute application linéaire surjective entre deux espaces vectoriels ayant la même dimension (finie) est bijective.
Exemple 16. Soit f :Rn[X]→Rn+1l’application définie par f(P)=(P(x0),P0(x0),P00(x0), . . . ,P(n)(x0)).
Montrer que f est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
23.5 Exercices. 11
Corollaire 14 (caractérisation des automorphismes en dimension finie). Soient E unK-espace vectoriel dedimension finieet u∈L(E).
Alors les énoncés suivants sont équivalents : (1) u est injective
(2) u est surjective
(3) u est un automorphisme de E
Exemple 17. SoitEunK-ev de dimension finien≥1 et f ∈L(E).
On suppose qu’il existex0 ∈ E, x0 ,OE tel que la famille (f(x0),f2(x0), . . . ,fn(x0)) est une base deE.
Montrer que f est un automorphisme deE.
23.4.1 Formes linéaires et hyperplan
Définition 7. SoitEunK-espace vectoriel.
On appelleforme linéaire surEtoute application linéaire deEversK.
Proposition 15. Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie.
Le noyau d’une forme linéaire non nulle sur E est un hyperplan de E.
Proposition 16. Réciproquement tout hyperplan de E est le noyau d’une forme linéaire non nulle.
23.5 Exercices.
Exercice9. Pouvez vous donner deux bases deR4 ayant en commun les deux vecteurs u1=(1,0,1,1) etu2=(1,1,0,1) ?
Exercice 10. Sous quelles conditions les vecteurs (0,1,x), (x,1,−1) et (x,1,1 + x) forment-ils une base deC3?
Exercice11. Soitn∈Ntel quen≥3 et (e1, . . . ,en) une base deRn. On poseen+1=e1. Pour 1≤i≤n,on poseui=ei+ei+1.
Quelle est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les vecteursu1, . . . ,un?
Exercice12. SoitVle sous-espace vectoriel deR3: V ={(a,a,0) | a∈R} (a) Soient
W1={(x,y,z) | x=2y−z}etW2={(x,y,z) | x=2y+z}
Montrer queW1etW2sont deux supplémentaires deVdansR3.
(b) SoitWl’un des supplémentaires deVci-dessus. Exprimer le projecteurpdeR3tel que
kerp=Wet Imp=V.
Exercice13. SoitV1etV2les sous-espaces vectoriels deR4donnés par V1 ={(x,y,z,t)|z=yett=x}etV2={(x,y,z,t)|z=−yett=−x}.
(a) Montrer queV1⊕V2=R4.
(b) Trouver une baseB1deV1et une baseB2deV2.
(c) Exprimer le projecteur ptel que kerp=V1et Imp=V2.
Exercice14. SoitEun espace vectoriel de dimension 4 et (e1,e2,e3,e4) une base deE.
On pose
v1=e1+e2+e4 v2=e1−e2+e3−2e4
v3=−e1+e2−e3+e4
(a) Montrer que les vecteursv1,v2,v3forment une famille libre.
(b) La compléter en une base deE.
Exercice15. Soitf l’endomorphisme deR4défini dans la base canonique (e1,e2,e3,e4) par
f(e1)=(1,−4,−2,1), f(e2)=(1,−3,−1,2) f(e3)=(0,1,1,1), f(e4)=(3,−8,−2,7).
Trouver une base de Im f et en déduire le rang de f.
Exercice16. Soienta,b,u,v,wles vecteurs deR4suivants :
a=
0 6
−1 4
, b=
3 3 1 5
, u=
1 0 0 0
, v=
1
−1 0 1
, w=
0 2 1 0
.
23.5 Exercices. 13
On noteF= Vect (a,b) etG= Vect (u,v,w).
(1) Déterminer les dimensions deF∩GetF+G.
(2) Les sevF,Gsont-ils supplémentaires dansR4?
Exercice17. SoitPun polynôme unitaire de degrén∈N∗.
(1) Montrer que la famille (P(X),P0(X),P00(X),P(3)(X), . . . ,P(n−1)(X),P(n)(X)) est une base deKn[X].
(2) Quelles sont les coordonnées deP(X+1) dans cette base ?
Exercice18. SoitA,Bdeux sous-ev de même dimensionp≥1 d’unK-evEde dimen- sion finie. Montrer queAetBadmettent un supplémentaire commun dansE.
Exercice 19. SoitH etH0deux hyperplans d’un K-evE de dimension finie n ∈ N∗. Discuter la dimension deH∩H0.
Exercice 20. Soit f un endomorphisme non nul deR3 tel que f2 = 0. Montrer que rg(f)=1.
Exercice21. SoitEunK-ev de dimension finien∈N∗etf,gdeux endomorphismes de Etels que
f +g= f ◦g.
Montrer que f◦g=g◦ f.
Exercice22. SoitE,F,GdesK-ev de dimension finie et f :E −→F,g: F −→Gdes applications linéaires.
(1) Montrer que sigest injective alors rg(g◦ f)=rg(f).
(2) Montrer que si f est surjective alors rg(g◦ f)=rg(g)
Exercice23. Soitu:C4[X]7→C4[X] l’application qui àPassocie le reste de la division euclidienne dePparX2+X+1.
(a) Calculeru(X4) etu(X3+1) puisu(2X4+X3+1).
(b) Montrer queuest linéaire.
(c) Déterminer keruet en donner une base.
(d) Montrer que Imu=C1[X].
(e) PourP∈C4[X], exprimeru(P) en fonction deP(j), P(j2).
Exercice24. Soitn∈N∗eta1, . . . ,andes scalaires deux à deux distincts et f l’applica- tionP∈Kn−1[X]7→(P(a1), . . . ,P(an))∈Kn.
(a) Montrer que f est linéaire.
(b) Montrer que f est injective.
(c) En déduire que f est bijective.
(d) Soit (e1, . . . ,en) la base canonique deKn. Déterminerf−1(ei) pour 1≤i≤n.
Exercice25. Pour tout polynômeQ, on noteQ0le polynôme dérivé deQ. On considère l’applicationTdeR2n−1[X] dansR2ndéfinie par :
∀Q∈R2n−1[X], T(Q)= Q(a1),Q(a2), . . . ,Q(an),Q0(a1),Q0(a2), . . . ,Q0(an) (a) Montrer queT est une application linéaire deR2n−1[X] dansR2n.
(b) Montrer queT est injective. En déduire queT est bijective.
Exercice26. SoitEun espace vectoriel de dimension finien∈N∗et f,g,htrois endo- morphismes deEtels que :
f ◦g=h, g◦h= f, h◦ f =g
(1) Comparer les images de ces trois endomorphismes ainsi que leurs noyaux.
(2) Montrer que f2=g2=h2et, en calculanth2◦ f◦h2, montrer que f5= f. (3) Montrer que les noyaux des puissances def sont tous égaux et en déduire que Im f
et ker f sont supplémentaires.
Exercice27. Soitaetbdeux réels distincts.
On désire déterminer une solution de l’équation : (En) (X−a)nAn+(X−b)nBn=1 d’inconnuesAnetBndansRn−1[X], l’espace des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à (n−1).
(1) Montrer que si (En) admet un couple solution, celui-ci est unique.
(2) On considère les ensembles :
F={(X−a)nP | P∈Rn−1[X]} et G={(X−b)nP | P∈Rn−1[X]}.
(a) Vérifier queFetGsont des espaces vectoriels dont on précisera la dimension.
(b) DéterminerF∩G. En déduire la dimension deF+G.
(c) En déduire que (En) admet une solution unique.
(3) Montrer qu’il existe un polynômePndont on précisera le degré, vérifiant :
∀x∈R,Z x a
(t−a)(t−b)n−1
dt=(x−a)nPn(x)
23.5 Exercices. 15
(4) Etablir l’identité :∀x∈R,(x−a)nPn(x)+(b−x)nPn(a+b−x)=(b−a)nPn(b).
(5) Exprimer le couple solution de (En) en fonction du polynômePn.
Exercice 28. Soit f ∈ L(E) tel que f , 0 où E est de dimension finie n ≥ 1.On suppose que pour toutx∈Eil existek(x)∈N∗tel que fk(x)(x)=0.
(1) Montrer que f est nilpotent : il existek∈N∗tel que fk=0.
(2) Montrer queu =
k−1
X
j=0
fj
j! est un automorphisme deE. Déterminer en fonction de f l’automorphisme réciproque deu.
(3) Comparer ker f et ker (u−IE)
Exercice29. SoitEunK-ev de dimension finien≥1 et f ∈L(E). On suppose qu’il existex0∈E, x0,0E tel que la famille (f(x0),f2(x0), . . . ,fn(x0)) est une base deE.
(a) Montrer que f est un automorphisme deE.
(b) En déduire que (x0,f(x0), . . . ,fn−1(x0)) est une base deE.
(c) Prouver qu’il existe des scalaires a0,a1, . . .an tels que fn = a0IE +a1f +. . .+ an−1fn−1.
Exercice30. SoitE,F,GdesK-ev de dimension finie et f :E −→F,g: F −→Gdes applications linéaires.
Montrer l’équivalence suivante :
Im (f)= ker (g)⇐⇒g◦ f =0 et rg(f)+rg(g)=dim(F).
Exercice31. SoitEetFdes ev de dimension finie et f ∈L(E,F). Montrer que f est un isomorphisme ssi
∀g∈L(F,E), f◦g◦ f =0=⇒g=0.
Exercice32. SoitEunK-espace vectoriel de dimension finien≥2. Soit fun endomor- phisme deEcommutant avec tout automorphisme deE:
∀g∈GL(E), f◦g=g◦ f.
(1) Soient x,ydeux vecteurs linéairement indépendants deE. Montrer qu’il existe un automorphismeudeEtel queu(x)=xetu(y)=x+y.
(2) Soit a ∈ E, a < ker f. Montrer quea et f(a) sont liés. En déduire qu’il existe λ(a)∈Ktel que f(a)=λ(a)a
(3) Montrer queλ(a) ne dépend pas dea.
Exercice33. SoitEunK-ev de dimension finie etu,v∈L(E) tels que keru+kerv= Imu+ Imv. Montrer que ces sommes sont directes. Le résultat reste-t-il vrai en di- mension infini ?
Exercice34. SoitEunR–espace vectoriel de dimension 4. On note ˆ0 l’endomorphisme nul deEetIl’application identité deE. On considère un endomorphismeudeEtel que
u3+u2+u=ˆ0.
On poseE1= Ker (u2+u+I) etE2= Keru.
(1) Montrer que Imu⊂E1et queE1etE2sont stables paru.
(2) Montrer que : (a) E1⊕E2=E.
(b) E1= Imu.
(c) E2= Im (u2+u+I).
(3a) Montrer que, pour tout vecteur non nulxdeE1, la famille x,u(x)est libre.
(3b) Montrer que s’il existe deux vecteursxetydeE1tels que la famille x,u(x),ysoit libre, alors la famille x,u(x),y,u(y)est libre.
(3c) Quelles sont les dimensions possibles deE1?
Exercice35. SoitEun espace vectoriel surC, de dimensionn∈N∗.
• On noteIE l’application identique deE.
• Soit p ∈ N?. On dit qu’un endomorphisme f de E estcyclique d’ordre ps’il existe un vecteurx0deEvérifiant les trois conditions suivantes :
(i) fp(x0)=x0,
(ii) la famille (x0,f(x0), . . . ,fp−1(x0)) est génératrice deE,
(iii) la famille (x0,f(x0), . . . ,fp−1(x0)) est constituée de vecteurs deux à deux distincts.
La famille (x0,f(x0), . . . ,fp−1(x0)) est alors appelée uncyclede f. On considère un endomorphisme f deEcyclique d’ordrep.
Soit (x0,f(x0), . . . ,fp−1(x0)) un cycle de f. (1) Montrer :p≥n.
(2) Montrer que fp=IE. En déduire que f est bijective.
(3) On note m le plus grand des entiers naturels k tels que la famille (x0,f(x0), . . . ,fk−1(x0)) est libre.
(a) Montrer que fm(x0) est combinaison linéaire des m vecteurs x0,f(x0), . . . ,fm−1(x0)
23.5 Exercices. 17
(b) Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel k supérieur ou égal à m, le vecteur fk(x0) est combinaison linéaire des m vecteurs x0,f(x0), . . . ,fm−1(x0)
(c) En déduire quem=net que la famille (x0,f(x0), . . . ,fn−1(x0)) est une base deE.
Exercice36. SoitEunR-espace vectoriel de dimension finie. On appelleprojecteurde Etout endomorphisme f deEvérifiant f ◦ f = f.
(1) Montrer que f est un projecteur si et seulement s’il existeA,Bsous–espaces vecto- riels deEtels que
i)E=A⊕B ii)∀x∈A, f(x)=0 iii)∀x∈B, f(x)=x.
(2) Soient f etgdeux projecteurs deE.
(a) Montrer quef etgsont deux projecteurs tels que Im f = Imgsi et seulement si f ◦g=getg◦ f = f.
(b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que f et g soient deux projecteurs de même noyau.
a) Montrer que f etgsont deux projecteurs tels que=f ==gsi et seulement si f ◦g=getg◦ f = f.
b)
(3) Soient f,gdeux projecteurs deE. On suppose que f ◦g=g◦ f. Montrer que : E=( Im f∩ Img)⊕( Im f ∩ kerg)⊕( ker f∩ Img)⊕( ker f∩ kerg).
Que peut–on dire de f◦g?
23.6 Indications pour les exercices
Indication pour l’exercice2. Caractère non vide et stabilité par combinaison linéaire. Pour la dimension, commencer par étudier les facteurs possibles pour un polynôme deEen fonc- tion des racines imposées.
Indication pour l’exercice3. (a) Raisonner par l’absurde.
(b) Soit p le plus petit entier tel que fp = 0. Remarquer que fp−1 , 0 et considérer un vecteurx0tel que fp−1(x0),0.
(c) Une famille libre en dimensionna au plusnvecteurs.
Indication pour l’exercice4. L’ev E n’est pas supposé de dimension finie, on ne peut donc pas utiliser la caractérisation par la dimension. A l’aide d’un supplémentaire deH dansE, montrer queE⊂F.
Indication pour l’exercice6. Puisque Im (u) est de dimension 1, il est engendré par un vecteur e. Considérer ensuite le vecteuru(e).
Indication pour l’exercice9. D’après le théorème de l’échange, on peut partir de deux bases (par exemple, la base canonique et une autre base) puis faire un échange bien choisis avec deux vecteurs de chacune de ces bases.
Indication pour l’exercice10. Montrer d’abord qu’il est nécessaire que x , 0 puis en supposantx,0, etudier par opérations élémentaires, le rang de ces trois vecteurs.
Indication pour l’exercice11. CalculerPn
i=1(−1)iuiet étudier le rang du système de vec- teursu1,u2, . . . ,unen travaillant avec leurs coordonnées dans la base (e1,e2, . . . ,en).
Indication pour l’exercice12. Pour exprimer le projecteurpdeR3tel que kerp=Wet Imp=V
il suffit de décomposer tout vecteur (x,y,z)=v+wrelativement à la sommeV⊕W et de poserp(x,y,z)=w.
Indication pour l’exercice13. Même méthode qu’à l’exercice précédent pour exprimer le projecteurp.
Indication pour l’exercice14. Etudier le rang des vecteurs v1,v2,v3 en travaillant avec leurs coordonnées dans la base (e1,e2,e3,e4).
Indication pour l’exercice15. Puisque (e1,e2,e3,e4) est une base deR4, on a Im (f) = Vect (f(e1),f(e2),f(e3),f(e4)). Il suffit alors d’extraire de la famille génératrice, une base de Im (f) par opérations élémentaires.
Indication pour l’exercice16. Commencer par la dimension deF+Gen calculant le rang dea,b,u,v,w.
Indication pour l’exercice18. Partir d’une base deA∩B.
Indication pour l’exercice19. Distinguer les casH=H0etH,H0. Indication pour l’exercice20. Remarquer que f2=0 ssi Im (f)⊂ ker (f).
Indication pour l’exercice21. Développer (f−IE)◦(g−IE).
23.7 Correction des exercices 19
Indication pour l’exercice22. (1) Remarquer que siv1,v2, . . . ,vpest une base de Im (f) alorsg(v1),g(v2), . . . ,g(vp) est une base de Im (g◦ f).
(2) Remarquer que si (e1,e2,· · ·,en) est une base de Ealors (f(e1),f(e2),· · ·,f(en)) est une famille génératrice deF
Indication pour l’exercice23. (a) Faire les divisions euclidiennes de X4 et X3+1 par X2+X+1.
(b) SoientPetQdeux polynômes deC4[X] etλ∈C.
Ecrire les divisions euclidiennes dePetQparX2+X+1 et penser à l’unicité du reste dans une division euclidienne.
(c) SoitPun polynôme deC4[X] :
u(P)=0 ssiPest un multiple deX2+X+1.
(d) La question précédente donne la dimension du noyau. Il reste à appliquer le théorème du rang.
(e) Ecrireu(P) sous la formeαX+βet former un système à deux équations pour trouverα etβ.
Indication pour l’exercice24. (a) Utiliser la définition.
(b) Utiliser la caractérisation de l’injectivité et compter les racines.
(c) Utiliser la caractérisation des isomorphismes en dimension finie.
(d) Etudier les racines et le degré de f−1(ei).
Indication pour l’exercice25. (a) Utiliser la définition
(b) Etudier le noyau et compter les racines avec leurs multiplicités.
Indication pour l’exercice28. (1) Il faut trouver un entierkindépendant dextel que fk est nul. Considérer une base (e1, . . . ,en) deE et le plus grand des entierskassociés aux vecteurs de cette base.
(2) Montrer queuest injectif en étudiant son noyau.
(3) Comparer ker f et ker (u−IE)
Indication pour l’exercice30. Pour la condition nécessaire, penser au théorème du rang.
Pour la condition suffisante, se rappeler, qu’en dimension finie, l’égalité de deux sev peut être établie grâce à une inclusion et à l’égalité des dimensions.
Indication pour l’exercice31. Pour la condition suffisante, montrer que sif n’est pas un isomorphisme, on peut trouver une application linéairegnon nulle telle que f ◦g◦ f =0.
23.7 Correction des exercices
