I.3 En dimension finie

Al4 et 5 : Diagonalisation des endomorphismes et des matrices

La lettreKdésigne toujours un corps commutatif, la lettreEdésigne toujours unK-espace vectoriel.

I Vecteurs propres, valeurs propres, sous-espaces propres

I.1 Langage vectoriel

Définition Siu∈L(E), on dit queλ∈Kest valeur propre deulorsqu’il existex∈E\ {0_E},x6=0_E, tel queu(x)=λxOn dit alors quexest vecteur propre pouruassocié à la valeur propreλ.

Autrement dit, un vecteur propre deuest un vecteurnon nulxtel queu(x) soit lié avecx.

Proposition xest vecteur propre deusi et seulement si la droite vectorielle Vect(x) est stable paru.

Définition Siλest une valeur propre deu, le sous-espace propre deuassocié àλest E_λ(u)=Ker(u−λId_E)=Ker(λId_E−u)

On a doncE_λ(u)={x∈E;u(x)=λx} ce qui signifie queE_λ(u) est constitué des vecteurs propres deuauxquels on rajoute 0_E (qui, on le rappelle, n’est pas, lui, un vecteur propre !).

I.2 Langage matriciel

On dit queλ∈Kest valeur propre deA∈Mn(K) lorsqu’il existeX∈Mn,1(K) \ {(0)} tel queAX =λX. On définit E_λ(A)=Ker(A−λI_n)=Ker(λI_n−A)

I.3 En dimension finie

Si dim(E)< +∞, on note Sp(u) l’ensemble des valeurs propres deu.

(λI d_E−u6∈GL(E)) ⇐⇒ (u−λI d_E6∈GL(E))⇐⇒³

λ∈Sp(u)´ SiA∈M_n(K), (λI_n−A6∈GL_n(K))⇐⇒ (A−λI_n6∈GL_n(K))⇐⇒

³λ∈Sp(A)´ .

Proposition Soitu∈L(E),Eespace de dimension finie. u∈GL(E) ⇐⇒ 06∈Sp(u).

Soitnun entier naturel non nul : A∈GL_n(K) ⇐⇒ 06∈Sp(A) Remarque SiA∈Mn(R), Sp_R(A)⊂Sp_C(A)

Proposition SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie,Bune base deE,u∈L(E), A=M_B(u). Alors Sp(A)=Sp(u) et, notant X=M_B(x), x∈E_λ(u)⇐⇒ X∈E_λ(A).

Proposition Deux matrices semblables (A,Btelles qu’il existeP∈GL_n(K) vérifiantB=P⁻¹AP) ont même spectre.

II Sous-espaces propres, vecteurs propres asociés à des valeurs propres distinctes

Les trois propositions suivantes restent vraies même si on n’est pas en dimension finie.

Proposition 1 Soit (E,+, .) unK-espace vectoriel,u∈L(E).

Siλ1, . . . ,λpsont des valeurs propres deudeux à deux distinctes, alors la somme E_λ1(u)+ · · · +E_λp(u)

est directe, et s’écrit donc E_λ1(u)⊕ · · · ⊕E_λp(u).

Cela signifie que six₁+. . .+x_p=0_E, avec chaquex_kdansE_λk(u), alorsx₁=. . .=x_p=0_E.

Proposition 2 Soit (E, (.|.)) unR-espace vectoriel euclidien,u∈S(E) un endomorphisme symétrique.

Siλ1, . . . ,λp sont des valeurs propres deudeux à deux distinctes, les sous-espaces propresE_λi(u) sont deux à deux orthogonaux, et donc la somme

E_λ1(u)+ · · · +E_λp(u) est non seulement directe, mais aussi orthogonale.

Proposition 3 Formulation brève : une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre.

Soitu ∈L(E), oùE est un espace vectoriel, soit (x_i)_i∈I une famille de vecteurs propres deu associés à des valeurs propres deux à deux distinctes :

∀i∈I u(x_i)=λix_i et x_i6=0_E avec (i6=j)⇒(λi6=λj). Alors (x_i)_i∈Iest libre.

III Polynôme caractéristique

Définition SiA∈Mn(K), on définitPA(X)=det(X In−A)∈K[X]. Remarque : det(X In−A)=(−1)ⁿdet(A−X In) Les coefficients à connaître SiA∈Mn(K),

det(X I_n−A)=Xⁿ−Tr(A)Xⁿ⁻¹+ · · · +(−1)ⁿdet(A)

Proposition fondamentale Les valeurs propres d’une matrice sont les racines de son polynôme caractéristique.

Multiplicité d’une valeur propre On dit queλest valeur propre deAde multiplicitémlorsqueλest racine de multiplicité mdu polynôme caractéristique deA.

Proposition Le nombre de valeurs propres deA∈Mn(K), comptées autant de fois que leur multiplicité, est inférieur ou égal àn.

Proposition Le nombre de valeurs propres deA∈Mn(C), comptées autant de fois que leur multiplicité, est égal àn.

Proposition SoitA∈Mn(R). Sinest impair, alors Sp_R(A)6= ;

Proposition SoitA∈Mn(R). Siλest une valeur propre complexe non réelle deA,λen est une autre, avec même multiplicité.

Valeurs propres d’une matrice diagonale ou triangulaire Elles sont très faciles à déterminer : ce sont les coefficients diago- naux.

Proposition AetA^Tont mêmes valeurs propres. Autrement dit, Sp(A)=Sp(A^T). Les multiplicités sont également les mêmes.

Les vecteurs propres et les sous-espaces propres ne sont pas les mêmes, mais siλ∈Sp(A), les sous-espaces propres associés ont même dimension : dim (E_λ(A))=dim¡

E_λ(A^T)¢ . Proposition Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique

Définition Soitu ∈L(E),E étant unK-espace vectoriel de dimension finie. Le polynôme caractéristique deMB(u) ne dépend pas de la baseBdeE. On l’appelle polynôme caractéristique deu:P_u(X)=det(XId_E−u).

Proposition QuandP_u ouP_Aest scindé, la trace est la somme des valeurs propres comptées autant de fois que leur multi- plicité, le déterminant est le produit des valeurs propres comptées autant de fois que leur multiplicité :

Tr(a)= X

λ∈Sp(a)

m_λλ , det(a)= Y

λ∈Sp(a)

λ^mλ

On se souviendra facilement de ces relations en pensant au cas des matrices triangulaires supérieures.

IV Polynômes annulateurs

IV.1 Polynômes d’endomorphismes et de matrices

Définition

On note (A,+,×, .) une algèbre sur le corps commutatifK(ouK-algèbre). Cette algèbre est unitaire, on noteraeson élément neutre. SiP=

+∞X

k=0

p_kX^k=p_dX^d+. . .+p₁X+p₀ ∈K[X], et sia∈A, on note

P(a)=

+∞X

k=0

p_ka^k=p_da^d+. . .+p₁a+p₀e

et on définit bien ainsi un élément deA. On veille à ne pas oubliere, c’est-à-direI_n∈M_n(K), Id∈L(E) suivant les cas.

Propriétés opérationnelles

SiP,Q∈K[X], siu∈L(E), siλ∈K, (λP+µQ)(u)=λP(u)+µQ(u), (PQ)(u)=P(u)◦Q(u)=Q(u)◦P(u), 1(u)=Id_E

SiP,Q∈K[X], siA∈Mn(K), siλ∈K: (λP+µQ)(A)=λP(A)+µQ(A) (PQ)(A)=P(A)Q(A)=Q(A)P(A) 1(A)=I_n

Définition K[a]={P(a) ;P∈K[X]}=Vect¡

(aⁿ)_n∈N¢

IV.2 Polynômes annulateurs

Dans le cas d’un endomorphisme, on suppose qu’on est en dimension finie.

Définition Un idéal de l’anneau (A,+,×) est un sous-groupeIde (A,+) (I6= ; ,∀(a,b)∈I²b−a∈I) qui est de plus absorbant pour×:∀a∈A∀x∈I (a×x,x×a)∈I².

SiIest un idéal deZou deK[X], il existeä ∈Itel queI=(ä) (ensemble des multiples deä).

Définition Soitaun endomorphisme ou une matrice. SoitI_a={P∈K[X] ; P(a)=0}.I_aest un idéal non nul, appelé idéal des polynômes annulateurs dea. Il existe alors un unique polynôme unitaireπatel que

I_a=¡ πa

¢={πaQ;Q∈K[X]}

πaest le polynôme minimal dea.

C’est le polynôme unitaire de plus petit degré qui annulea.

Et on a Q(a)=0_A ⇐⇒ πa|Q.

Théorème dim¡ K[a]¢

=deg(πa). Plus précisément, sid=deg(πa), (e,a, . . .a^d−1)_{0≤n≤d−1}est une base deK[a].

Proposition Soitu∈L(E),x∈E. Siu(x)=λx, et siP∈K[X], alorsP(u)(x)=P(λ)x. Surtout ne pas écrireP(u(x)). On peut détailler : [P(u)] (x).

SoitA∈Mn(K),X∈Mn,1(K). SiAX=λXet siP∈K[X], alorsP(A)X=P(λ)X. Là aussi, ne pas écrireP(AX).

Un schéma de démonstration Lorsqu’on doit montrer une propriété sur lesP(a), on montre souvent cette propriété pour lesa^k(par récurrence surk) puis on étend aux polynômes par combinaison linéaire.

Proposition

SiPest annulateur deu, toute valeur propre deuest racine deP. SiPest annulateur deA, toute valeur propre deAest racine deP. Proposition

Les valeurs propres d’un endomorphisme en dimension finie sont les racines de son polynôme minimal.

Les valeurs propres d’une matrice carrée sont les racines de son polynôme minimal.

Corollaire Le polynôme caractéristique et le polynôme minimal ont les mêmes racines.

Théorème (Cayley-Hamilton) πa|P_a. Le polynôme caractéristique est annulateur.

Corollaire deg(πa)≤n.

IV.3 Le théorème de décomposition des noyaux

Théorème

Soitaune matrice ou un endomorphisme. SiP₁,P₂∈K[X] sont deux polynômes premiers entre eux (P₁∧P₂=1), alors, en notantP=P₁P₂,

Ker (P(u))=Ker (P₁(u))⊕Ker (P₂(u))

Extension SiP₁, . . . ,P_m∈K[X] sont deux à deux premiers entre eux ((i6=j)⇒(P_i∧P_j=1)), alors, en notantP=

m

Y

i=1

P_i,

Ker (P(a))=

m

M

i=1

Ker (P_i(a))

Remarque Le théorème des noyaux ne se limite pas à la dimension finie.

Utilisation d’un polynôme annulateur Disposer d’un polynômeP annulateur dea(aendomorphisme ou matrices) pré- sente de multiples intérêts :

SiPest scindé à racines simples,aest diagonalisable.

SiPest scindé,aest trigonalisable.

SiP=P₁. . .P_r avec (i6=j)⇒(P_i∧P_j=1), alorsE=

r

M

i=1

Ker (P_i(a)) (siaest une matrice,E=Kⁿ assimilé en général à M_n,1(K)), et chacun de ces noyaux est un sous-espace stable para.

V Diagonalisabilité

V.1 Endomorphismes

Définition Un endomorphismeu∈L(E) (dim(E)< +∞) est dit diagonalisable lorsqu’il existe une baseBtelle queM_B(u) est diagonale, autrement dit une baseBdeEconstituée de vecteurs propres deu.

Caractérisation

³

udiagonalisable´

⇐⇒

³ M

λ∈Sp(u)

E_λ(u)=E´ Caractérisation ³

udiagonalisable´

⇐⇒ ³ X

λ∈Sp(u)

dim (E_λ(u))=dim(E)´

Lemme Soitu∈L(E),λ∈Sp(u) une valeur propre de multiplicitémdeu. Alors, en notant E_λ(u)=Ker(λId_E−u)=Ker(u−λId_E) le sous-espace propre associé, dim(E_λ)≤m_λ

Caractérisation Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si il vérifie (simultanément) les deux conditions sui- vantes :

(i)Son polynôme caractéristique est scindé.

(ii)La multiplicité de chaque valeur propre est égale à la dimension du sous-espace propre associé.

Autrement dit,u∈L(E) est diagonalisable si et seulement siP_u(X)=

p

Y

i=1

(X−λi)^miet, pour touti∈ ‚1,pƒ,mi=dim (Ker(u−λiIdE))=dim¡

E_λi(u)¢ .

Caractérisation Un endomorphismeud’un espace de dimension finieE est diagonalisable si et seulement si il existe un polynôme annulateur deuscindé à racines simples.

Caractérisation bis Un endomorphismeud’un espace de dimension finieEest diagonalisable si et seulement si son poly- nôme minimal est scindé à racines simples.

Une application Siu∈L(E) est diagonalisable, siFest un sous-espace stable paru, alorsu_F induit parusurFest diagona- lisable.

Proposition (condition suffisante) SoitE unK-espace vectoriel de dimensionn,u∈L(E). Siuan valeurs propres dis- tinctes, il est diagonalisable. Et les sous-espaces propres sont des droites vectorielles.

Théorème spectral Si (E, (.|.) est euclidien, siu∈S(E), alorsuest diagonalisable en base orthonormale : il y a une baseBde Eorthonormale composée de vecteurs propres deu,Eest somme directe orthogonale des sous-espaces propres deu.

Remarque Un endomorphisme diagonalisable qui a une valeur propre unique est une homothétie.

V.2 Matrices carrées

Définition SoitA∈Mn(K). On dit queAest diagonalisable lorsqu’il existe une matrice diagonaleDet une matrice inversible Ptelles que

A=P DP⁻¹

Caractérisation Aest diagonalisable si et seulement si l’endomorphismeudeKⁿcanoniquement associé àAest diagona- lisable. Une matriceP est alors une matrice telle queP⁻¹AP soit diagonale si et seulement si sa famille de vecteurs colonnes est une base deKⁿcomposée de vecteurs propres deu, si et seulementPest la matrice de passage de la base canonique à une base deKⁿcomposée de vecteurs propres deu.

Caractérisation Aest diagonalisable si et seulement siKⁿ(ouMn,1(K)) est somme directe des sous-espaces propres deA.

Caractérisation Aest diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale àn. Caractérisation Aest diagonalisable si et seulement si le polynôme caractéristique deAest scindé, et, pour chaque valeur

propreλ, avec les notations habituelles, dim (E_λ(A))=m_λ.

Caractérisation Une matriceAest diagonalisable si et seulement si il existe un polynôme annulateur deAscindé à racines simples.

Caractérisation bis Une matriceAest diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Condition suffisante Si le polynôme caractéristique deAest scindé à racines simples (i.e. siA∈Mn(K) anvaleurs propres distinctes), alorsAest diagonalisable. Et les sous-espaces propres sont des droites vectorielles.

Théorème spectral SiA∈S_n(R) (Asymétriqueréelle), il existeP∈O(n) etDdiagonale telles queA=P DP⁻¹=P DP^T. Remarque SiAest diagonalisable et a une valeur propre uniqueλ, alorsA=λI_n.

Proposition SoitEun espace vectoriel de dimension finie,u∈L(E),Bune base deE. uest diagonalisable si et seulement siM_B(u) est diagonalisable.

Proposition une matrice est diagonalisable si et seulement si sa transposée l’est.

VI Trigonalisabilité

VI.1 Trigonalisabilité

Définition Un endomorphismeudeE (espace de dimension finie) est dit trigonalisable lorsqu’il existe une baseBdeE telle queMB(u) soit triangulaire supérieure.

Une matriceAdeMn(K) est trigonalisable lorsqu’il existeP∈GL_n(K) etT∈T_n⁺(K) triangulaire supérieure telles que A=P T P⁻¹

Caractérisation Un endomorphisme (ou une matrice) est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé.

Caractérisation Toute matrice réelle ou complexe est trigonalisable surC, tous les endomorphismes d’unC-espace vectoriel de dimension finie sont trigonalisables.

Caractérisation (bis) Un endomorphisme en dimension finie (ou une matrice) est trigonalisable si et seulement si il admet un polynôme annulateur scindé.

Caractérisation (ter) Un endomorphisme en dimension finie (ou une matrice). est trigonalisable si et seulement si son po- lynôme minimal est scindé.

VI.2 Nilpotence

Définition On dit queu∈L(E) est nilpotent lorsqu’il existek∈Ntel queu^k=ΘLe plus petitk vérifiant cela est appelé indice de nilpotence deu. Cet indice de nilpotencemest donc caractérisé par

u^m=Θ , u^m−16=Θ

On dit queM∈Mn(K) est nilpotente lorsqu’ il existek∈Ntel queM^k=(0). Le plus petitkvérifiant cela est appelé indice de nilpotence deM.

Trigonalisabilité Un endomorphisme (ou une matrice) est nilpotent(e) si et seulement si il (elle) est trigonalisable et a pour seule valeur propre 0.

Corollaire A∈Mn(C) est nilpotente si et seulement si Sp(A)={0} (un endomorphismeud’unC-espace vectoriel de dimen- sion finie est nilpotent si et seulement si Sp(u)={0}).Résultat faux surR.

Théorème Soitpl’indice de nilpotence d’une matriceMnilpotente deMn(K) ; alorsp≤n.

Soitu∈L(E) nilpotent, avec dim(E)=n. L’indice de nilpotence deuest≤n. Un endomorphismea∈L(E) (dim(E)=n) ou une matricea∈M∈M_n(K) est donc nilpotent(e) si et seulement siaⁿ=0.

VII Stabilité de sous-espaces

Définition Soituun endomorphisme d’un espace vectorielE. On dit que le sous-espaceF deE est stable parulorsque u(F)⊂F, i.e. lorsque

∀x∈F u(x)∈F

Matriciellement B=(e₁, . . . ,e_p,e_p+1, . . . ,e_n) une base « adaptée » àF, (e₁, . . . ,e_p) étant une base deF. AlorsF est stable par usi et seulement siM_B(u)=

ÃA B (0) D

!

et alorsA=M_(e1,...,ep)(u_F).

Polynôme caractéristique, polynôme minimal SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie, et soitu∈L(E). SoitFun sous-espace vectoriel deE stable paru, on noteu_F l’endomorphisme induit paru surF. On note enfinP etπle polynôme caractéristique et le polynôme minimal. Alors

P_uF|P_u et πuF |πu

Proposition SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie, et soitu ∈L(E). SoitF un sous-espace vectoriel deE. On suppose queFest stable paru, et on noteuF l’endomorphisme induit parusurF. Alors

³

udiagonalisable´

=⇒

³

u_Fdiagonalisable´ .

Endomorphisme laissant stables les facteurs d’une somme directe On suppose queF₁,. . .,F_msont des sous-espaces vec- toriels d’unK-espace vectoriel (E,+, .) de dimension finie tels que F1⊕F2⊕ · · · ⊕Fm=E.

On considère une baseBadaptée à cette somme directe : B=(e1, . . . ,e_d1

| {z }

base deF1

,e_d1+1, . . . ,e_d1+d2

| {z }

base deF2

, . . . , . . .)

(on note doncd_k=dim(F_k)). Soitu∈L(E). LesF_i sont tous stables parusi et seulement siM_B(u) est diagonale par

blocs, de la forme























A₁ (0) · · · (0) (0) A₂ . .. ...

... . .. . .. . .. ... ... . .. . .. (0) (0) · · · (0) A_m























où chaqueA_jest dansMd_j(K). De plus, quand c’est le cas, on a pour chaquej A_j=Mat_(ed1+···+

d j−1+1,...,e_{d1+···+d j−1+d j})(u_Fj) oùuF_jdésigne l’endomorphisme induit parusurFj.

Proposition

Sous les hypothèses précédentes,P_u=

m

Y

i=1

P_uFi etπu=ppcm³

πu_Fi ; 1≤i≤m´

Stabilité et commutation Siu◦v=v◦u, Ker(u) et Im(u) sont stables parv. Et même, siP∈K[X], KerP((u)) et Im(P(u)) sont stables parv. En particulier les sous-espaces propres deusont stables parv.

Réduction d’un endomorphisme admettant un polynôme annulateur scindé Soitu∈L(E). On suppose qu’il existe un po- lynôme scindé annulateur deu :Q(u)=ΘoùQ=

q

Y

i=1

(X−λi)^mi (souvent,Q=P_u, on applique alors le théorème de Cayley-Hamilton).

On note, pour chaqueientre 1 etq:F_i=Ker£

(λiI d−u)^mi¤

. Alors chaqueF_i est stable paru,E=F₁⊕. . .⊕F_q, l’endo- morphismeu_i induit parusurF_i vérifie¡

λiId_Fi−u_i¢m_i

=ΘF_i, et dans une base adaptée bien choisie la matrice deu est à la fois triangulaire et diagonale par blocs.