ÉCS2
Chapitre 5 - Réduction des endomorphismes, diagonalisation des matrices carrées.
–Exercice5.1 Exemple de projecteurs
SoitE =R3[X]l’espace des polynômes de degré au plus3 à coefficients réels.
1. Montrer queϕ: E−→E, P7−→ P(X) + P(−X)
2 est un projecteur deE.
2. En déduire queI ={P ∈E,P(−X) = −P(X)} et P ={P ∈E,P(−X) = P(X)}
sont deux sous-espaces supplémentaires.
3. DéterminerM =mat(1,X,X2,X3)(ϕ)et calculerM2. Observer.
4. Montrer queψ=idE−ϕest un projecteur.
Exercice5.2 Exemple de réduction d’endomorphismes
SoitE =R3,f un endomorphisme deE et Ala matrice de f dans la base canonique de E. Dans chacun des cas suivants, déterminer sif est diagonalisable, en précisant une base de chacun de ses sous-espaces propres.
1. A =
3 −4 6
−1 3 −3
−1 4 −4
;
2. A =
3 0 2
−1 1 −1
−1 0 0
;
3. A =
3 −1 3
−1 2 −2
−1 1 −1
;
4. A =
1 −1 0
1 −2 1
1 −4 2
.
Réponses : non-diagonalisable. f , 1)) 0, ((−1, Vect = 1 E , {1} )= f ( Sp 4.
Sp( 3.
f
{1, )=
2}, E
= 1
Vect ((−1, 1)), 1, E
= 2
Vect ((−2, 1)), 1, non-diagonalisable. f
Sp( 2.
f
{1, )=
2}, E
= 1
Vect ((1,
−1), 0,
(0, 0)), 1, E
= 2
Vect ((−2, 1)), 1, diagonalisable. f
Sp 1.
( f
{−1, )=
2} 1, , E
= −1
Vect ((−2, 1, , 2)) E
= 1
Vect ((−1, 1, , 1))
E
= 2
Vect ((−2, 1)), 1, diagonalisable. f
Exercice5.3 Trigonalisation et calcul de puissances Soitf l’endomorphisme de R3 canoniquement associé àM =
0 2 4 2 2 −2
−2 0 4
. 1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres associés def.
2. Déterminer une base deR3 dans laquelle la matrice def estD =
2 1 0 0 2 1 0 0 2
.
3. On pose :N =
0 1 0 0 0 1 0 0 0
. Calculer, pour toutkdeN,Nk.
4. Calcul de Mn, première méthode
À l’aide de la formule du binôme, calculerDn puisMn pour tout entier natureln.
5. Calcul de Mn, seconde méthode
a)Déduire de3.un polynômeQde degré3 annulateur def.
b)Déterminer le reste de la division euclidienne deXn parQet en déduireMn pour tout entier natureln.
Exercice 5.4 Dans un espace de polynômes
E =R2[X]désigne l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré au plus2.
Soitf l’application qui, à tout polynômePdeR2[X], associe le polynôme défini par : Q(X) = P(X + 1) + XP0(X)
1. Montrer quef est un endomorphisme deR2[X].
2. Donner la matriceMdef dans la base canonique deR2[X].
3. f est-il un automorphisme deR2[X]?
4. a)Quelles sont les valeurs propres def?f est-il diagonalisable ? b)Déterminer une baseCdeEformée de vecteurs propres def.
c) Quelles sont les coordonnées du polynômeQ(X) = X2+ X + 1dans la baseC.
Exercice 5.5 Structure de l’ensemble des polynômes annulateurs d’une matrice Kdésigne RouC. Soitn∈N∗, et soitM∈ Mn(K).
On noteAl’ensemble{P∈K[X],P(M) = 0}des polynômes annulateurs deM.
1. a)Justifier que la famille(Mk)k∈[[0 ;n2]] est liée.
b)En déduire queAcontient au moins un polynôme non nul.
2. a)Soitddéf.= min{deg(P),D∈A\ {0}}, autrement dit, dest le degré minimum des polynômes non nuls deA.
Justifier qu’il existe dans A un polynôme unitaire (i.e. de coefficient dominant égal à1) de degréd.
On le notePMet on l’appelle le polynôme minimal deM.
3. a)Montrer que tout polynôme deAest multiple dePM, c’est-à-dire P∈A⇒ ∃Q∈K[X],P = QPM.
b)Justifier l’unicité du polynômePM défini en 3.
4. Montrer enfin que :A={QPM,Q∈K[X]}.
Ainsi,Aest exactement l’ensemble des multiples du polynôme minimal deM.
Exercice 5.6 Diagonalisation des matrices circulantes Soitnun entier naturel au moins égal à2.
On noteCn la matrice deMn(C)définie par
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Chapitre 5 - Réduction des endomorphismes, diagonalisation des matrices carrées.
–Cn déf.=
0 1 0 . . . 0
0 0 1 0 . . . 0
... . .. . .. . .. ...
... . .. 1 0
0 0 . .. 1
1 0 . . . 0
Chaque ligne est obtenue en circulant la ligne précédente d’un cran vers la droite.
On noteB= (e1, . . . , en)la base canonique deCn et ϕn l’endomorphisme deCn canoni- quement associé àCn.
1. Inversibilité et inverse
On munitMn,1(R)du produit scalaire canonique.
a)Justifier que Cn est une matrice orthogonale.
b)En déduire son inversibilité et son inverse.
2. Diagonalisation dans le cas n=2
DiagonaliserC2en précisant ses valeurs propres et ses vecteurs propres.
3. Un polynôme annulateur
On revient au cas général, avecn>2.
a)Pour k∈[[2 ;n]], que vautϕk−1n (ek)? Et pourj∈[[1 ;n−1]],ϕjn(e1)?
b)En déduireϕnn, puis un polynôme annulateur deCn. 4. Racinesnèmes de l’unité
Dans cette question, on cherche les racines deXn−1.
a)Soitz=reit avecr∈R+ ett∈R. Montrer quezn= 1⇔
(r= 1
∃k∈Z, nt= 2πk
b)En déduire toutes les racines deXn−1, appelées racinesnèmes de l’unité.
5. Diagonalisation dans le cas général
a) Déduire des questions précédentes que Cn est diagonalisable, en précisant ses éléments propres.
b)Pour quelle(s) valeur(s) denCn est-elle diagonalisable dansMn(R)? 6. Matrices circulantes quelconques d’ordre 3
Pour(a, b, c)∈C3, on note
Ma,b,cdéf.=
a b c
c a b
b c a
etTdéf.=
Ma,b,c,(a, b, c)∈C3 .
a) Montrer T est un sous-espace vectoriel de M3(C) admettant (I3,C3,C23) pour base.
b)Montrer que les vecteurs propres deC3sont des vecteurs propres des matrices de T.
c) En déduire que les matrices Ma,b,c de T sont diagonalisables, en précisant leurs valeurs propres en fonction des coefficientsa, betc.
d)Dans cette ultime question, on supposea,b etc réels.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur a, b et c pour que Ma,b,c soit diagonalisable dansM3(R).
Exercice 5.7 Exemple de diagonalisation par blocs 1. Étude d’un exemple dans R3
Soitf l’endomorphisme deR3défini par
f(x, y, z) = (x−y, x−2y+z, x−4y+ 2z).
a)Vérifier queP = (X2+ 1)(X−1)est un polynôme annulateur def. b)En déduire les valeurs propres def. Est-il diagonalisable ?
c) On poseF =Ker(f−id)etG =Ker(f2+id).
Montrer queFetGsont supplémentaires et stables parf.
d)Donner une baseCdeR3telle que la matrice représentant f dansCs’écrive matC(f) =
1 0 0 0 0 −1 0 1 0
2. Une généralisation
SoitEun espace vectoriel surRde dimension3et f un endomorphisme deEtel que
f 6=idE, 1∈Sp(f) et P(f) = 0L(E), oùPdésigne toujours le polynôme(X2+ 1)(X−1).
On pose à nouveauF =Ker(f −id)et G =Ker(f2+id).
a)Montrer queFet Gsont en somme directe.
b)Soitu∈E. On pose x=f2(u) +uety=f2(u)−u.
i.Montrer quex∈Fety∈G.
ii.Montrer queFet Gsont supplémentaires.
c) Montrer qu’il existe une base C deE telle que la matrice représentant f dansC s’écrit
matC(f) =
1 0 0 0 0 −1 0 1 0
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