3 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Résumé du cours d’algèbre de Sup et Spé 1 Polynômes

1.1 Formule de Taylor pour les polynômes

SoitPun polynôme non nul de degrén∈N.

∀a∈K,P= Xn

k=0

P^(k)(a)

k! (X−a)^k. P= Xn

k=0

P^(k)(0) k! X^k.

Pour tout polynômePet tout entier naturelk, le coefficient deX^k dansPest ak= P^(k)(0) k! .

1.2 Racines d’un polynôme

Ordre de multiplicité d’une racine. Poura∈Ket k∈N, aest racine deP d’ordreksi et seulement si il existe un polynômeQtel queP= (X−a)^kQetQ(a)6=0(⇔Pest divisible par(X−a)^k et pas par(X−a)^k+1). Une racine d’ordre 0n’est pas racine.

aest racine dePd’ordre au moinsk si et seulement si il existe un polynômeQ tel queP= (X−a)^kQ(⇔Pest divisible par(X−a)^k).

Théorème.Le reste de la division euclidienne dePpar(X−a)^k est

k−1X

i=0

P⁽ⁱ⁾(a)

i! (X−a)ⁱ. Théorème (caractérisation de l’ordre de multiplicité).

aest racine dePd’ordrek⇔P(a) =P^′(a) =. . .=P^(k−1)(a) =0etP^(k)(a)6=0.

aest racine dePd’ordre au moinsk⇔P(a) =P^′(a) =. . .=P^(k−1)(a) =0.

Théorème.Siaest racine d’ordrepdeP6=0, alors pour toutk∈J0, pK,aest racine d’ordrep−kdeP^(k).

1.3 Structure d’anneau de K[X]

Théorème.(K[X],+,×)est un anneau commutatif et intègre.

Définition.SoitI⊂K[X]. Iest un idéalIde l’anneau(K[X],+,×)si et seulement si

1) (I,+)est un sous-groupe de(K[X],+)et 2)∀P∈I,∀Q∈K[X],PQ∈I.

Définition.Un idéal IdeK[X] est principal⇔ il ext engendré par l’un de ses éléments c’est-à-dire si et seulement si il est de la formeI=PK[X] ={PQ, Q∈K[X]}.

Théorème.(K[X],+,×)est un anneau principal, c’est-à-dire que tout idéal de cet anneau est principal.

1.4 PGCD, Bézout, Gauss

Théorème et définition.Aet Bsont deux polynômes non nuls. L’idéal engendré parAet B(c’est-à-dire le plus petit idéal contenantAetB) estAK[X] +BK[X] =

AQ1+BQ2, (Q₁, Q2)∈K[X]² .

Le PGCD deAetBest l’unique polynôme unitaireDtel queAK[X] +BK[X] =DK[X]. C’est un diviseur commun àAet Bet tout diviseur commun àAetBdiviseD. Les diviseurs communs àAet Bsont les diviseurs de leur PGCD.

Théorème de Bézout. Soient Aet Bdeux polynômes non nuls. Aet Bsont premiers entre eux si et seulement si il existe deux polynômesUet V tels queAU+BV =1.

Théorème.Deux polynômes non nuls sont premiers entre eux si et seulement si ils sont sans racine commune dansC. Théorème de Gauss.SoientA,BetCtrois polynômes,A6=0,B6=0. SiAdiviseBC et siAest premier àB, alorsA diviseC.

2 Algèbre linéaire

Voir les résumés de sup déjà fournis.

3 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

3.1 Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres

Valeurs propres.Eest unK-espace vectoriel de dimension quelconque. λ∈K. λest valeur propre def ⇔∃x∈E\ {0}/ f(x) =λx

⇔f−λId_E non injectif

⇔Ker(f−λId_E)6={0}.

Si de plusEest de dimension finie,

λest valeur propre def ⇔f−λIdE∈/GL(E)

⇔det(λIdE−f) =0.

SoitA∈M_n(K).

λest valeur propre deA ⇔∃X∈M_n,1(K\ {0}/ AX=λX

⇔Ker(A−λI_n)6={0}

⇔A−λI_n∈/GL_n(K)

⇔rg(A−λI_n)< n

⇔det(λI_n−A) =0.

En particulier,A∈GLn(K)⇔0n’est pas valeur propre deA. Si dim(E)<+∞, f∈GL(E)⇔0 n’est pas valeur propre def.

Si E est unC-espace de dimension finie non nulle, tout endomorphisme de Eadmet au moins une valeur propre. Toute matrice carrée admet au moins une valeur propre dansC.

Vecteurs propres.Eest unK-espace vectoriel de dimension quelconque. Soient f∈L(E)etx∈E.

xest un vecteur propre defsi et seulement six6=0et ∃λ∈K/ f(x) =λx.

SoitA∈M_n(K)etX∈M_n,1(K).

Xest un vecteur propre deAsi et seulement siX6=0 et∃λ∈K/ AX=λX.

Sous-espaces propres.Siλest valeur propre def, le sous-espace propre associé àλestEλ=Ker(f−λIdE).

Ce sous-espace propre est constitué de0et des vecteurs propres associés àλ.

Siλn’est pas valeur propre def, alorsE_λ={0}et dans ce cas,E_λ n’est pas un sous-espace propre def.

Définition analogue pour une matrice.

Théorème.Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre.

Théorème.La somme d’un nombre fini de sous-espaces propres est directe.

3.2 Sous-espaces stables

Définition.Soientf∈L(E)et Fsev de E.Fest stable parf⇔∀x∈F, f(x)∈F⇔f(F)⊂F.

Dans ce cas, la restriction def àFinduit un endomorphisme deF.

Les droites stables parf sont les droites engendrées par un vecteur propre.

Les sous-espaces propres defsont stables parf. La restriction def àE_λ « est » l’homothétie de rapportλ.

Théorème. Soient f et g deux endomorphismes de E tels que f◦g = g◦f. Alors, glaisse stable Im(f), Ker(f) et les sous-espaces propres def.

3.3 Polynôme caractéristique

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie non nulle et f ∈ L(E). Le polynôme caractéristique de f est χ_f = det(XId_E−f).

SoitA∈M_n(K). Le polynôme caractéristique deAestχ_A=det(XI_n−A).

Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique. L’ordre de multiplicité d’une valeur propre est son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.

Le spectre de A(de f) peut désigner l’ensemble des valeurs propres, chaque valeur propre n’étant alors écrite qu’une fois, ou la famille des valeurs propres, chaque valeur propre étant alors écrite un nombre de fois égal à son ordre de multiplicité.

Degré, coefficient dominant.SiAest de formatn(resp.Eest de dimensionn),χ_A(resp.χ_f) est de degrén, unitaire.

Coefficients du polynôme caractéristique. Le coefficient deXⁿ⁻¹est −Tr(A) (resp.−Tr(f)) et le coefficient de X⁰ est(−1)ⁿdet(A)(resp.(−1)ⁿdet(f)). Le coefficient deX^k est(−1)^n−kσn−k oùσ_k= X

16i1<...<ik6n

λ_i1. . . λ_ik.

Soit(λ₁, . . . , λ_n)est la famille des valeurs propres deAdansC, alors Tr(A) =λ₁+. . .+λ_n et det(A) =λ₁×. . .×λ_n.

Théorème.Siλest valeur propre deA(def) d’ordreo(λ), alors16dim(E_λ)6o(λ)et aussio(λ)>dim(E_λ).

Siλest valeur propre simple, dim(E_λ) =1. Le sous-espace propre associé à une valeur propre simple est une droite.

Théorème.Aet ^tAont même polynôme caractéristique et en particulier même trace et même déterminant.

Théorème. AB et BA (resp. f◦get g◦f) ont même polynôme caractéristique et en particulier même trace et même déterminant.

Théorème.Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique et en particulier même trace et même déter- minant.

Réciproque fausse pourn>2. Par exemple,I_netI_n+E_1,2ont même polynôme caractéristique mais ne sont pas semblables.

3.4 Diagonalisation

Définition.Un endomorphisme de E(de dimension non nulle quelconque) est diagonalisable si et seulement si il existe une base deEformée de vecteurs propres def.

Si de plus,Eest de dimension finie,fest diagonalisable si et seulement si il existe une base deEdans laquelle la matrice defest diagonale.

A ∈ M_n(K) est diagonalisable si et seulement si A est semblable à une matrice diagonale c’est-à-dire ∃P ∈ GL_n(K,

∃D∈D_n(K)/ A=PDP⁻¹.

Théorème.Eest unK-espace vectoriel de dimension finie non nulle netf∈L(E). On noteni la dimension deEλi(f).

fest diagonalisable ⇔les sous-espaces propres defsont supplémentaires

⇔n=X n_i

⇔χ_f est scindé surKet∀λ∈Sp(f), dim(E_λ) =o(λ).

Théorème.Eest unK-espace vectoriel de dimension finie non nullenetf∈L(E).Siχ_fest scindé surKà racines simples (ou encore sif admetnvaleurs propres deux à deux distinctes),alorsfest diagonalisable. Dans ce cas, les sous-espaces propres sont des droites.

Réciproque fausse.

3.5 Trigonalisation

Définition.Un endomorphisme deE(de dimension finie non nulle) est trigonalisable si et seulement si il existe une base deEdans laquelle la matrice defest triangulaire.

Une matrice carrée est trigonalisable si et seulement si cette matrice est semblable à une matrice triangulaire.

Théorème.SiEest de dimension finie non nulle sur K,f est trigonalisable si et seulement siχ_fest scindé surK. Tout endomorphisme d’unC-espace de dimension finie non nulle est trigonalisable.

Toute matrice carrée est trigonalisable dansC.

Conséquences.Si Sp(f) = (λ1, . . . , λn), alors∀k∈N^∗, Sp f^k

= λ^k₁, . . . , λ^k_n

et plus généralement, pour tout polynôme P, Sp(P(f)) = (P(λ₁), . . . , P(λ_n)). Si de plusfest inversible,∀k∈Z, Sp f^k

= λ^k₁, . . . , λ^k_n .

3.6 Polynômes d’endomrophismes

3.6.1 Commutant

Soit f ∈ L(E) (resp. A ∈ M_n(K)). Le commutant de f (resp. de A) est C(f) = {g ∈ L(E)/ g◦ f = f◦g} (resp.

C(A) ={B∈M_n(K)/ AB=BA}.

Théorème.C(f)(resp.C(A)) est une sous-algèbre de (L(E),+, .,◦)(resp.(M_n(K),+, .,×).

Danger. Deux élémentsgethdeC(f)commutent avecfmais ne commutent pas nécessairement entre eux.

3.6.2 K[f] ou K[A]

Soit f ∈ L(E) (resp. A ∈ M_n(K)). Φ : K[X] → L(E) P 7→ P(f)

(resp. ...) est un morphisme d’algèbres. L’image de ce morphisme estK[f]resp.K[A]).K[f]est une sous-algèbre commutative (deux polynômes enfcommutent) de(L(E),+, .,◦).

En particulier, tout polynôme enfcommute avecf et doncK[f]est une sous-algèbre commutative(C(f),+, .,◦).

3.6.3 Polynômes annulateurs, polynôme minimal

Le noyau de Φ est l’ensemble des polynômes annotateurs de f (resp. de A). C’est un sous-espace vectoriel de l’espace (K[X],+, .)et un idéal de l’anneau(K[X],+,×). Si Eest de dimension finie, Ker(Φ)n’est pas réduit à{0}grâce au : Théorème de Cayley-Hamilton.χf(f) =0.

SiEest de dimension finie, le générateur unitaire de Ker(Φ)est lepolynôme minimalµ_fdef.

Par définition, Ker(Φ) = µ_fK[X] ou encore les polynômes annulateurs de f sont les multiples de µ_f. Le théorème de Cayley-Hamiltonse réénonce sous la forme :

Théorème.µ_fdiviseχ_f.

Théorème (polynômes annulateurs et valeurs propres).Si P(f) =0 et siλest valeur propre def, alorsP(λ) =0.

Les valeurs propres d’un endomorphisme (ou d’une matrice) sont à choisir parmi les racines d’un polynôme annulateur.

Une racine d’un polynôme annulateur n’est pas nécessairement valeur propre mais toute valeur propre est racine d’un polynôme annulateur.

Théorème.Toute valeur propre defest racine de µ_fet toute racine deµ_fest valeur propre def. Siχ_f= Yk

i=1

(X−λ_i)^αi,

alorsµ_fest de la forme Yk

i=1

(X−λ_i)^βi où∀i,16β_i6α_i.

Théorème de décomposition des noyaux.Soientf∈L(E)et P₁, . . . ,P_k des polynômes deux à deux premiers entre eux. Alors,

Ker((P1×. . .×Pk) (f)) =Ker(P1(f))⊕. . .⊕Ker(Pk(f)). En particulier, siP=P1×. . .×Pk est un polynôme annulateur def, alors

E=Ker(P₁(f))⊕. . .⊕Ker(P_k(f)).

3.6.4 Décomposition de E en somme de sous-espaces stables supplémentaires

SiEest de dimension finie non nulle etχf= Yk

i=1

(f−λi)^αi, alors

E=Ker(f−λ1IdE)^α1⊕. . .⊕Ker(f−λkIdE)^αk.

• Les Ker(f−λiIdE)^αi sont supplémentaires et stables parf. Donc, dans toute base adaptée à cette décomposition, la matrice defest diagonale par blocs.

•La restriction defà Ker(f−λiIdE)^αi induit un endomorphismefide ce sous-espace.fiadmet une et une seule valeur propre à savoirλ_iet f_i−λ_iIdKer(f−λiIdE)^αi est nilpotente d’indice inférieur ou égal àα_i.

4 Espaces préhilbertiens

Produit scalaire. Soit E un R-espace vectoriel. Un produit scalaire sur E est une forme bilinéaire symétrique définie positive, c’est-à-dire

• ∀(x, y)∈E²,hx, yi=hy, xi(h,iest symétrique)

• ∀(x, y, z)∈E³,∀(λ, µ∈R²,hλx+µy, zi=λhx, zi+µhy, zi(h,iest linéaire par rapport à sa première variable et donc bilinéaire par symétrie)

• ∀x∈E,hx, xi>0 (h,iest positive)

• ∀x∈E,hx, xi=0⇒x=0(h,iest définie).

Inégalité de Cauchy-Schwarz.∀(x, y)∈E²,|hx, yi|6p hx, xip

hy, yi.

Norme hilbertienne.x7→p

hx, xiest une norme surE.

Définition.SiEest de dimension finie, (E,h, i)est un espace euclidien.

Familles orthogonales, familles orthonormales.Soit(ei)_i∈I une famille de vecteurs deE.

(ei)_i∈Iest orthogonale⇔∀i6=j, hei, eji=0.

(ei)_i∈Iest orthonormale⇔∀(i, j)∈I², hei, eji=δi,j.

Théorème.Une famille orthonormale de vecteurs tous non nuls est libre. Une famille orthonormale est libre.

Théorème (procédé d’orthonormalisation de Schmidt). Soit (u_n)_n∈N une famille libre. Il existe une famille orthonormale(e_n)_n∈Net une seule vérifiant

• ∀n∈N, Vect(e_k)_06k6n=Vect(u_k)_06k6n.

• ∀n∈N,hun, eni> 0.

(e_n)_n∈Nest l’othonormalisée de la famille libre(u_n)_n∈N. Elle s’obtient par le procédé d’orthonormalisation deSchmidt:

• e₁= 1 ku1ku₁.

• ∀n∈N,e_n+1^′ =un+1− Xn

k=0

hun+1, ekiek puisen+1= 1 e_n+1^′

e_n+1^′ .

Théorème.SiEest euclidien, il existe au moins une base orthonorméeB= (e_i)_16i6n. Dans ce cas,

• ∀x= Xn

i=1

xiei∈E, on a ∀i∈J1, nK,xi=hx, eii.

• ∀x= Xn

i=1

x_ie_i∈E, ∀y= Xn

i=1

y_ie_i∈E, on a hx, yi= Xn

i=1

x_iy_i.

• ∀x= Xn

i=1

x_ie_i∈E, on a kxk= v u u t

Xn

i=1

x²_i.

Définition.SoitAune partie non vide deE. L’orthogonal deA, notéA^⊥, est l’ensemble des vecteurs deEorthogonaux à tous les vecteurs deA:A^⊥={y∈E/∀x∈A, hx, yi=0}.

Convention.∅^⊥=E,{x}^⊥=x^⊥. Théorème.

• ∀A∈P(E),A^⊥ est un sev deE.

• {0}^⊥=Eet E^⊥={0}.

• A⊂B⇒B^⊥⊂A^⊥.

• A^⊥= (Vext(A))^⊥.

• SiF est un sev, on a toujoursF∩F^⊥ ={0}mais on n’a pas toujoursF⊕F^⊥=E.

Théorème de la projection orthogonale.

SoitE un espace préhilbertien puisFun sous-espace vectoriel de Ede dimension finie. AlorsE=F⊕F^⊥.

Si x est un vecteur de E, on peut donc définir le projeté orthogonal pF(x)de x sur F. Si B = (e_i)_16i6n est une base orthonormale deE, alors

pF(x) = Xn

i=1

hx, eiiei.

Inégalité de Bessel.Soit(e_n)_n∈Nune famille orthonormale. Alors,

∀x∈E, Xn

k=0

hx, eki²6kxk².

Familles totales.Soit(e_n)_n∈Nune famille orthonormale.

(e_n)_n∈Nest une famille totale⇔Vect(e_n)_n∈N=E⇔on a la formule deParseval:∀x∈E,

+∞

X

n=0

hx, eni²=kxk².

5 Espaces euclidiens

5.1 Automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales

5.1.1 Matrices orthogonales

SoitA∈M_n(R). On noteC1, . . . ,Cn les colonnes de Aet L1, . . . , Ln les lignes deA.

Aest orthogonale⇔^tAA=A^tA=In

⇔A∈GL_n(R)etA⁻¹=^tA

⇔(C1, . . . , Cn) est une B.O.N deM_n,1(R)muni du produit scalaire canonique

⇔(L₁, . . . , L_n) est une B.O.N deM_1,n(R)muni du produit scalaire canonique.

Théorème.A∈O_n(R)⇔^tA∈O_n(R).

Théorème.On(R)est un sous-groupe de(GL_n(R),×).

Théorème. Soient E un espace euclidien de dimension n, B une B.O.N de E, B^′ une famille de n vecteurs de E, A=MatB(B^′). Alors,B^′ est une B.O.N deEsi et seulement siA∈On(R).

Théorème.A∈O_n(R)⇒det(A)∈{−1, 1}.

Théorème.O⁺_n(R) =SOn(R)est un sous-groupe de(O_n(R),×)et aussi de(SL_n(R),×).

Théorème.O₁(R) ={±I1}.O₂(R) =

cosθ −sinθ sinθ cosθ

, θ∈R

∪

cosθ sinθ sinθ −cosθ

, θ∈R

.

5.1.2 Automorphismes orthogonaux Soitf∈L(E).

fest orthogonal⇔∀(x, y)∈E², hf(x), f(y)i=hx, yi(fconserve le produit scalaire)

⇔∀x∈E, kf(x)k=kxk(fconserve la norme (euclidienne))

Théorème.SoientE un espace euclidien de dimensionn,Bune B.O.N de E,f∈L(E), A=MatB(f). Alors,f∈O(E) si et seulement siA∈On(R).

Théorème.f∈O(E)⇒det(f)∈{−1, 1}.

Théorème.O⁺(E) =SO(E)est un sous-groupe de(O(E),◦)et aussi de(SL(E),◦).

Théorème.O(E₁) ={±IdE1}.O(E₂) ={rotations}∪{réflexions}.

5.1.3 Réduction des endomorphismes orthogonaux ou des matrices orthogonales Théorème.Soitf∈O(E)(resp.A∈O_n(R)). Sp(f)⊂{−1, 1}(resp. SpR(A)⊂{−1, 1}).

Théorème.Soitf∈O(E). SiFest un sev de Estable parf, alorsF^⊥ est un sev deEstable parf. Plus précisément, siF est stable parf, la restriction def àF (resp.F^⊥) induit un automorphisme orthogonal deF (resp.F^⊥).

Théorème.f ∈O(E)⇔il existe une B.O.N de Edans laquelle la matrice de fest une matrice diagonale par blocs du type

































 R(θ₁)

. ..

R(θ_k) 0

−1 . ..

−1

0 1

. ..

1



































oùR(θ_i) =

cosθ_i −sinθ_i sinθi cosθi

(*).

A∈O_n(R)⇔Aest orthogonalement semblable à une matrice du type(∗).

Théorème.f∈O⁺(E₃)⇔il existe une B.O.N deEdans laquelle la matrice defest





cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ 0

0 0 1



.

5.2 Endomorphismes symétriques, matrices symétriques (réelles)

Soitf∈L(E).fest symétrique⇔∀(x, y)∈E²,hf(x), yi=hx, f(y)i.

SoitA= (a_i,j)_16i,j6n∈M_n(R).A∈S_n(R)⇔^tA=A⇔∀(i, j)∈J1, nK², aj,i=ai,j.

Théorème.SoientBune B.O.N deE,f∈L(E),A=MatB(f).fest symétrique⇔Aest symétrique.

Théorème.Soitf∈S(E). Alors,χ_fest scindé surR.

SoitA∈S_n(R)⊂M_n(C). Les valeurs propres deAdansCsont réelles.

Démonstration.SiX6=0etAX=λX, alors

λ^tXX=^tX(AX) =^tX^tAX=^t AX

X=λ^tXX . . .

Théorème.Soitf∈S(E). SiFest un sev de Estable parf, alorsF^⊥ est un sev deEstable parf.

Théorème spectral.

Soitf∈L(E).fest symétrique⇔fest diagonalisable en base orthonormée.

SoitA∈M_n(R).Aest symétrique⇔fest orthogonalement semblable à une matrice diagonale.