Partie 1 (obligatoire) : quelques propriétés des endomorphismes u et v.

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir maison n ^◦ 7

À rendre le lundi 26 novembre

Durée : 2 heures pour le premier jet – parties 1 et 2 obligatoires Toute calculatrice interdite

Dans tout le problème, E = R[X] et L(E) désigne l’algèbre des endomorphismes de E muni de ses opérations usuelles. Soit n ∈ N^∗. L’ensemble des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à n sera noté En=Rn[X].

L’endomorphisme identité deE est notée, l’endomorphisme nulθ. Lorsque l’on est dans l’espace vectorielE_n, on notera respectivement ces endomorphismesen et θn.

On rappelle que sif est un endomorphisme deE,f⁰=eet

∀m∈N^∗, f^m = f◦f^m−1.

Lorsquef est un endomorphisme deEn, on noteχf son polynôme caractéristique etπf son polynôme minimal.

Soientuet vles applications définies surE paru(P) =P⁰ etv(P) =RoùR(X) =P(X+ 1).

Partie 1 (obligatoire) : quelques propriétés des endomorphismes u et v.

1.Rappeler la dimension deEn. En donner une base usuelle.

2.Montrer queuetv sont des endomorphismes deE qui laissent stableE_n. 3.Écrire les matricesUn etVn deun et vn dans la base canonique deEn. 4.Préciser le noyau et l’image de chacun de ces endomorphismes.

5.Les endomorphismesun etvn commutent-ils ?

6.Quel est le polynôme caractéristique deun?un est-il diagonalisable ? 7.Quel est le polynôme caractéristique dev_n?v_n est-il diagonalisable ? 8.On note wn =vn−en et on pose :

Q0 = 1, ∀k∈ {1, . . . , n}, Qk = 1 k!

k−1

Y

j=0

(X−j).

8.1.Vérifier que la familleB= (Qk)0≤k≤n. est une base deEn.

8.2.Déterminerwn(Q0). Montrer que pour toutk≥1, il existe un réelαk non nul, tel que : wn(Qk) = αkQk−1.

8.3.Écrire la matriceW_n dew_n dans la baseB.

8.4.Donner une base deKer (wn)ainsi que deIm (wn).

8.5.Calculer, pourj∈Net k∈ {0, . . . , n},w^j_n(Q_k).

On rappelle quew_n^j =wn◦wn◦ · · · ◦wn (j facteurs).

9.Détermination des composantes d’un polynôme deEn dans la baseB.

9.1.SoitP∈E_n.

Justifier l’existence et l’unicité de scalaires(βk)_0≤k≤n tels que : P=

n

XβkQk.

9.2.Calculerw_n^j(P)(0)pourj∈N.

9.3.Exprimer alors les composantes deP dans la baseB.

9.4. Déterminer la base duale de la base B. En d’autres termes, déterminer la base B^∗ = (Q^∗_k)_0≤k≤n de l’espace E^∗=L(E,R)des formes linéaires surE, qui vérifie : ∀(i, j)∈ {0, . . . , n}², Q^∗_i(Qj) =δi,j (symbole de Kronecker).

10.Calculerwⁿ⁺¹_n et w_nⁿ(Q_n).

Partie 2 (obligatoire) : recherche de quelques polynômes minimaux.

1.Soitf ∈ L(E_n). Justifier que le polynôme minimal π_f divise le polynôme caractéristiqueχ_f. 2.Recherche deπu_n.

2.1.Détermineruⁿ⁺¹_n . 2.2.Calculeruⁿ_n(Xⁿ).

2.3.Conclure.

2.4.De même, déterminer le polynôme minimal dew_n. 3.Recherche deπv_n.

3.1.Montrer qu’il existem∈ {1, . . . , n+ 1}tel que πv_n= (X−1)^m. 3.2.Prouver que : m=n+ 1.

4.Polynômes annulateurs deu.

SoitP un polynôme de degré m∈Nécrit : P =

m

X

j=0

ajX^j. 4.1.Que sait-on deam?

4.2.On noterl’endomorphismeP(u). Déterminerr X^m

m!

. 4.3.Déterminer l’ensemble des polynômes annulateurs deu.

5.Polynômes annulateurs dev.

SoitP un polynôme annulateur non nul de v.

5.1.Montrer que : pour toutn∈N^∗, (X−1)ⁿ⁺¹ diviseP.

5.2.Déterminer l’ensemble des polynômes annulateurs dev.

6.Soitsl’endomorphisme de Equi à tout polynôme P associe le polynôme Qdéfini par : Q(X) = P(1−X).

6.1.Vérifier quesest bien une involution deE.

6.2.Déterminer l’ensemble des polynômes annulateurs des.

Partie 3. Facultative.

Soitf un endomorphisme de l’espace vectorielEn. On rappelle que : exp(f) =

+∞

X

m=0

f^m

m! = lim

N→+∞

N

X

m=0

f^m m!. 1.Montrer que l’on a la relation : v_n= exp(u_n).

2.On va démontrer dans cette question que : u_n=

+∞

X

m=1

(−1)^m+1

m (v_n−e_n)^m. 2.1. Prouver que : ∀k ∈ {0, . . . , n}, un(Qk) =

k

X

m=0

un(Qm)(0)Q_k−m. On pourra utiliser la question 9.3. de la partie1.

2.2.Calculer pour toutm∈ {0, . . . , n}, un(Qm)(0).

2.3.Conclure.

Bon courage !

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Devoir maison n ^◦ 7 – éléments de correction

d’après le problème d’Algèbre de E3A 2008 MP maths A

Partie 1 : quelques propriétés des endomorphismes u et v.

1.On a dim(En) =n+ 1et une base est(X^k)_k∈[[0,n]].

2. • Il est clair que u est bien à valeurs dans E. Par ailleurs par linéarité de la dérivation : u est linéaire. Ainsi u∈ L(E).

De plus, sideg(P)6= 0alorsdeg(P⁰) = deg(P)−1; et sideg(P) = 0, alorsdeg(P⁰) =−∞. Il s’ensuit que u(En)⊂En .

•Il est clair quev est bien à valeurs dansE. Par ailleurs, pourP etQdansE etλ∈R:

v(λP +µQ) = (λP +µQ)(X+ 1) = λP(X+ 1) +µQ(X+ 1) = λv(P) +µv(Q),

ce qui permet d’affirmer que v∈ L(E). Par ailleurs si P =

n

X

k=0

akX^k alors v(P) = Pn

k=0ak(X + 1)^k est une combinaison linéaire de polynômes de degré inférieur ou égal àn, donc est dansEn. D’où v(En)⊂En .

3.D’une partu(1) = 0, d’autre partu(X^k) =k X^k−1pour toutk∈N^∗. D’autre partv(X^k) = (X+ 1)^k =

k

X

i=0

k i

Xⁱ pour tout entierk. On en déduit que :

Un =





















0 1 0 · · · 0 0 0 2 . .. ... ... . .. . .. . .. 0 ... . .. . .. n 0 · · · 0 0





















∈ Mn+1(R), Vn =

























1 1 · · · 1 0 1 ²₁

· · · ⁿ₁ ... . .. . .. . .. ⁿ

2

... . .. . .. . .. ... ... . .. . .. ⁿ

n−1

0 · · · 0 1

























∈ Mn+1(R).

4. • On remarque que P⁰ = 0 si et seulement si P est constant. Par conséquent Ker (un) =E0 et Im (un) = Vect un(1), un(X), . . . , un(Xⁿ)) = Vect (0,1, . . . , nXⁿ⁻¹)donc Im (un) =En−1 .

•Il vientdet(v_n) = det(V_n) = 16= 0doncv_n est un automorphisme deE_n et ainsi Ker (v_n) ={0} et Im (v_n) =E_n . 5.SoitP ∈E, alorsu◦v(P) = (P(X+ 1))⁰=P⁰(X+ 1) =v◦u(P). Il s’ensuit que un etvn commutent .

6.• On aχu_n=χU_n donc χu_n =Xⁿ⁺¹ .

•On en déduit que0est valeur propre de multiplicitén+1et l’espace propre associé estE₀(u_n) = Ker (u_n) =E₀6=E_n, carn∈N^∗. Ainsi un n’est pas diagonalisable .

7.On aχv_n=χV_ndonc χv_n= (X−1)ⁿ⁺¹ . Par conséquentSp(vn) ={1}et sivnétait diagonalisable sa matrice dans une base de diagonalisation seraitI_n+1, d’oùv_nserait l’identité : absurde. On en déduit que v_n n’est pas diagonalisable . 8.1. Remarquons que deg(Qk) = k pour tout k ∈[[0, n]], donc la famille (Qk)0≤k≤n est échelonnée en degré. Étant donné que cette famille est de cardinal n+ 1 = dim(E_n), il s’ensuit que (Q_k)_0≤k≤n est une base deE_n .

8.2.•Puisque le polynômeQ₀ est constant :w_n(Q₀) =v_n(Q₀)−Q₀=Q₀−Q₀. Ainsi w_n(Q₀) = 0.

• Soitk≥2. Alors

wn(Qk) = vn(Qk)−Qk = 1 k!

k−1

Y

j=0

(X+ 1−j)− 1 k!

k−1

Y

j=0

(X−j) = 1 k!

k−2

Y

j=−1

(X−j)− 1 k!

k−1

Y

j=0

(X−j)

= 1

k!





k−2

Y

j=0

(X−j)





(X+ 1)−(X−k+ 1)

= k k!

k−2

Y

j=0

(X−j) = 1 (k−1)!

k−2

Y

j=0

(X−j).

Enfin pourk= 1:w_n(Q₁) = (X+ 1)−X = 1 =Q₀. Finalement : ∀k≥1,w_n(Q_k) =Q_k−1.

8.3.Wn=





















0 1 0 · · · 0 0 0 1 . .. ... ... . .. . .. 0

... . .. 1

0 · · · 0 0





















∈ Mn+1(R).

8.4.On lit sur la matrice Wn : rg (Wn) =n,Q0∈Ker (wn). De plus∀k∈[[0, n−1]], Qk ∈Im (wn). Par conséquent Ker (w_n) =R·Q₀et Im (w_n) = Vect (Q_k)_{0≤k≤n−1}.

8.5.Par récurrence immédiate surj, il vient w^j_n(Q_k) =

( Q_k−j si j≤k 0 si j > k .

9.1.Puisque Best une base de En, on en déduit que pour toutP ∈En, il existe une unique famille (βk)0≤k≤n telle que P =

n

X

k=0

βkQk .

9.1.On aw^j_n(P) =

n

X

k=0

β_kw^j_n(Q_k) = ( Pn

k=jβ_kQ_k−j si j≤n

0 si j > n De plusQ_i(0) =

( 1 si i= 0

0 si i≥1 . Par conséquent w^j_n(P)(0) =

( βj si j≤n 0 si j > n .

9.3. Ainsi : ∀k ∈[[0, n]], β_k =w^k_n(P)(0). D’après la formule du binôme de Newton, puisque v_n et e_n commutent : w^k_n= (vn−en)^k =

k

X

j=0

(−1)^k−j k

i

v_n^j. Par ailleurs, par récurrence immédiate :v^j_n(P)(X) =P(X+j). On en déduit que

w^k_n(P)(X) =

k

X

j=0

(−1)^k−j k

j

P(X+j). En évaluant en0, on obtient donc : ∀k∈[[0, n]],β_k=

k

X

j=0

(−1)^k−j k

i

P(j).

9.4.Et donc la base duale deBest B^∗= (Q^∗_k)0≤k≤n avecQ^∗_k(P) =w^k_n(P)(0) =

k

X

j=0

(−1)^k−j k

i

P(j).

10.•D’après la question8.5:∀k∈[[0, n]],w_nⁿ⁺¹(Qk) = 0. Ainsi wⁿ⁺¹_n =θn .

• De la même question on tire wⁿ_n(Qn) =Q0.

Partie 2 : recherche de quelques polynômes minimaux.

1.Le théorème de Cayley-Hamilton donneχ_f ∈J_f donc π_f|χf .

2.1. Par récurrence immédiate sur k : ∀P ∈ E, u^k(P) = P^(k). Or pour tout P ∈ E_n on a deg(P) < n+ 1, donc P⁽ⁿ⁺¹⁾= 0. Ainsi uⁿ⁺¹_n =θn .

2.2.De même uⁿ_n(Xⁿ) =n! en dérivantnfois.

2.3.D’après 1: uⁿ⁺¹_n =θn. On en déduit Xⁿ⁺¹ ∈Ju_n doncπu_n|Xⁿ⁺¹. Par conséquent il existem≤n+ 1tel que π_un=X^m. Si on avaitm≤nalorsπ_un|Xⁿdoncuⁿ_n=θ_n; mais ceci est faux d’après2.2. Finalement : π_un =Xⁿ⁺¹ . 2.4.D’aprèsI.10, on awⁿ⁺¹_n =θn etw_nⁿ 6=θn. D’où comme ci-dessus : πw_n=Xⁿ⁺¹.

3.1.On remarque queπ_vn|χvn=χ_Vn= (X−1)ⁿ⁺¹, d’où l’ existence dem∈[[1, n+ 1]]tel que π_vn= (X−1)^m. 3.2. La question précédente permet d’affirmer que (vn −en)^m = θn, soit w^m_n = θn, puis πw_n | X^m. D’après la question 2.4: m=n+ 1 .

4.1.Puisquedeg(P) =m, on obtient am6= 0 . 4.2.On constate que :

r X^m

m!

=

m

X

j=0

a_ju^j X^m

m!

=

m

X

j=0

a_j

m!u^j(X^m) =

m

X

j=0

a_j

m!(X^m)^(j)

=

m

X

j=0

aj

m!m(m−1)· · ·(m−j+ 1)X^m−j =

m

X

j=0

aj

m!

m!

(m−j)!X^m−j

donc r X^m

m!

=

m

X

j=0

a_j

(m−j)!X^m−j .

4.3.On déduit de la question précédente quer ^X_m!^m

6= 0donc r6=θ, puis :∀P ∈R[X]\ {0}, P(u)6=θ. Il s’ensuit que l’idéal des polynômes annulateurs deuest Ju={0}.

5.1. SoitP ∈J_v. AlorsP(v) = θ donc, par restriction à l’espace E_n stable par v : P(v_n) = θ_n. On en déduit que πv_n|P. Ceci donne bien, avec le résultat de 3.2: ∀n∈N^∗,(X−1)ⁿ⁺¹|P .

5.2. Ainsi pour tout entier n ∈ N^∗, il existe Q_n ∈ E tel que P = (X −1)ⁿ⁺¹Q_n. On en déduit que deg(P) = n+ 1 + deg(Qn). En prenantn≥deg(P), ceci donnedeg(Qn) =−∞doncP = 0. Par conséquent Jv ={0} . 6.1. L’application s est clairement linéaire. D’autre part pour tout P ∈ E : s²(P) = s(s(P)) = s(P(1−X)) = P(1−(1−X)) =P(X), d’où s²=ec’est-à-diresest bien une involution .

6.2.On a doncX²−1∈J_s etJ_s6={0}. Ainsisadmet un polynôme minimalπ_s etπ_s∈ {X+ 1, X−1, X²−1}. Or s6=ecars(X) = 1−X6=X et, de même,s6=−e. Il vient finalement que πs=X²−1et Js= (X²−1)·R[X] .

Partie 3.

1. Par définition et d’aprèsII.2.1, il vientexp(un) =

+∞

X

m=0

u^m_n m! =

n

X

m=0

u^m_n

m!. On peut maintenant donner deux démons- trations de l’égalité demandée :

• Première démonstration :

Montrons queexp(un)et vn coïncident sur la base canonique(X^k)_0≤k≤n. Pour toutk∈[[0, n]]: vn(X^k) = (X+ 1)^k =

k

X

j=0

k j

X^k−j

exp(u_n)(X^k) =

n

X

m=0

u^m_n(X^k) m! =

k

X

m=0

k!

m!(k−m)!X^m−k d’aprèsII.4.2.

Ceci nous permet d’affirmer que vn= exp(un).

• Deuxième démonstration :

La formule de Taylor pour les polynômes appliquée à P ∈ E donne P(X+h) =

+∞

X

m=0

P^(m)(X)

m! h^m. En prenant h= 1, on obtientP(X+ 1) =

+∞

XP^(m)(X) m! =

+∞

X u^m_n(P)

m! , soit v_n= exp(u_n).

2.1.D’aprèsI.9.3., on a pour toutk∈[[0, n]]: u_n(Q_k) =

n

X

j=0

w^j_n(u_n(Q_k)) (0)Q_j. Or u_n et v_n commutent (cf.I.1.5.) doncu_n et w_n=v_n−e_n également, d’où :

w^j_n(un(Qk)) = un w^j_n(Qk)

=

( un(Q_k−j) si j≤k un(0) si j > k d’aprèsI.8.5. Ceci donne :

∀k∈[[0, n]], u_n(Q_k) =

k

X

j=0

u_n(Q_k−j) (0)Q_j

soit : ∀k∈[[0, n]],u_n(Q_k) =

k

X

m=0

u_n(Q_m) (0)Q_k−m.

2.2.Il vientun(Qm) (0) =Q⁰_m(0) = lim

X→0X6=0

Qm(X)−Qm(0)

X oùQm(X)−Qm(0)

X =

( 0 si m= 0

1 m!

Qm−1

j=1 (X−j) si m≥1 . Finalement un(Qm) (0) =

( 0 si m= 0

(−1)^m−1

m si m≥1 . 2.3.Ainsi, pour toutk∈[[0, n]]:u_n(Q_k) =

k

X

m=1

(−1)^m−1

m Q_k−m. D’autre part :

+∞

X

m=1

(−1)^m−1

m (v_n−e_n)^m

!

(Q_k) =

+∞

X

m=1

(−1)^m−1

m w^m_n(Q_k) =

k

X

m=1

(−1)^m−1

m Q_k−m d’aprèsI.8.5.

Les deux endomorphismes u_n et

+∞

X

m=1

(−1)^m−1

m (v_n −e_n)^m de E_n coïncident sur la base B, donc ils sont égaux : u_n=

+∞

X

m=1

(−1)^m−1

m (v_n−e_n)^m.