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128 : ENDOM TRIGONALISABLES – ENDOM NILPOTENTS I. Endomorphismes trigonalisables

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Academic year: 2022

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128 : ENDOM TRIGONALISABLES – ENDOM NILPOTENTS I. Endomorphismes trigonalisables [G1][Be][FG2]

1. Définition

def endom/mat trig - Tn(K)

2. Caractérisations et propriétés

carac avc χ et π, trig simultanée, exp surjective

3. Lien avec les endom diagonalisables

Dn dense ds Tn, diag

té

à ε près, csqce (C) : A diagb ssi S(A) fermée

II. Endomorphismes nilpotents [Be][FG2]

1. Définition

def, indice – cône Nn(K)

2. Caractérisations et propriétés

carac avc χ et π / trigble + Sp(u)={0} (=> Tr=det=0) / f~kf pr tt k / 0 adhére à S(A) / Tr(u

k

) = 0 pr tt k

3. Lien avec les endom diagonalisables

diagble + nilp => nul – Csqce : Th de Burnside

III. Réduction de Jordan d'un endom nilpotent [Be]

1. Bloc nilpotent de Jordan [RDO]

def – endom cyclique – eqvlce : nilpotent + cyclique / sembl à Jn ...

2. Réduction d'un endomorphisme nilpotent def Fk, construction base, mat de Jordan par blocs

IV. Réduction d'un endom trigonalisable [G1] – [Gri]

1. Décompostion de Dunford et applications

Th Dunford – app : exp(A)=In ssi ...

2. Réduction de Jordan

ss-e carac – Th Jordan

Biblio :

Gourdon Beck

Ramis Deschamps Odoux Grifone

Francinou Gianella (alg 2)

Développements :

9 – Propriétés de l'exp de matrices 26 – Classes de similitude et topologie

( densité + diag à ε près, A nilp ssi 0 adhérent à S(A) )

28 – Théorème de burnside ( + Tr(u

k

) = 0 pr tt k )

Références

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