Tout endomorphisme nilpotent est échangeur

(1)

PSI* — 2020/2021 — Complément au corrigé du D.S. 2 Page 1

On démontre ici en trois temps le résultat admis dans l’énoncé du D.S. :

« Tout endomorphisme nilpotent est échangeur. »

E désigne un K-espace vectoriel de dimension ﬁnie n et on note (classiquement) E^∗ le dual de E, c’est-à-dire l’ensemble des formes linéaires sur E. Comme E^∗ = L(E,K), la dimension de E^∗ vaut n×1 =n.

1) Lemme 1 : pour tout vecteur xnon nul de E, il existeϕ∈E^∗ telle que ϕ(x) = 0.

Dém. Pour x non nul dans E, le théorème de la base incomplète me fournit n−1 vecteurs de E qui engendrent un hyperplan H, supplémentaire de Vect(x). Or H peut être considéré comme le noyau d’une forme linéaire non nulleϕ et, par construction,ϕ(x) = 0 puisquex /∈H.

Lemme 2 : soit(f¹, . . . , fp)une famille libre dans E^∗ (où bien sûrp≤n) et B={x∈E / f1(x) =· · ·=fp(x) = 0}. Alors Best un sous-espace vectoriel de E, de dimensionn−p.

Ce résultat est un classique de la théorie de la dualité, qui a disparu du programme voici quelques années. . .

Dém.Comme(f¹, . . . , fp)est libre par hypothèse, le théorème de la base incomplète fournitfp+1, . . . , fn

dans E^∗ telles que (f1, . . . , fn) soit une base de E^∗. Je construis sa base anté-duale à l’aide de l’application

φ: E → Kⁿ

x → (f1(x), . . . , fn(x))

φ est bien déﬁnie, linéaire grâce à la linéarité desfi et par déﬁnition des opérations dansKⁿ.

De plus φ est injective : si x ∈ Kerφ, alors ϕ(x) = 0 pour toute forme linéaire ϕ sur E (en eﬀet ϕ s’écrit comme combinaison linéaire des fi. J’en déduis quex= 0par contraposition, grâce au lemme 1.

Par conséquent, φ est linéaire, injective, or E et Kⁿ sont de même dimension ﬁnie, donc φ est un isomorphisme. Je note alors B = (e1, . . . , en) l’image de la base canonique de Kⁿ par l’isomorphisme réciproque φ⁻¹, de sorte que

∀(i, j)∈[[1, n]]² fi(ej) =δi,j.

B est une base de E, en tant qu’image d’une base par un isomorphisme, et si x =

n j=1

xjej est la décomposition d’un vecteur deE dans cette base, il vient par linéarité de fi et par déﬁnition des ej :

∀i∈[[1, n]] fi(x) =xi. Il en résulte que B= Vect (ep+1, . . . , en) et en particulier

B est un sous-espace vectoriel deE, de dimensionn−p.

2) Cas d’un endomorphisme nilpotent d’indice nen dimension n

a)Rappels sur les endomorphismes nilpotents : soit u ∈ L(E), nilpotent d’indice p ∈ N^∗ (c’est-à-dire que u^p⁻¹ = 0 et u^p = 0). Alors pour tout a∈E tel queu^p⁻¹(a) = 0 (il en existe par hypothèse !), la famille a, u(a), . . . , u^p⁻¹(a) est libre. Il en résulte notamment que p ≤n (puisqu’il existe dans E une famille libre de pvecteurs).

Dém. Supposons un instant que la famille soit liée, je dispose alors de p scalaires λ0, . . . , λp−1 non tous nuls tels que

p−1 k=0

λku^k(a) = 0 et je note j= min k∈[[1, n]] / λk= 0

L’entierj est bien déﬁni en tant que plus petit élément d’une partie non vide deN. De plus j’ai

p−1 k=j

λku^k(a) = 0 car k < j⇒λk= 0.

En appliquantu^p⁻¹⁻^j, j’obtiens par linéarité

λju^p⁻¹(a) = 0 car ∀k≥p u^k = 0.

Cela contredit le fait queλj = 0 etu^p⁻¹(a) = 0. Donc la famille est libre.

(2)

PSI* — 2020/2021 — Complément au corrigé du D.S. 2 Page 2 b)Cas d’un endomorphisme nilpotent d’indice nen dimension n

Soit u endomorphisme nilpotent d’indicendansE de dimensionn. D’après a), je dispose dea∈E tel que a, u(a), . . . , uⁿ⁻¹(a) soit une base deE. Pour une meilleure lisibilité je distingue deux cas :

∗ sin est pair,ns’écrit 2q et je pose alors

F = Vect a, u²(a), . . . , u^2q⁻²(a) et G= Vect u(a), u³(a), . . . , u^2q⁻¹(a) . Par construction,E =F ⊕Get u(F) =G, tandis queu(G)⊂F (puisqueu^2q(a) = 0) ;

∗ sin est impair,ns’écrit 2q+ 1et je pose alors

F = Vect a, u²(a), . . . , u^2q(a) et G= Vect u(a), u³(a), . . . , u^2q⁻¹(a) . Par construction,E =F ⊕G,u(F) =G(puisqueu^2q+1(a) = 0) etu(G)⊂F. En conclusion, dans tous les cas :

Tout endomorphisme nilpotent d’indicen en dimensionn est échangeur.

c)Cas général

On montre le résultat général par récurrence forte. Soit pour n∈N^∗ P(n) la propriété :

« Dans toutK-espace vectoriel de dimensionn, tout endomorphisme nilpotent est échangeur. »

∗ P(1) est vraie (dans E de dimension 1, le seul endomorphisme nilpotent est 0, qui échange {0}

etE) ;

∗ supposons n ≥ 2 tel que P(k) soit vraie pour tout k ∈ [[1, n−1]] et considérons E, K-espace vectoriel de dimensionnet u∈ L(E), nilpotent d’indicep. Nous avons vu aua)quep≤n et le casp=n a été traité aub), nous pouvons donc supposer p≤n−1.

Je ﬁxe alorsa∈E tel queu^p⁻¹(a) = 0(un telaexiste puisqueu^p⁻¹ = 0par hypothèse). D’après le lemme 1 du1), je dispose d’une forme linéaire ϕsur E telle queϕ u^p⁻¹(a) = 0.

Je montre alors que la famille ϕ, ϕ◦u, . . . , ϕ◦u^p⁻¹ est libre dans le dual E^∗ : dans le même esprit qu’aua), je suppose qu’elle est liée et je considèreλ0, . . . , λp−1, scalaires non tous nuls tels que

p−1 k=0

λk.ϕ◦u^k= 0 c’est-à-dire que : ∀x∈E

p−1 k=0

λk.ϕ◦u^k(x) = 0.

Soit alorsj = min{k∈[[0, p−1]] / λk= 0}. Je remplace dans la relation ci-dessusxparu^p⁻¹⁻^j(a) et il reste

λj.ϕ u^p⁻¹(a) = 0 car λk= 0 pour k < j et u^k⁺^p⁻¹⁻^j(a) = 0 pour k > j.

D’où une contradiction puisque λj = 0etϕ u^p⁻¹(a) = 0par construction. Ainsi ϕ, ϕ◦u, . . . , ϕ◦u^p⁻¹ est une famille libre deE^∗.

Le1)montre alors queB= x∈E / ∀k∈[[0, p−1]] ϕ u^k(x) = 0 est un sous-espace vectoriel deE, de dimensionn−p.

Notons alorsA= Vect a, u(a), . . . , u^p⁻¹(a) . Nous avons vu aua)que Aest de dimension p.

Commeu^p(a) = 0, il est clair queA est stable par u.

Best également stable par u : soitx∈B ety=u(x). J’ai bien y∈B car

∀k∈[[0, p−2]] ϕ u^k(y) =ϕ u^k+1(x) = 0 et ϕ u^p⁻¹(y) =ϕ(u^p(x)) =ϕ(0) = 0.

Je montre enfin queA etB sont supplémentaires dans E : compte tenu de leurs dimensions, il suffit de vérifier qu’ils sont en somme directe. Soit doncx∈A∩B. Supposons un instant x= 0.

Alors il s’écrit

x=

p−1 i=0

λi.uⁱ(a) avec λ0, . . . , λp−1 non tous nuls.

Je pose alors (classiquement !) j = min{i∈[[0, p−1]] / λi= 0}et j’ai x=

p−1 i=j

λi.uⁱ(a) où λj = 0

(3)

PSI* — 2020/2021 — Complément au corrigé du D.S. 2 Page 3 mézalork=p−1−j∈[[0, p−1]]et donc par déﬁnition de B

u^k(x) = 0 c’est-à-dire que λj.u^p⁻¹(a) = 0 d’où la contradiction habituelle ! Nécessairement x= 0, doncE =A⊕B.

Je dispose alors des deux endomorphismes induits paru sur Aet B, notons-lesv etw.

Ils sont nilpotents comme u (en eﬀet u^p = 0 donne v^p = 0 et w^p = 0 par déﬁnition d’un endomorphisme induit, sans présager de leurs indices de nilpotence. . . ).

Or p ∈ [[1, n−1]], donc A et B sont tous deux de dimension au plus n−1. L’hypothèse de récurrence indique alors quev et wsont échangeurs : je dispose de FA,GA,FB,GB tels que A=FA⊕GA , v(FA)⊂GA , v(GA)⊂FA et B=FB⊕GB , w(FB)⊂GB , w(GB)⊂FB.

Je pose pour conclure

F =FA⊕FB et G=GA⊕GB. Il est aisé de vériﬁer que

E=F⊕G , u(F)⊂G et u(G)⊂F.

Par conséquent,u est échangeur, ce qui achève la démonstration ! Tout endomorphisme nilpotent est échangeur.