Réduction des endomorphismes
Calculs Exercice 1. Calcul de valeurs propres
Chercher les valeurs propres des matrices : 1)
0 · · · 0 1 ..
. ... ... 0 · · · 0 n−1 1 · · · n−1 n
2)
0 sinα sin 2α sinα 0 sin 2α sin 2α sinα 0
! .
Exercice 2. Calcul de valeurs propres
Soient a1, . . . , an ∈ R. Chercher les valeurs et les vecteurs propres deA =
a1 (0)
.. . an−1 a1 · · · an−1 an
. On distinguera les cas :
1) (a1, . . . , an−1)6= (0, . . . ,0).
2) (a1, . . . , an−1) = (0, . . . ,0).
Exercice 3. Polynômes de Chebychev
SoitA=
0 1 (0)
1 . .. . .. . .. . .. 1
(0) 1 0
∈ Mn(R).
1) CalculerDn(θ) = det(A+ (2 cosθ)I) par récurrence.
2) En déduire les valeurs propres deA.
Exercice 4. Matrice tridiagonale
Déterminer les valeurs propres de la matriceA=
1 −1 (0)
−1 2 −1 . .. . .. . ..
−1 2 −1
(0) −1 1
∈ Mn(R).
Exercice 5. Diagonalisation
Diagonaliser les matrices suivantes : 1) 1 5
2 4
2)2 5
4 3
3) 5 3
−8 −6
4)4 4
1 4
5)
0 1 2
1 1 1
1 0 −1
! 6)
1 2 3 2 1 3 4 2 0
! 7)
1 1 0
−1 1 2 0 0 2
!
8)
2 −1 −1
−1 2 −1
−1 −1 2
! 9)
1 −1 2 3 −3 6 2 −2 4
! 10)
7 −12 −2
3 −4 0
−2 0 −2
! 11)
−2 8 6
−4 10 6
4 −8 −4
! 12)
0 1 0 0
3 0 2 0
0 2 0 3
0 0 1 0
13)
1 1 1 1
1 1 −1 −1
1 −1 1 −1
1 −1 −1 1
14)
0 2 −2 2
−2 0 2 2
−2 2 0 2 2 2 −2 0
15)
−5 2 0 0
0 −11 5 0
0 7 −9 0
0 3 1 2
16)
2 0 3 4
3 1 2 1
0 0 3 0
0 0 4 −1
Exercice 6. Trigonalisation
Trigonaliser les matrices suivantes : 1)
1 −3 0 3
−2 −6 0 13
0 −3 1 3
−1 −4 0 8
2)
3 −1 1 −7
9 −3 −7 −1
0 0 4 −8
0 0 2 −4
Exercice 7. Diagonalisation Diagonaliser M =
(0) 1
. ..
1 (0)
∈ Mn(K).
Exercice 8. Diagonalisation
Diagonaliser M =
0 1
1 . .. (0) . .. . ..
(0) 1 0
∈ Mn(C).
Exercice 9. Calcul
Diagonaliser la matriceM =
e a b c a e c b b c e a c b a e
∈ M4(R).
Exercice 10. Calcul Soit Cpq =
Upq 0 Upq
0 0 0
Upq 0 Upq
!
∈ Mn(R) où Upq est la matrice p×q dont tous les coefficients valent 1.
Chercher les éléments propres deCp,q. Exercice 11. Matrice triangulaire
SoitA=
1 a b c
0 1 d e
0 0 −1 f
0 0 0 −1
. A quelle conditionAest-elle diagonalisable ? Exercice 12. Sommes par lignes ou colonnes constantes
Soit A∈ Mn(K) telle que la somme des coefficients par ligne est constante (=S). Montrer que S est une valeur propre deA. Même question avec la somme des coefficients par colonne.
Exercice 13. Matrices stochastiques
Soit M = (mij) ∈ Mn(R) telle que : ∀i, j, mij > 0 et ∀i, mi,1 +mi,2+. . .+mi,n = 1 (matrice stochastique).
1) Montrer que 1 est valeur propre deM.
2) Soitλune valeur propre complexe de M. Montrer que |λ|61 (si (x1, . . . , xn)∈Cn est un vecteur propre associé, considérer le coefficientxk de plus grand module). Montrer que si tous les coefficients mij sont strictement positifs alors|λ|= 1⇒λ= 1.
Exercice 14. (X2−1)P00+ (2X+ 1)P0
SoitKun corps de caractéristique nulle,E=Kn[X] etu:
E −→ E
P 7−→ (X2−1)P00+ (2X+ 1)P0. 1) Chercher la matrice deudans la base canonique deKn[X].
2) Montrer queuest diagonalisable.
Exercice 15. (X−a)P0 SoitE =Kn[X] et u:
E −→ E
P 7−→ (X−a)P0. Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de u.
Exercice 16. X(X−1)P0−2nXP SoitE =K2n[X] etu:
E −→ E
P 7−→ X(X−1)P0−2nXP. Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres deu.
Exercice 17. X3P mod (X−a)(X−b)(X−c) Soientα, β, γ∈Kdistincts, etϕ:
K2[X] −→ K2[X]
P 7−→ R oùRest le reste de la division euclidienne de X3P par (X−α)(X−β)(X−γ). Chercher les valeurs et les vecteurs propres deϕ.
Exercice 18. P(2−X)
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme θ:
K[X] −→ K[X] P 7−→ P(2−X).
Exercice 19. P(X+ 1)−P0
SoitKun corps de caractéristique nulle.
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme θ:
K[X] −→ K[X]
P 7−→ P(X+ 1)−P0. Exercice 20. (X−a)P0+P−P(a)
Soitf ∈ L(Rn[X]) qui àP associe (X−a)P0+P−P(a). Donner la matrice def dans la base (Xk)06k6n. Chercher Imf, Kerf et les éléments propres def.
Exercice 21. tr(A)M + tr(M)A
SoitA∈ Mn(C). L’endomorphismef deMn(C) défini parf(M) = tr(A)M+ tr(M)Aest-il diagonalis- able ?
Exercice 22. Étude d’une matrice SoitA=
a1 1 (0)
a2 . .. ..
. 1
an (0) 0
où les ai sont des réels positifs ou nuls, aveca1an >0.
1) Quel est le polynôme caractérique deA?
2) Montrer queAadmet une unique valeur proprer >0 et que l’on ar <1 + max(a1, . . . , an).
3) Soitλune valeur propre complexe deA. Montrer que|λ|6ret |λ|=r⇒λ=r.
4) Montrer qu’il existe un entierktel que Ak a tous ses coefficients strictement positifs.
Espaces fonctionnels Exercice 23. f 7→f(2x)
SoitE={f :R→Rcontinues tq f(x) −→
x→±∞0},ϕ:
R −→ R x 7−→ 2x etu:
E −→ E f 7−→ f◦ϕ.
Montrer queun’a pas de valeurs propres (siu(f) =λf, étudier les limites def en 0 ou±∞).
Exercice 24. Translation
SoitE le sous-espace vectoriel de C(R+,R) des fonctions ayant une limite finie en +∞. SoitT ∈ L(E) défini par T(f)(x) =f(x+ 1).Trouver les valeurs propres deT.
Exercice 25. Équation intégrale SoitE=C([0,+∞[,R) etu:
E −→ E
f 7−→ ˜f avec˜f(x) = 1 x
Z x t=0
f(t) dt.
1) Montrer que˜f peut être prolongée en une fonction continue sur [0,+∞[.
2) Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres deu.
Exercice 26. Endomorphisme sur les suites
SoitE l’espace vectoriel des suites réellesu= (un)n>1et f l’endomorphisme deE défini par : (f(u))n=u1+ 2u2+. . .+nun
n2 .
Quelles sont les valeurs propres def ? Exercice 27. Opérateur intégral
SoitE=C([0,1],R) etf :
E −→ E
u 7−→ ˜u avec˜u(x) = Z 1
t=0
min(x, t)u(t) dt.
Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres def.
Polynôme caractéristique Exercice 28. Formules pour une matrice3×3
SoitA= (aij)∈ M3(R).
1) Vérifier queχA(λ) =−λ3+ (trA)λ2−
a11 a12 a21 a22
+
a11 a13 a31 a33
+
a22 a23 a32 a33
λ+ det(A).
2) Soitλune valeur propre de A et L1, L2 deux lignes non proportionnelles deA−λI (s’il en existe).
On calculeL=L1∧L2 (produit vectoriel) etX =tL. Montrer que X est vecteur propre deA pour la valeur propreλ.
Exercice 29. Recherche de vecteurs propres pour une valeur propre simple SoitA∈ Mn(K) etλ∈Kune valeur propre deAtelle que rg(A−λI) =n−1.
1) Quelle est la dimension du sous espace propreEλ ? 2) Montrer que les colonnes detcom(A−λI) engendrentEλ. 3) AN : DiagonaliserA=
0 1 2
1 1 1
1 0 −1
! . Exercice 30. Éléments propres deCtC
SoitC=
a1 .. . an
∈ Mn,1(R) etM =CtC.
1) Chercher le rang deM.
2) En déduire le polynôme caractéristique deM. 3) M est-elle diagonalisable ?
Exercice 31. (i/j)
SoitA= (aij)∈ Mn(R) telle queaij =i/j. Aest-elle diagonalisable ? Exercice 32. Matrice compagne
On considère pourn∈N∗ le polynôme défini par : Pn(x) =xn−Pn−1
i=0 αixi avecα0>0 etαi>0 pour 16i6n−1.
1) Montrer qu’il existe une unique racine dansR+∗ pourPn.
2) Soit A =
1 1 0 · · · 0 2 0 1 . .. ... ..
. ..
. . .. . .. 0 ..
. ..
. . .. 1 n 0 · · · · · · 0
. Montrer que A admet une unique valeur propre réelle strictement
positive.
Exercice 33. I+ (xiyj)
Soient x1, . . . , xn, y1, . . . , yn∈C. Calculer∆n = det(I+ (xiyj)).
Exercice 34. Centrale MP 2000
On considère la matrice de Mn(C),A=
0 a · · · a b . .. . .. ... ..
. . .. . .. a b · · · b 0
,a6=b.
1) Montrer que le polynôme caractéristique deAest 1
a−b(a(X+b)n−b(X+a)n).
2) Montrer qu’en général les valeurs propres deAsont sur un cercle.
Exercice 35. Centrale MP 2000
Soita1, . . . , an, b1, . . . , bn∈Ret An=
a1+b1 b2 · · · · · · bn b1 a2+b2 b3 · · · bn
..
. b2 . .. . .. ... ..
. ..
. . .. . .. bn b1 b2 · · · bn−1 an+bn
1) Calculer detAn.
2) CalculerχA, le polynôme caractéristique deA.
3) On supposea1< a2< . . . < anet, pour touti,bi>0. Montrer queAn est diagonalisable (on pourra utiliserχA(t)/Qn
i=1(ai−t)).
4) Le résultat reste-t-il vrai si l’on supposea16a26. . .6an et, pour tout i,bi>0 ? Exercice 36. Polynômes caractéristiques
SoitA∈ Mn(K) inversible etB=A−1, C=A2. Exprimer les polynômes caractéristiquesχB etχC en fonction deχA.
Exercice 37. Matrice compagne
SoitP =Xn−(a0+a1X+. . .+an−1Xn−1)∈Kn[X].
La matrice compagne de P est M =
0 (0) a0
1 . .. a1
. .. 0 .. .
(0) 1 an−1
.
SoitE unK-ev de dimensionn,B= (e1, . . . , en) une base de E et ϕl’endomorphisme deE de matrice M dansB.
1) Déterminer le polynôme caractéristique deM. 2) Calculerϕk(e1) pour 06k6n.
3) En déduire queµM =P. Exercice 38. sp(A)∩sp(B) =∅
Soient A, B∈ Mn(C). Montrer que sp(A)∩sp(B) =∅si et seulement siχA(B) est inversible.
Application : Soient A, B, P trois matrices carrées complexes avecP 6= 0 telles queAP =P B. Montrer queAet B ont une valeur popre commune.
Exercice 39. Matrices à spectres disjoints
Soient A, B∈ Mn(C). Montrer l’équivalence entre :
a)∀C∈ Mn(C), il existe un uniqueX ∈ Mn(C) tel queAX−XB=C.
b)∀X ∈ Mn(C) on aAX=XB⇒X = 0.
c) χB(A) est inversible.
d)A etB n’ont pas de valeur propre en commun.
Exercice 40. ABetBA ont même polynôme caractéristique Soient A, B∈ Mn(K).
1) Montrer queABetBA ont les mêmes valeurs propres.
2) Montrer que siAouB est inversible, alorsABet BAont même polynôme caractéristique.
3) Dans le cas général, on noteM =BA −B
0 0
, N=0 −B
0 AB
,P =I
n 0
A In
(M, N, P ∈ M2n(K)).
Vérifier queM P =P N, montrer queP est inversible, et conclure.
Exercice 41. X 2014
SoientA, B∈ M2(Z) telles queA, A+B, A+ 2B, A+ 3B, A+ 4B sont inversibles. Montrer queA+ 5B l’est.
Exercice 42. Trace Soit l’applicationΦ:
Mn(R) −→ Mn(R)
M 7−→ tM. Calculer sa trace par un moyen simple.
Exercice 43. Fermat pour la trace, ULM-Lyon-Cachan MP∗ 2005 Soitppremier et A∈ Mn(Z). Montrer que tr(Ap)≡tr(A) (modp).
Exercice 44. Facteurs irréductibles (Lacouture)
Soit K un corps quelconque, n ∈ N∗, M ∈ Mn(K). On note µ le polynôme minimal de M et χ son polynôme caractéristique. Le but de l’exercice est de prouver queµetχont mêmes facteurs irréductibles.
1) Traiter le cas oùχ est scindé.
2) Cas général.
a) Montrer que pour toutP ∈K[X], il existeR∈ Mn(K[X]) tel que P(M)−P(X)In= (M−XIn)R(X).
b) Montrer queχdiviseµn puis conclure.
Exercice 45. AM+B et AM ont même polynôme caractéristique, Centrale MP 2012
1) SoientA, B∈ Mn(C) ayant même polynôme caractéristique. Montrer que tr(A2) = tr(B2).
2) SoientA, B∈ Mn(C). Montrer l’équivalence entre :
(a)∀M ∈ Mn(C),AM+B etAM ont même polynôme caractéristique ; (b)B est nilpotente et BA= 0.
Polynôme annulateur Exercice 46. Matrice bitriangulaire
Donner une CNS sura, b∈Cpour que la matriceM =
0 (a)
. ..
(b) 0
soit diagonalisable.
Exercice 47. A2=A ettr(A) = 0
Trouver les matricesA∈ Mn(R) telles queA2=Aet tr(A) = 0.
Exercice 48. u3=u2
Soient Eun ev de dimension finie surCet uun endomorphisme deE.
On suppose queu3=u2,u6= id, u26= 0, u26=u.
1) Montrer qu’une valeur propre deune peut être que 0 ou 1.
2) Montrer que 1 et 0 sont effectivement valeurs propres deu.
3) Montrer que un’est pasdiagonalisable.
4) Montrer queE= Im(u2)⊕Ker(u2).
5) Monter queu|F avecF = Im(u2) est l’identité.
Exercice 49. INT gestion 94 SoitA=
1 1 1 1
−1 1 −1 1
−1 1 1 −1
−1 −1 1 1
.
1) Calculer detA.
2) Calculer (A−xI)(tA−xI) et en déduireχA(x).
3) Montrer queAestC-diagonalisable.
Exercice 50. XnP(1/X) SoitE=Kn[X] etu:
E −→ E
P 7−→ XnP(1/X).
1) Détermineru◦u. En déduire que si car(K)6= 2 alorsuest diagonalisable.
2) Étudier le cas car(K) = 2.
3) Lorsqueuest diagonalisable, donner une base de vecteurs propres deu.
Exercice 51. A=A−1
SoitA∈ Mn(C) telle queA=A−1. Aest-elle diagonalisable ? CalculereA (eA=P∞ k=0
Ak k!).
Exercice 52. Endomorphisme de rang 1
SoitE un ev de dimension finie etu∈ L(E) tel que rg(u) = 1. Montrer que : Imu⊂Keru⇔un’est pas diagonalisable.
Exercice 53. u2 diagonalisable
Soit E un C-ev de dimension finie et u ∈ GL(E) tel que u2 est diagonalisable. Montrer que u est diagonalisable. Donner un contre-exemple dans un R-ev.
Exercice 54. Racinep-ème
SoitA∈ Mn(C) inversible diagonalisable etB∈ Mn(C),p∈N∗ tels que Bp=A.
1) Montrer queB est diagonalisable.
2) SiAn’est pas inversible la conclusion subsiste-t-elle ? Exercice 55. X 2014
Résoudre dansM2(R) : X2=0 1
0 0
. Exercice 56. p2 est un projecteur
Soit E un espace vectoriel de dimension n et p ∈ L(E) tel que p2 est un projecteur. Quelles sont les valeurs propres éventuelles dep? Montrer quepest diagonalisable si et seulement sip3=p.
Exercice 57. A3=A+I
SoitA∈ Mn(R) telle queA3=A+I. Montrer que det(A)>0.
Exercice 58. A3+A2+A= 0
SoitA∈ Mn(R) telle queA3+A2+A= 0. Montrer que rgAest pair.
Exercice 59. An=I
SoitA∈ Mn(C) telle queAn =I et (I, A, . . . , An−1) est libre. Montrer que tr(A) = 0.
Exercice 60. Ap=Iet sp(A)⊂R⇒A2=I
Soit A ∈ Mn(R). On suppose que les valeurs propres de A sont réelles et qu’il existe p > 1 tel que Ap =I. Montrer queA2=I.
Exercice 61. P(u) =P
P(λi)ui
SoitE unK-ev de dimension finie etu∈ L(E).
1) On supposeudiagonalisable et on noteλ1, . . . , λp ses valeurs propres distinctes.
a) Montrer qu’il existe des endomorphismes u1, . . . , up tels que pour tout polynôme P ∈ K[X], on ait : P(u) =Pp
i=1P(λi)ui.
b) Montrer qu’il existe un polynômePi tel queui=Pi(u).
2) Réciproquement, soitu, u1, . . . , up∈ L(E) et λ1, . . . , λp∈Ktels que :
∀P∈K[X], P(u) =
p
X
i=1
P(λi)ui.
Montrer queuest diagonalisable et sp(u)⊂ {λ1, . . . , λp}.
Exercice 62. Projecteurs
Soit E un espace vectoriel de dimensionn, et f1, . . . , fn, napplications linéaires toutes non nulles. On suppose : ∀(i, j)∈[[1, n]]2,fi◦fj =δi,jfi. Montrer lesfi sont toutes de rang un.
Exercice 63. Projecteurs spectraux
Soit f un endomorphisme diagonalisable d’un ev E de dimension finie, λune valeur propre de f et pλ
le projecteur sur le sous-espace propre associé parallèlement à la somme des autres sous-espaces propres.
Montrer quepλ est un polynôme enf.
Exercice 64. Endomorphismes anticomutant, Centrale MP 2003
SoitE unC-ev de dimensionn∈N∗ et u1, . . . , up (p>2) des endomorphismes deE vérifiant :
∀k, u2k=−idE, ∀k6=`, uk◦u`=−u`◦uk. 1) Montrer que lesuk sont des automorphismes et qu’ils sont diagonalisables.
2) Montrer quenest pair.
3) Donner le spectre de chaqueuk.
4) Donner les ordres de multiplicité des valeurs propres desuk. 5) Calculer det(uk).
Exercice 65. u2= 0
SoitE un ev de dimension finie etu∈ L(E) tel queu◦u= 0.
1) Quelle relation y a-t-il entre Keruet Imu? Montrer que 2 rgu6dimE.
2) On suppose ici dimE = 4 et rgu= 2. Montrer qu’il existe une base (e1, e2, e3, e4) de E telle que : u(e1) =e2,u(e2) = 0,u(e3) =e4,u(e4) = 0.
3) On suppose dimE=net Imu= Keru. Est-ce queuest diagonalisable ? Exercice 66. Réduction deM tqM3=I
SoitM ∈ M3(R) telle queM 6=I, etM3=I.
1) Quelles sont les valeurs propres complexes deM ? 2) Montrer queM est semblable à
1 0 0
0 −1/2 −√ 3/2
0 √
3/2 −1/2
! . Exercice 67. Centrale PSI 1998
Soient u, v, htrois endomorphismes deRn tels que :
u◦v=v◦u, u◦h−h◦u=−2u, v◦h−h◦v=−2v.
1) Cas particulier,n= 3, Mat(u) =
0 1 0 0 0 1 0 0 0
!
. Déterminer siv ethexistent et si oui, les donner.
2) Cas général.
a) Que peut-on dire de tr(u) et tr(v) ?
b) Montrer queuet v sont non inversibles. Montrer que Keruet Kervsont stables parh.
c) Détermineruk◦h−h◦uk pourk∈N. DéterminerP(u)◦h−h◦P(u) pourP ∈R[X].
d) Quel est le polynôme minimal deu?
Exercice 68. Indépendance du polynôme minimal par rapport au corps
SoientK⊂Ldeux corps etA∈ Mn(K). On noteµK(A) etµL(A) les polynômes minimaux deAen tant que matrice à coefficients dansKou dansL. Montrer que ces polynômes sont égaux.
Exercice 69. Trace entière, X MP∗2004
Caractériser les polynômesP tels que : ∀A∈ Mn(C), (P(A) = 0)⇒(tr(A)∈Z).
Exercice 70. Valeurs propres communes
Soient A, B, C∈ Mn(C) telles queAC=CB et rg(C) =r. Montrer queA etB ont au moinsr valeurs propres communes.
Exercice 71. Polynôme minimal imposé, Centrale MP 2005
Le polynômeX4+X3+ 2X2+X+ 1 peut-il être le polynôme minimal d’une matrice deM5(R) ? Exercice 72. Kerup⊕Imup, Polytechnique MP∗ 2006
Soit E unK-ev de dimension n. Soit u∈ L(E), P son polynôme minimal et p le plus petit exposant deX dans l’écriture deP.
1) Sip= 0, que dire deu?
2) Sip= 1, montrer queE= Imu⊕Keru.
3) Dans le cas général, montrer queE= Kerup⊕Imup.
Exercice 73. f2+αf+βid = 0, Centrale 2015
SoitE unR-ev de dimension finien>1. Soit P =X2+αX+β ∈R[X] sans racine réelle etf ∈ L(E) tel que P(f) = 0. Le but de l’exercice est de prouver qu’il existe une base deE dans laquelle la matrice def est diagonale par blocs avec pour blocs diagonaux 0 1
−β −α
. 1) Montrer quef n’admet aucune valeur propre puis que nest pair.
2) Soitx∈E non nul ety=f(x) +αx. On noteHx=hx, yi. Montrer queHx est un plan stable parf et que c’est le plus petit sev deE stable parf et contenant x.
3) Prouver la propriété annoncée.
Exercice 74. P(A)est nilpotente, Mines-Ponts 2015
SoitA∈ Mn(C). Déterminer les polynômesP tels queP(A) soit nilpotente.
Exercice 75. Ap=In, Mines 2015
SoitA∈ Mn(Z) telle qu’il existep∈NvérifiantAp=In. On suppose de plus qu’il existem>3 tel que, pour tousi, j,mdivise [A−In]i,j. DéterminerA.
Endomorphismes de composition Exercice 76. ÉquationAM =λM
SoitA∈ Mn(K). Déterminer les scalairesλet les matricesM ∈ Mn(K) telles queAM=λM. Exercice 77. v7→v◦u, Centrale MP 2003
SoitE un espace vectoriel de dimension finie etu∈ L(E). On considère l’applicationΦu qui àv∈ L(E) associev◦u.
1) Montrer queΦu∈ L(L(E)).
2) Montrer l’équivalence : (uest diagonalisable)⇔(Φu est diagonalisable). . . a) en considérant les polynômes annulateurs deuet de Φu.
b) en considérant les spectres et sous-espaces propres deuet deΦu. Exercice 78. f 7→p◦f ◦p
Soitp∈ L(E) une projection etΦ:
L(E) −→ L(E)
f 7−→ p◦f ◦p. Déterminer les éléments propres deΦ.
Exercice 79. f 7→u◦f et f 7→f◦u
SoitE unK-ev de dimension finie etu∈ L(E) diagonalisable.
On considère les applications :
L(E) −→ L(E) ϕ:f 7−→ u◦f ψ:f 7−→ f◦u.
1) Montrer queϕet ψsont diagonalisables.
2) Montrer queϕ−ψest diagonalisable.
Exercice 80. u◦v−v◦u= id
SoientKun corps de caractéristique nulle,EunK-ev non nul etu, vdeux endomorphisme deEtels que u◦v−v◦u= idE.
1) Simplifieruk◦v−v◦uk pourk∈NpuisP(u)◦v−v◦P(u) pourP ∈K[X].
2) Montrer queuet vn’ont pas de polynômes minimaux.
Exercice 81. f◦g−g◦f =αf
SoitK un corps de caractéristique nulle,E unK-ev de dimension finie et f, g∈ L(E), α∈K∗ tels que f ◦g−g◦f =αf.
1) Montrer pour tout entier natureln: fn◦g−g◦fn =nαfn.
2) Montrer qu’il existen ∈ N tel que fn = 0 (raisonner par l’absurde et considérer l’application h7→
h◦g−g◦hdeL(E) dansL(E)).
3) Donner un contre-exemple avec car(K)6= 0.
Exercice 82. X MP∗2001
Soitf un endomorphisme deE (ev de dimension finie surK) tel queχf soit irréductible. Montrez que pour aucun endomorphismegle crochet de Lie [f, g] =f ◦g−g◦f n’est de rang un.
Exercice 83. 12(p◦u+u◦p), Mines MP 2003
SoitE unR-espace vectoriel de dimensionnfinie,pun projecteur de rangret ϕ:
L(E) −→ L(E)
u 7−→ 12(p◦u+u◦p).
1) Est-ce queϕest diagonalisable ?
2) Déterminer les valeurs propres deϕet les dimensions des sous-espaces propres.
Exercice 84. Crochet de Lie, Ens Cachan MP∗ 2003
SoitΦ:Mn(C)→ Mn(C) un automorphisme d’ev tel que : ∀A, B ∈ Mn(C),Φ([A, B]) = [Φ(A), Φ(B)]
où [X, Y] =XY −Y X. Montrer : ∀D∈ Mn(C), (D est diagonalisable)⇔(Φ(D) est diagonalisable).
Indication : considérer ϕD : X 7→[D, X] et montrer que (D est diagonalisable) ⇔(ϕD est diagonalis- able).
Similitude Exercice 85. Matrices réelles semblables surC
Soient A, B ∈ Mn(R) semblables sur C : Il existe P, Q ∈ Mn(R) telles que : P +iQ ∈ GLn(C) et (P+iQ)A=B(P+iQ).
1) Montrer : ∀λ∈R, (P+λQ)A=B(P+λQ).
2) En déduire queAet B sont semblables surR. Exercice 86. Trigonalisation de matrices
SoitA=
−1 2 0
2 2 −3
−2 2 1
!
et ϕl’endomorphisme deR3 canoniquement associé àA.
1) Vérifier queAn’est pas diagonalisable.
2) Chercher deux vecteurs propres deAlinéairement indépendants.
3) Compléter ces vecteurs en une base deR3. 4) Écrire la matrice deϕdans cette base.
5) Résoudre le système différentiel : X0=AX.
Exercice 87. Somme de projecteurs
Soit E un K-ev de dimension finie et u∈ L(E). Montrer que u est diagonalisable si et seulement s’il existe des projecteurs p1, . . . , pk ∈ L(E) et des scalairesλ1, . . . , λk tels que : u=λ1p1+. . .+λkpk et
∀i6=j,pi◦pj = 0.
Exercice 88. A3est semblable à A4
Quelles sont les matricesA∈ M3(C) telles queA3 est semblable àA4? On étudiera séparément les cas : 1) Aa trois valeurs propres distinctes.
2) Aa deux valeurs propres distinctes 3) Aa une seule valeur propre.
Exercice 89. Décomposition de Dunford
SoitA∈ Mn(C). Montrer qu’il existe deux matrices D, N telles queA=D+N, D est diagonalisable, N est nilpotente,DN =N D.
Exercice 90. Réduction de Jordan, Mines MP 2003
Soitf ∈ L(R3) telle que sp(f) ={λ}et dim(Ker(f −λid)) = 2.
Montrer qu’il existe une base Bdans laquelle Mat(f) =
λ 0 0
0 λ 1
0 0 λ
! . Exercice 91. Aet2Asont semblables
SoitA∈ Mn(C) nilpotente. Montrer queA et 2A sont semblables.
Usage de la réduction Exercice 92. Ensi PC 1999
SoitA=
−1 2 1
2 −1 −1
−4 4 3
! . 1) CalculerAn.
2) SoitU0=
−2 4 1
!
et (Un) défini par la relation : Un+1=AUn. CalculerUn en fonction den.
3) SoitX(t) =
x(t) y(t) z(t)
!
. Résoudre dX
dt =AX.
Exercice 93. Puissances deA
SoitA∈ M3(R) ayant pour valeurs propres 1,−2,2, etn∈N.
1) Montrer queAn peut s’écrire sous la forme : An =αnA2+βnA+γnI avecαn, βn, γn∈R.
2) On considère le polynômeP =αnX2+βnX+γn. Montrer que : P(1) = 1,P(2) = 2n,P(−2) = (−2)n. 3) En déduire les coefficientsαn, βn, γn.
Exercice 94. Suites récurrentes linéaires
Soit (un) une suite réelle vérifiant l’équation de récurrence : un+3= 6un+2−11un+1+ 6un. 1) On poseXn=
un un+1 un+2
!
. Montrer qu’il existe une matriceA∈ M3(R) telle queXn+1=AXn. 2) DiagonaliserA. En déduire un en fonction deu0,u1, u2 etn.
Exercice 95. Endomorphisme cyclique
Soitf un endomorphisme d’un espace vectorielE de dimensionn.
1) On suppose que pour tout sous-evDde dimension 1 il existex∈Dtel queE= vect(x, f(x), f2(x), . . .).
Que dire deE etf ?
2) On suppose qu’il existex∈Etel queE= vect(x, f(x), f2(x), . . .). Montrer que sif est diagonalisable alors ses valeurs propres sont toutes distinctes. Montrer que sif est nilpotente alorsfn−16= 0.
Exercice 96. Suite de points
Soit (Mn) une suite de points dans le plan, de coordonnées (xn, yn) définies par la relation de récurrence : xn+1=−xn+ 2yn, yn+1=−3xn+ 4yn.
1) Montrer que, quelque soitM0, les pointsMn sont alignés.
2) Étudier la suite (Mn) quandntend vers l’infini.
3) Quelle est la limite deyn/xn (utiliser une méthode géométrique) ? Exercice 97. Commutant d’une matrice à valeurs propres distinctes
1) SoitD= diag(λ1, . . . , λn) une matrice diagonale à valeurs propres distinctes.
a) Montrer qu’une matriceM commute avecD si et seulement siM est diagonale.
b) Montrer que pour toute matriceM diagonale, il existe un polynômeP ∈Kn−1[X] unique tel que M =P(D).
2) SoitA∈ Mn(K) une matrice à valeurs propres distinctes. Montrer que les matricesM commutant avecA sont les polynômes enA.
Exercice 98. XY =Y X =A SoitA=1 1
1 1
.
1) Aest-elle diagonalisable ?
2) Trouver toutes les matricesX, Y ∈ M2(K) telles queXY =Y X =A.
Exercice 99. Racine carrée SoitA=
9 0 0 1 4 0 1 1 1
!
. Trouver les matricesM ∈ M3(R) telles queM2=A.
Exercice 100. Racine carrée SoitA=
5 −4 1
8 −7 2
12 −12 4
!
. Trouver une matriceB différente deAet−Atelle queB2=A.
Exercice 101. Commutant 1) Trouver le commutant de
2 −2 1 2 −3 2
1 2 0
!
∈ M3(R).
2) Même question, en considérantM ∈ M3(Q).
Exercice 102. Commutant, Centrale MP 2000 Si A∈Mn(C), on noteC(A) le commutant deA.
1) Pourn= 2, montrer queC(A) est de dimension 2 ou 4, en donner une base.
2) Pourn∈N∗, montrer queC(A) est de dimension>n(traiter d’abord le cas oùAest diagonalisable).
Exercice 103. Ulm MP∗ 2001
En se déplaçant uniquement sur les arêtes d’un cube de côté 1, combien y a-t-il de chemins de longueurn pour aller d’un point à un autre ?
Réduction par blocs Exercice 104. Matrice bloc
SoitA∈ Mn(K) non nulle etM =0 A
0 0
∈ M2n(K). Montrer queM n’est pas diagonalisable.
Exercice 105. Matrice bloc
SoitKun corps de caractéristique nulle,A∈ Mn(K) etM =A 0
A A
∈ M2n(K).
1) Comparer les valeurs propres deAetM.
2) SoitP ∈K[X] etQ=XP0. Montrer queP(M) =P(A) 0
Q(A) P(A)
. 3) A quelle condition surA,M est-elle diagonalisable ?
Exercice 106. Ensi P 90
SoitM ∈ Mn(C) diagonalisable. SoitA=M M
M M
∈ M2n(C). La matrice Aest-elle diagonalisable ? Exercice 107. Matrice bloc
Soit A ∈GLn(C) et M = 0 A
I 0
∈ M2n(C). Montrer que M est diagonalisable si et seulement si A l’est (chercher les sous-espaces propres de M en fonction de ceux deA).
Exercice 108. Matrice triangulaire par blocs SoitM =A B
0 C
avec A, C carrées. On suppose queA et C sont diagonalisables sans valeurs propres communes. Montrer queM est diagonalisable.
Exercice 109. Matrice bloc SoitM =A B
C D
∈ Mn(K) diagonalisable avecAcarrée d’ordrep.
Soit λune valeur propre deM de multiplicitém. Montrer que si p > n−m, alorsλ est valeur propre deA.
Exercice 110. Réduction par blocs, Centrale MP 2003 SoitA∈ Mn(R) etB =0 A
A 2A
∈ M2n(R). Déterminer sp(B) et fonction de sp(A).
Exercice 111. Am −→
m→+∞0, Mines MP 2003 SoitA=
a2 ab ab b2 ab a2 b2 ab ab b2 a2 ab b2 ab ab a2
. Représenter dans un plan l’ensemble des couples (a, b) tels queAm −→
m→+∞0.
Image et noyau Exercice 112. Chimie P 1996
SoitE un espace vectoriel réel de dimensionnetf un endomorphisme deE.
Est-il vrai que : f est diagonalisable⇔Kerf+ Imf =E ?
Exercice 113. uest diagonalisable⇔Ker(u−λid) + Im(u−λid)est directe
Soit E unK-ev de dimension finie et u∈ L(E) tel que χu est scindé. Pour λ∈ sp(u), on note Eλ = Ker(u−λid) etFλ= Im(u−λid). Montrer queuest diagonalisable si et seulement si pour toutλ∈sp(u), Eλ⊕Fλ=E.
Exercice 114. Kerf⊕Imf
SoitE unK-ev de dimension finie et f ∈ L(E). On suppose qu’il existeP ∈K[X] tel que P(f) = 0 et P0(0)6= 0. Montrer que Kerf⊕Imf =E.
Exercice 115. rg(f−λid)
SoitE unC-ev de dimension finie etf ∈ L(E). Montrer quef est diagonalisable si et seulement si pour tout λ∈Con a rg(f−λid) = rg(f−λid)2.
Exercice 116. Nombre de noyaux et d’images
SoitE unK-ev de dimension finie etu∈ L(E). Montrer que les ensemblesK={Ker(P(u)),P ∈K[X]}
et I={Im(P(u)),P ∈K[X]} sont finis et ont même cardinal.
Exercice 117. dim(Kerf2) = 2 dim(Kerf), Mines-Ponts MP 2005
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L(E) tel que dim(Kerf2) = 2 dim(Kerf) = 2d.
Montrer que s’il existe g∈ L(E) etk∈N∗ tels quegk=f alorskdivised.
Sous-espaces stables Exercice 118. Droites et hyperplans stables
SoitE unC-ev de dimension finie etu∈ L(E).
1) Montrer qu’il existe une droite vectorielle stable paru.
2) Montrer qu’il existe un hyperplan stable par u(considérer Im(u−λid) où λ est une valeur propre deu).
3) Donner un exemple où ces propriétés sont en défaut pour unR-ev.
Exercice 119. Plan stable pour une valeur propre non réelle
SoitM ∈ Mn(R) etλ=a+ibune valeur propre non réelle deM (a∈R,b∈R∗). On note X un vecteur propre complexe deM.
1) Montrer queX est aussi vecteur propre deM. 2) Montrer que (X, X) est libre dansCn.
3) SoientU =12(X+X),V = 2i1(X−X). Montrer que (U, V) est libre dans Rn.
4) SoitF = vect(U, V). Montrer queF est stable parϕ(endomorphisme deRn associé àM) et donner la matrice deϕ|F dans la base (U, V).
Exercice 120. Plans stables
SoitE unK-ev de dimension finie etf ∈ L(E).
1) SoitF un plan vectoriel. Montrer que si F est stable parf alors il existeP ∈ K2[x] non constant, diviseur deµf, tel queF ⊂KerP(f).
2) Réciproquement, soitP ∈K[x] un diviseur deµf de degré 2. Montrer que KerP(f) contient un plan stable parf.
3) SiK=Rmontrer quef admet toujours une droite ou un plan stable.
Exercice 121. Recherche de sev stables SoitA=
1 1 0
−3 −2 0
0 0 1
! .
1) Déterminer les sev deR3 stables pour l’endomorphisme associé àA.
2) Quelles sont les matrices réelles commutant avecA? Exercice 122. Plan affine stable
SoitE=R3 etH :x+ 2y+ 3z= 1 un planaffinedeE. Montrer que siH est stable parf ∈ L(E) alors 1 est valeur propre def.
Exercice 123. χuirréductible
Soituun endomorphisme deE, espace vectoriel de dimensionn sur le corpsK. Montrez que seuls{0}
et E sont stables parusi et seulement siχu est irréductible surK. Exercice 124. Endomorphisme semi-simple.
Un endomorphismef est dit semi-simple si tout sous-espace stable parf admet un supplémentaire stable parf. Montrer qu’un endomorphisme d’un C-ev de dimension finie est semi-simple si et seulement s’il est diagonalisable.
Exercice 125. Endomorphisme semi-simple, Polytechnique MP∗ 2000
SoitE un espace vectoriel,f un endomorphisme deE tel que tout sous-espace deE admette un supplé- mentaire stable parf. Que peut-on dire def ? Réciproque ?
Exercice 126. Sous-espaces stables, Centrale MP 2003 Soit f ∈ L(R3) ayant pour matrice M =
1 1 1 1 1 1
−1 1 1
!
dans la base canonique de R3. Déterminer les sous-espaces deR3 stables parf.
Exercice 127. Mines 2017
SoitE unR-espace vectoriel de dimension finie n, et f ∈ L(E). Montrez que f est diagonalisable si et seulement s’il existeH1, . . . , Hn des hyperplans deE stables parf tels que Tn
i=1Hi={0}.
Trigonalisation Exercice 128. AB= 0
Soient A, B∈ Mn(C) telles queAB= 0. Montrer queAetB sont simultanément trigonalisables.
Exercice 129. Produit de matrices nilpotentes
Soient A1, . . . , An∈ Mn(K) nilpotentes et commutant deux à deux. Montrer queA1. . . An = 0.
Exercice 130. Matrices nilpotentes
SoitA∈ Mn(C). Montrer queAest nilpotente si et seulement si pour toutk∈N∗ on a tr(Ak) = 0.
Exercice 131. Mines MP 2003
SoitEun ev de dimension finie et (un) une suite d’endomorphismes diagonalisables convergeant vers un endomorphismeu. uest-il diagonalisable ?
Exercice 132. Mines-Ponts MP 2005
On donne une matrice carrée réelleM d’ordrennon inversible. Soientα, βles multiplicités de zéro dans χM etµM. Montrer que dim(KerM) =αsi et seulement siβ = 1.
Exercice 133. ENS 2014
SoitKun corps fini. Les matrices deMn(K) sont-elles toutes diagonalisables ? Sinon, trigonalisables ?
Divers Exercice 134. kg−idk<1, Ulm MP 2012
Soitk k une norme d’algèbre sur Mn(R). SoitGun sous-groupe de GLn(R) tel que pour toutg ∈G: kg−idk<1. Montrer queGest réduit à{id}.
Exercice 135. Matrices nilpotentes, Mines MP 2012
Déterminer le sous-espace vectoriel de Mn(K) engendré par les matrices nilpotentes.
Exercice 136. Ens Lyon MP 2012
Soient S, R∈GLn(C) telles queS2=R3=In et RS=SR−1. Montrer queS et Rsont simultanément diagonalisables par blocs, avec des blocs de taille 1 ou 2.
Exercice 137. Rangs itérés, ULC 2010
SoitV unC-espace vectoriel de dimensiondet f ∈ L(V).
1) Montrer que la suite (rg(fn)) converge. On noter(f) sa limite.
2) Montrer que sif◦g=g◦f alorsr(f+g)6r(f) +r(g). Trouver un contre-exemple sig◦f 6=f◦g.
3) Exprimerr(f) à partir du polynôme caractéristique def.
