Réduction des endomorphismes

(1)

Réduction des endomorphismes

ESNAULT Caroline et BOUGET Hélène

Définitions et exemple Applications

Calcul de la puissance d’une matrice Résolution d’un système de suites récurrentes Système différentiel linéaire

Réduction des endomorphismes

30/03/12

(2)

1 Définitions et exemple

2 Applications

Calcul de la puissance d’une matrice

Résolution d’un système de suites récurrentes Système différentiel linéaire

(3)

1 Définitions et exemple

2 Applications

Calcul de la puissance d’une matrice

Résolution d’un système de suites récurrentes Système différentiel linéaire

(4)

Calcul du polynôme caractéristique

Soitf ∈End(E), f :R² →R². A=

1 −1

2 4

On a :

Pf(λ) =det(f −λid) =

1−λ −1 2 4−λ

=λ²−5λ+6= (λ−2)(λ−3)

(5)

Calcul du polynôme caractéristique

Soitf ∈End(E), f :R² →R². A=

1 −1

2 4

On a :

Pf(λ) =det(f −λid) =

1−λ −1 2 4−λ

=λ²−5λ+6= (λ−2)(λ−3)

(6)

Matrice diagonale

Propriété.

Soit A∈M_n(K) et SpA={λ₁,· · · , λn} alors : TrA=

n

X

i=1

λ_i

On obtient,

D =

2 0 0 3

(7)

Matrice diagonale

Propriété.

Soit A∈M_n(K) et SpA={λ₁,· · · , λn} alors : TrA=

n

X

i=1

λ_i

On obtient,

D =

2 0 0 3

(8)

Théorème.

f ∈End(E) est diagonalisable ⇐⇒ ∃une base de E formée de vecteurs propres.

(9)

Calcul des vecteurs propres

Calcul de v₁.

Résoudref(v₁) =λ1v₁ 1 −1

2 4

x y

= 0

0

Doncv₁= 1

−1

Calcul de v2.

Résoudref(v₂) =λ2v₂. Doncv₂=

1

−2

.

(10)

Calcul des vecteurs propres

Calcul de v₁.

Résoudref(v₁) =λ1v₁ 1 −1

2 4

x y

= 0

0

Doncv₁= 1

−1

Calcul de v₂.

Résoudref(v₂) =λ2v₂. Doncv₂=

1

−2

.

(11)

Matrice de passage : P =

1 1

−1 −2

A et D sont liés par la relation : A=PDP⁻¹

(12)

Matrice de passage : P =

1 1

−1 −2

A et D sont liés par la relation : A=PDP⁻¹

(13)

Puissance d’une matrice

Proposition.

A^k = (PDP⁻¹)(PDP⁻¹)· · ·(PDP⁻¹)

| {z }

k−fois

=P(D)^kP⁻¹

A^k =P







λ^k₁ 0 . ..

0 λ^k_n





P⁻¹ Avec

D =







λ1 0

. ..

0 λ_n







(14)

Calcul de la puissance de la matrice A

Exemple.

Aⁿ=

1 1

−1 −2

2ⁿ 0 0 3ⁿ

2 1

−1 −1

=

2ⁿ⁺¹−3ⁿ 2ⁿ⁺¹−2·3ⁿ

−2ⁿ+3ⁿ −2ⁿ+2·3ⁿ

(15)

Résolution d’un système de suites récurrentes

Exemple.

Soit (

u_n+1 =u_n−v_n

v_n+1 =2u_n+4v_n et

(u₀ =2 v₀ =1

On pose

X_n= u_n

v_n

alors X_n+1=AX_n d’où par récurrence : X_n=AⁿX₀

Donc (

u_n=3.2ⁿ⁺¹−4.3ⁿ v_n=−3.2ⁿ+4.3ⁿ

(16)

Résolution d’un système de suites récurrentes

Exemple.

Soit (

u_n+1 =u_n−v_n

v_n+1 =2u_n+4v_n et

(u₀ =2 v₀ =1 On pose

X_n= u_n

v_n

Donc (

u_n=3.2ⁿ⁺¹−4.3ⁿ v_n=−3.2ⁿ+4.3ⁿ

(17)

Résolution d’un système de suites récurrentes

Exemple.

Soit (

u_n+1 =u_n−v_n

v_n+1 =2u_n+4v_n et

(u₀ =2 v₀ =1 On pose

X_n= u_n

v_n

Donc (

u_n=3.2ⁿ⁺¹−4.3ⁿ v_n=−3.2ⁿ+4.3ⁿ

(18)

Système différentiel

Exemple.

Soit le système





 dx dt = −1

10x+10y dy

dt = −1

10x+ −1 10y

(19)

Solutions du système

-0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Figure:Représentation graphique des solutions du système

(20)

Joseph Grifone, 2011 Algèbre linéaire