Synthèse Réduction des endomorphismes

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Synthèse Réduction des endomorphismes

0.1 Eléments propres

0.1.1 Valeurs propres et vecteurs propres

Définitions 0.1.

Soitf ∈L_(E).

1. On dit qu’un réelλest une valeur propre de l’endomorphisme f ssi il existe un vecteurx∈E tel que x6=0E et f(x)=λx. Un vecteurxvérifiant cette égalité est appelé un vecteur propre def associé à la valeur propreλ. 2. SoitA∈M_n(R). On dit qu’un réelλest une valeur propre de la matriceAssi il existeX∈M_n,1(R) tel queX6=0 et

AX=λX. Un vecteur colonneXvérifiant cette égalité est appelé un vecteur propre deAassocié à la valeur propre λ.

3. L’ensemble des valeurs propres d’un endomorphisme ou d’une matrice est appelé spectre et est parfois notéSp(f) ouSp(A).

Remarque.

On notera queAX=λXest équivalent à (A−λI)X=0.

Propriétés 0.1.

Soient f∈L_(E),Bune base de E et A=M_{B(f).Alors :}

1. λest une valeur propre de f ssiλest une valeur propre de A.

2. x∈E est un vecteur propre de f associé àλssi le vecteur colonne associé à x dans la baseBest un vecteur propre de A associé à la valeur propreλ.

Remarque.

Ainsi chercher les valeurs propres d’un endomorphisme ou de sa matrice dans une base donnée revient au même ! Théorème 0.2.

Le réelλest valeur propre de A ssi la matrice A−λI n’est pas inversible.

Le réelλest valeur propre de f ssi f−λI dE n’est pas injectif⇔f−λI dEn’est pas bijectif .

Corollaire 0.3.

1. Soit f∈L_(E).0est une valeur propre de f ssi f n’est pas bijective.

2. Soit A∈M_{n(R). 0}est une valeur propre de A ssi A n’est pas inversible.

Propriété 0.4(Valeurs propres d’une matrice triangulaire).

Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont les éléments de sa diagonale.

0.1.2 Base de vecteurs propres

On rappelle queEest un ev de dimension finien.

Théorème 0.5. Soient f ∈L_(E),λ₁, . . . ,λ_p des valeurs propres distinctes de f et u1, . . . ,up (p≤n) des vecteurs propres associés. Alors(u1, . . . ,up)est une famille libre de E.

Synthese5 1

Corollaire 0.6.

Siλ₁, . . . ,λ_nsont n valeurs propres distinctes et si u1, . . . ,unsont des vecteurs propres associés à ces valeurs propres alors la famille(u1, . . . ,un)est une base de E . On dit que c’est une base de vecteurs propres.

Corollaire 0.7.

Un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension n admet au plus n valeurs propres distinctes.

Il existe évidemment la version matricielle de ces propriétés : Propriété 0.8.

Soient A∈M_n(R),^λ_{1, . . . ,}^λ_p des valeurs propres distinctes de A et X1, . . . ,Xp des vecteurs propres colonne associés. Alors (X1, ...,Xp)est une famille libre deM_n,1(R)et donc A admet au plus n valeurs propres.

0.1.3 Polynômes annulateurs

Définition 0.2(Polynôme annulateur).

SoientP∈R[X] etf ∈L_(E). On dit quePest un polynôme annulateur def ssiP(f)=0E,E

SoientA∈M_{n(R) etP}∈R[X] . SiP(A)=0, on dit quePest un polynôme annulateur deA.

Théorème 0.9.

1. Soit f ∈L_(E), et P un polynôme annulateur de f.Alors toute valeur propre de f est une racine de P. 2. Si A∈M_n(R)et si P est un polynôme annulateur de A alors toute valeur propre de A est une racine de P.

Remarque.

Attention toutes les racines d’un polynôme annulateur ne sont pas forcément des valeurs propres ! ! ! Un fois que l’on a trouvé des valeurs propres possible il faut essayer de résoudref(x)=λxouAX=λX.

0.1.4 Méthodes pour trouver les valeurs propres d’une matrice

Si on ne vous donne aucune indication (aucune valeur propre, aucun vecteur propre, aucun polynôme annulateur), pour trouver les valeurs propres d’une matriceA∈M_n(R) il existe deux méthodes :

-Méthode par système :

On cherche lesλ∈Rtels que le systèmeAX=λXadmet une infinité de solution.

Il s’agit donc ici de résoudre un système à paramètre et de discuter suivant les valeurs deλle nombre de solution de ce système. Les valeurs deλpour lesquelles le système admet une infinité de solution sont les valeurs propres.

-Méthode matricielle :

Cette méthode est basée sur le théorème0.2. Il faut commencer par calculerA−λIn oùλest un réel dont on ne connait pas la valeur puis appliquer le pivot de Gauss à cette matrice pour la mettre sous forme triangulaire.

On regarde alors les coefficients diagonaux et les valeurs propres sont les valeurs deλqui font qu’un des coefficients diago- naux est nul.

Voir la fiche sur les valeurs propres : méthode 1.

0.1.5 Déterminer une base des sous-espaces propres d’une matrice

Un fois que l’on a trouvé les valeurs propres, on ne peut pas donner tous les vecteurs propres car il en existe une infinité. La suite du travail consiste le plus souvent à donner une base des sous-espaces propres associés aux valeurs propres que l’on a trouvé.

Synthese5 2

0.2 Théorèmes de réduction

0.2.1 Matrice ou endomorphisme diagonalisable

Définition 0.3.

1. Soitf ∈L(E). On dit quef est diagonalisable ssi il existe une base deEformée de vecteurs propres def.

2. SoitA∈M_n(R). On dit queAest une matrice diagonalisable ssi il existe une matricePinversible et une matriceD diagonale telles queA=P DP⁻¹.

Théorème 0.10.

Un endomorphisme f est diagonalisable ssi il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale.

Remarque.

Si la matrice est diagonalisable :

construction deD: on place les valeurs propres trouvées sur la diagonale.

Construction deP : on place en colonne les vecteurs propres associés (faire attention à les mettre dans le même ordre respectif ) aux valeurs propres trouvées.

0.2.2 Les théorèmes

On rapelle queEest un ev de dimension finien. Théorème 0.11.

Soit f∈L_{(E)(resp. A}∈M_n(R)). On noteλ₁, . . . ,λ_ktoutes les valeurs propres distinctes de f (resp. de A). Alors on a : f (resp.

A) est diagonalisable⇔

k

X

i=0

di m(Eλ_i)=n " f (resp. A) est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres vaut n."

Remarque.

Ce théorème permettra toujours de répondre à la question f (ou A) est-il diagonalisable. Il existe un cas particulier qui permet parfois de répondre à cette même question plus rapidement.

Théorème 0.12.

1. Soit f∈L_(E). Si f admet n valeurs propres distinctes alors f est diagonalisable.

2. Soit A∈M_n(R). Si A admet n valeurs propres distinctes alors A est diagonalisable.

Remarque.

Cas particulier : s’il n’y a qu’une seule valeur propreλ, l’endomorphisme n’est pas diagonalisable. On le démontre par l’absurde :

sif diagonalisable alors il existe une matriceDdiagonale et une matricePinversible telles que la matriceA(associée àf), vérifie :A=P DP⁻¹=P(λI)P⁻¹=(λI) ce qui est absurde.

0.2.3 Matrices symétriques

Définition 0.4.

Une matrice carréeA=(ai j)∈Mn(R) est ditesymétriquesi^tA=A. Propriétés 0.13.

• In∈S_n(R).

• Si A,B∈S_n(R)(respAS_n(R)),A+B∈S_n(R)(respAS_n(R)).

• Soient A et B symétriques et commutent alors : AB∈S_n(R).

• Si A est symétrique, alors∀n∈N^∗,Aⁿest symétrique.

• si A et B symétriques et commutent alors AB est symétrique.

Synthese5 3

Théorème 0.14.

Toute matrice symétrique est diagonalisable.

0.2.4 Cas des matrices carrées d’ordre 2

Soit une matrice carrée d’ordre 2,A= µa b

c d

¶

∈M_2(R).

Propriétés 0.15.

1. A est inversible ssi ad−bc6=0et dans ce cas A⁻¹= 1 ad−bc

µd −b

−c a

¶ . 2. Le polynôme P=X²−(a+d)X+ad−bc est un polynôme annulateur de A.

3. Si A a des valeurs propres, alors elles sont racines de l’équation : x²−(a+d)x+ad−bc=0

Voir la fiche sur les valeurs propres : méthode 2.

0.2.5 Puissances de matrices

Objectif : On se donne une matrice carréeA∈M_n(R).

On cherche à expliciter la matriceAⁿquelque soitn∈N.

Principe de la méthode :

A l’aide de la méthode de réduction on détermine une matriceB∈M_n(R) semblable à la matriceAtelles queB=P⁻¹AP⇔ A=P BP⁻¹.

La matriceB étant généralement diagonale ou (au pire) triangulaire, les puissances de la matrice B sont relativement simples à déterminer.

On utilise alors le résultat général (démontré par récurrence) suivant : siA=P BP⁻¹alors pour toutn∈N,Aⁿ=P BⁿP⁻¹.

0.2.6 Etude du commutant d’une matrice carrée

Objectif : On se donne une matrice carréeA∈M_n(R).

On cherche à étudier (base et dimension) l’espace vectorielCA={M∈M_n(R)/AM=M A}.

Principe de la méthode :

A l’aide de la méthode de réduction on détermine une matriceB∈M_n(R) semblable à la matriceAtelles queB=P⁻¹AP⇔ A=P BP⁻¹.

La matriceBétant généralement diagonale ou (au pire) triangulaire, il est généralement (plus) simple d’étudier le commu- tant de la matriceB:

CB={M∈M_{n(R)/B M}=MB}.

Pour cela, il faut poser le problème matriciel et résoudre le système associé à l’équationB M=MB.

On utilise alors le résultat général suivant : M∈CA⇔N=P⁻¹MP∈CB.

Après avoir caractériséCBen explicitant une base, notée (N1,N2, ...,Np) l’équivalence ci-dessus permet de caractériserCA, puisqu’alors :

CA=V ect(P N1P⁻¹,P N2P⁻¹, . . . ,P NpP⁻¹).

Voir la fiche : Commutant de matrice.

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