Réduction des endomorphismes et des matrices
Table des matières
1 Valeurs et vecteurs propres d’un endomorphisme 2
1.1 Définitions . . . 2
1.2 Valeurs propres distinctes . . . 4
1.3 Valeurs propres et polynômes annulateurs . . . 4
2 Réduction des endomorphismes 6 2.1 Endomorphismes diagonalisables . . . 6
2.2 Diagonalisation : une condition nécessaire et suffisante . . . 7
2.3 Diagonalisation : une condition suffisante . . . 8
3 Diagonalisation des matrices carrées 8 3.1 Valeurs propres et vecteurs colonnes propres d’une matrice . . . 8
3.2 Valeurs propres et polynômes annulateurs . . . 11
3.3 Matrice diagonalisable . . . 11
3.3.1 Diagonalisation : une condition nécessaire et suffisante . . . 12
3.3.2 Diagonalisation : une condition suffisante . . . 13
3.3.3 Lien avec la représentation matricielle d’un endomorphisme diagonalisable . . . 13
3.3.4 Matrices carrées n’ayant qu’une seule valeur propre . . . 14
3.3.5 Matrices symétriques . . . 14
4 Applications de la réduction 15 4.1 Calcul de la puissance nieme d’une matrice . . . 15
4.2 Calcul de la puissance nieme d’une matrice diagonalisable . . . 15
4.3 Suites récurrentes linéaires croisées . . . 15
4.4 Introduction aux chaînes de Markov . . . 16
1
Dans tout ce chapitre, E est unR-espace vectoriel de dimension finie non nulle n.
1 Valeurs et vecteurs propres d’un endomorphisme
1.1 Définitions
Définition 1.1 : Vecteur propre, valeur propre
Soitu∈ L(E), λ∈R est dit valeur propre deu s’il existex∈E non nul tel que u(x) =λx.
Un tel vecteurx est alors appelé vecteur propre deu associé à la valeur propre λ.
Remarque 1.2
La condition x6= 0 est essentielle, autrement n’importe quel λserait valeur propre et nous n’aurions rien défini.
Définition 1.3 : Spectre d’un endomorphisme
Soitu∈ L(E), on appelle spectre de u l’ensemble de ses valeurs propres Sp(u) ={λ∈R| ∃x∈E non nul,u(x) =λx}.
Exemple 1. 0 est la seule valeur propre de l’endomorphisme nul. L’identité n’a que 1 pour valeur propre.
Définition 1.4 : Sous-espace propre
Soitu∈ L(E) etλune valeur propre de u. On appelle sous-espace propre deu associé à la valeur propre deλl’ensemble Eλ(u) défini par
Eλ(u) ={x∈E|u(x) =λx}= Ker(u−λ Id).
Le sous-espace propreEλ(u) est un sous-espace vectoriel deE.
Remarque 1.5
• Eλ(u) est l’ensemble des vecteurs propres deu associés à la valeur propre λauquel on ajoute le vecteur nul.
• CommeEλ(u) contient au moins un vecteur non nul, on a 1≤dim(Eλ(u))≤dim(E).
Proposition 1.6 : Caractérisation des valeurs propres Soitu∈ L(E)
Démonstration. On a
λest valeur propre de u ⇔ ∃x∈E non nul tel que u(x) =λx
⇔ ∃x∈E non nul tel que (u−λ Id)x= 0E
⇔ Ker(u−λ Id)6={0E}
⇔ u−λ Id n’est pas injective
⇔ u−λ Id n’est pas bijective.
Corollaire 1.7 : Caractérisation d’un automorphisme Soitu∈ L(E)
0 n’est pas valeur propre de u ⇔ u est bijective.
Proposition 1.8 : Caractérisation des valeurs propres Soientu∈ L(E) et B une base deE,
λest valeur propre de u ⇔ MatB(u−λ Id) n’est pas inversible.
Démonstration. On a facilement
λest valeur propre de u ⇔ u−λ Idn’est pas bijective.
⇔ MatB(u−λ Id) n’est pas inversible.
Méthode 1.9 : Comment déterminer les valeurs propres d’un endomorphisme ?
Soient u ∈ L(E) et B une base de E. Il faut chercher les réels λ tels que MatB(u−λ Id) ne soit pas inversible.
Exemple 2. Considérons l’endomorphisme u de R3 défini par u:R3 → R3
a b c
7→
b a+c
b
Remarque 1.10 : Très important !
On ne peut multiplier une ligne par une expression dépendant deλ(cette expression pourrait être nulle !).
Méthode 1.11 : Comment déterminer les sous-espaces propres d’un endomorphisme ?
Pour déterminer le sous-espace propreEλ(u) deu associé à la valeur propreλ, on cherche l’ensemble des vecteurs x∈E vérifiantu(x) =λx.
3
Exemple 3. Reprenons l’exemple précédent
u:R3 → R3
a b c
7→
b a+c
b
Déterminer le sous-espace propreE√2(u) de u associé à la valeur propre√ 2.
1.2 Valeurs propres distinctes
Proposition 1.12 : Famille libre de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes
Soitu∈ L(E),λ1, λ2, . . . , λp des valeurs propres deu deux à deux distinctes etx1, x2, . . . , xp des vecteurs propres associés. Alors la famille (x1, x2, . . . , xp) est une famille libre.
Démonstration. La démonstration de cette proposition est admise.
Corollaire 1.13
Soitu∈ L(E), λ1, λ2, . . . , λp des valeurs propres deu deux à deux distinctes et B1,B2, . . .Bp des bases deEλ1(u), Eλ2(u), . . . Eλp(u). La famille obtenue en concaténant (c’est-à-dire en juxtaposant) les bases B1,B2, . . .Bp est une famille libre.
En particulier,
p
X
i=1
dim (Eλi(u))≤dim(E).
Démonstration. La démonstration de ce corollaire est admise.
Proposition 1.14 : Nombre maximal de valeurs propres
Tout endomorphisme d’un espace de dimensionn a au plusnvaleurs propres.
1.3 Valeurs propres et polynômes annulateurs
Définition 1.15 : Rappel : polynôme d’endomorphisme SoitP(X) =
r
X
i=0
aiXi un polynôme deR[X], alors pouru∈ L(E), l’écritureP(u) représentera l’endomor- phisme
P(u) =
r
X
i=0
aiui ∈ L(E).
Remarque 1.16
On rappelle que l’endomorphismeui est la composée de u avec lui-même répétéifois.
Définition 1.17 : Rappel : polynôme annulateur
On dit que le polynômeP ∈R[X] est annulateur deu si P(u) = 0.
Exemple 4. Considérons l’espace vectoriel R3[X]des polynômes de degré au plus 3. Considérons l’endo- morphisme u défini par
u:R3[X] → R3[X]
P 7→ u(P)(X) =P(X) +P(−X) Montrer que X2−2X est un polynôme annulateur de l’endomorphisme u.
Proposition 1.18 : Puissance d’endomorphisme et vecteur propre
Soientu∈ L(E) etk∈N, siλest une valeur propre de uet xun vecteur propre de u associé à λ, alors uk(x) =λkx.
Démonstration. Pour k∈N, soitP(k) la proposition : " uk(x) =λkx " .
Initialisation :u0(x) =Id(x) =x qui est bien égal àλ0x=x, donc P(0) est vraie.
Hérédité : On suppose P(k) vraie pour un k∈Nfixé.
Montrons queP(k+ 1)est vraie c’est-à-dire "uk+1(x) =λk+1x ".
uk+1(x) =u(uk(x)) =u(λkx) =λλkx=λk+1x.
DoncP(k+ 1) est vraie.
Conclusion : D’après le principe de récurrence, on a : pour toutk∈N,uk(x) =λkx.
Proposition 1.19 : Recherche de valeurs propres
Soitu∈ L(E) admettant un polynôme P comme polynôme annulateur.
λest une valeur propre de u ⇒ P(λ) = 0.
Démonstration. Soient λune valeur propre deu etx un vecteur propre deu associé àλ. NotonsP(X) = Pp
k=0akXk, on a
P(u)(x) =
p
X
k=0
akuk
! (x) =
p
X
k=0
akuk(x) =
p
X
k=0
akλkx=
p
X
k=0
akλk
!
x=P(λ)x.
Remarque 1.20 : Important !
Attention, les valeurs propres de u sont racines du polynôme annulateur P, cependant les racines du polynômeP ne sont pas forcément des valeurs propres de u.
Exemple 5. Pour u=Id, X2−X est un polynôme annulateur de u. X2−X admet 0 et1pour racines, or u a pour unique valeur propre 1, 0 n’est pas une valeur propre de u.
Remarque 1.21 : Valeurs propres possibles parmi les racines du polynôme annulateur C’est la contraposée de la proposition précédente qui est intéressante :
λn’est pas une racine deP ⇒ λn’est pas une valeur propre deu.
Les racines de P donnent donc les valeurs propres possibles deu.
5
Remarque 1.21 :Valeurs propres possibles parmi les racines du polynôme annulateur C’est la contraposée de la proposition précédente qui est intéressante :
λn’est pas une racine deP ⇒ λn’est pas une valeur propre de u.
Les racines de P donnent donc les valeurs propres possibles deu.
Méthode 1.22 : Comment déterminer les valeurs propres d’un endomorphisme à l’aide d’un polynôme annulateur ?
Soitu∈ L(E) etP un polynôme annulateur deu. On détermine les racines de P et les valeurs propres de usont à chercher parmi ces racines.
Exemple 6. Soit u∈ L(R3[X]) tel que
u:R3[X] → R3[X]
P 7→ u(P)(X) =P(X) +P(−X)
On a vu que u admet X2−2X=X(X−2) comme polynôme annulateur. Les seules valeurs propres possible deu sont donc 0 et 2. Montrons que 0 et 2 sont bien valeurs propres deu.
2 Réduction des endomorphismes
2.1 Endomorphismes diagonalisables
Définition 2.1 : Endomorphisme diagonalisable
Un endomorphismeu est dit diagonalisable s’il existe une base deE formée de vecteurs propres deu.
Exemple 7. Si u∈ L(E) est définie par x7→kx avec k∈R∗. L’endomorphisme u est appelé homothétie de rapport k, toute base de E est constitué de vecteurs propres et u est donc diagonalisable.
Remarque 2.2 : Représentation matricielle d’un endomorphisme diagonalisable
Dans une baseB= (x1, x2, . . . , xn) constituée de vecteurs propres de u, la représentation matricielle deu est une matrice diagonale.
MatB(u) =
u(x1) u(x2) . . . u(xn)
λ1 0 . . . 0 x1
0 λ2 . .. ... x2
... . .. . .. 0 ...
0 . . . 0 λn xn
Proposition 2.3 : Représentation matricielle d’un endomorphisme diagonalisable Soitu∈ L(E), on a alors l’équivalence
Il existe une baseB de E telle que MatB(u) est diagonale ⇔ uest diagonalisable.
Remarque 2.4 : Tous les endomorphismes ne sont pas diagonalisables Attention, il existe des endomorphismes qui ne sont pas diagonalisables.
Exemple 8. Considérons l’espace vectoriel R1[X]des polynômes de degré au plus 1. Considérons l’endo- morphisme u défini par
u:R1[X] → R1[X]
P 7→ u(P)(X) =P0(X) L’endomorphismeu est-il diagonalisable ?
2.2 Diagonalisation : une condition nécessaire et suffisante
Théorème 2.5 : Diagonalisation : une condition nécessaire et suffisante Soitu∈ L(E) dont les valeurs propres sont λ1, . . . , λp. On a alors l’équivalence
p
X
i=1
dim(Eλi(u)) = dim(E) ⇔ u est diagonalisable.
Méthode 2.6 : Comment déterminer si un endomorphisme est diagonalisable ?
Soitu∈ L(E) etE de dimensionn. On détermine les valeurs propres deu. Si ua p valeurs propres (avec p < n), on détermine les sous-espaces propresEλ1(u), . . . , Eλp(u), puis on calcule
p
X
i=1
dim(Eλi(u)).
Exemple 9. Reprenons l’exemple précédent
u:R3[X] → R3[X]
P 7→ u(P)(X) =P(X) +P(−X) On a déjà vu que Sp(u) ={0,2}. Déterminons les sous-espaces propres de u.
7
2.3 Diagonalisation : une condition suffisante
Théorème 2.7 : Diagonalisation : une condition suffisante
Soitu∈ L(E) un endomorphisme d’un espace de dimension n. On a alors l’implication u possèden valeurs propres distinctes ⇒ u est diagonalisable.
Dans ce cas, tous les sous-espaces propres deu sont de dimension 1.
Remarque 2.8 : Important !
La réciproque est fausse. En effet, soit E un espace vectoriel de dimension n≥2, 1 est la seule valeur propre deIdE, or IdE est diagonalisable. Avoirn valeurs propres distinctes n’est donc pas une condition nécessaire pour queu soit diagonalisable.
Méthode 2.9 :Comment déterminer si un endomorphisme est diagonalisable avec la condition suffisante ? Soitu∈ L(E) etE de dimension n. On détermine les valeurs propres de u. Siu a exactementnvaleurs propres, alors on peut conclure directement queuest diagonalisable sans avoir à calculer la dimension des sous-espaces propres.
Exemple 10. L’endomorphisme u de R3 (de dimension 3) défini par u:R3 → R3
a b c
7→
b a+c
b
.
On a vu que Sp(u) ={−√ 2,0,√
2}, l’endomorphismeu de R3 a exactement3 valeurs propres, donc u est diagonalisable.
3 Diagonalisation des matrices carrées
Nous reprenons ce qui a été dit à propos des valeurs et vecteurs propres dans le cadre des matrices carrées.
3.1 Valeurs propres et vecteurs colonnes propres d’une matrice
Définition 3.1 : Vecteur colonne propre, valeur propre
SoitA∈ Mn(R), λ∈Rest dit valeur propre deA s’il existe un vecteur colonne X ∈ Mn,1(R) non nul tel que
AX =λX.
Un tel vecteur colonne X est alors appelé vecteur propre deA associé à la valeur propreλ.
Définition 3.2 : Spectre d’une matrice
SoitA∈ Mn(R), on appelle spectre de Al’ensemble de ses valeurs propres Sp(A) ={λ∈R| ∃X ∈ Mn,1(R) non nul,AX =λX}.
Exemple 11. Soit A =
3 1 1 1 3 1 1 1 3
. Montrer que
1
−1 0
est un vecteur propre de A associé à la valeur propre2.
Définition 3.3 : Sous-espace propre
Soit A∈ Mn(R) et λ une valeur propre de A. On appelle sous-espace propre de A associé à la valeur propre deλl’ensemble Eλ(A) défini par
Eλ(A) ={X ∈ Mn,1(R)|AX=λX}.
Eλ(A) est un sous-espace vectoriel deMn,1(R).
Méthode 3.4 : Comment déterminer les sous-espaces propres d’une matrice ?
Pour déterminer le sous-espace propreEλ(A) deA associé à la valeur propre λ, on cherche l’ensemble des vecteurs X∈ Mn,1(R) vérifiant
AX=λX
En pratique, on chercheraX ∈ Mn,1(R) tel que (A−λIn)X = 0.
Exemple 12. Reprenons la matrice A=
3 1 1 1 3 1 1 1 3
. Déterminer une base deE2(A).
Proposition 3.5 : Lien avec la représentation matricielle d’un endomorphisme Soientu∈ L(E) et B une base deE tels que
A= MatB(u).
Alors
λest valeur propre de u ⇔ λest valeur propre de A.
x∈E vecteur propre de uassocié à λ ⇔ X = MatB(x) vecteur propre de Aassocié à λ.
Démonstration.
λest valeur propre de u ⇔ ∃x∈E non nul tel que u(x) =λx
⇔ ∃x∈E non nul tel que MatB(u(x)) =λMatB(x)
⇔ ∃x∈E non nul tel que MatB(u) MatB(x) =λMatB(x)
⇔ ∃X∈ Mn,1(R) non nul tel queAX =λX
⇔ λest valeur propre de A.
Remarque 3.6
Cette proposition est souvent utilisée dans le cas oùu est l’endomorphisme deRncanoniquement associé àA∈ Mn(R) : A= MatB
Rn(u) avec BRn la base canonique deRn. 9
Remarque 3.6
Cette proposition est souvent utilisée dans le cas oùu est l’endomorphisme deRn canoniquement associé à A∈ Mn(R) : A= MatB
Rn(u) avec BRn la base canonique de Rn.
Proposition 3.7 : Caractérisation des valeurs propres SoitA∈ Mn(R)
λest valeur propre de A ⇔ A−λIn n’est pas inversible.
Démonstration. Soit u l’endomorphisme deRn canoniquement associé à A∈ Mn(R), on a alors λest valeur propre de A ⇔ λest valeur propre de u
⇔ u−λ Id n’est pas bijective.
⇔ A−λ Inn’est pas inversible.
Corollaire 3.8 : Caractérisation de l’inversibilité d’une matrice SoitA∈ Mn(R)
0 n’est pas valeur propre deA ⇔ Aest inversible.
Corollaire 3.9 : Valeurs propres d’une matrice triangulaire
Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont ses coefficients diagonaux.
Démonstration. Soit A une matrice triangulaire supérieure deMn(R),
A=
a1,1 a1,2 . . . a1,n 0 a2,2 . .. ...
... . .. ... an−1,n
0 . . . 0 an,n
On a
A−λIn=
a1,1−λ a1,2 . . . a1,n 0 a2,2−λ . .. ...
... . .. . .. an−1,n
0 . . . 0 an,n−λ
A−λIn n’est pas inversible si et seulement si l’un de ses coefficients diagonaux est nul, donc qu’il existe un entier i∈[[1, n]] tel que λ=ai. Les valeurs propres de A sont donc les scalairesa1,1, a2,2, . . . , an,n.
La démonstration est analogue pour une matrice triangulaire inférieure.
Exemple 13. Soit la matrice A=
1 2 3 0 4 5
. Déterminer les valeurs propres deA.
Méthode 3.10 :Comment déterminer les valeurs propres d’une matrice ?
Soit A ∈ Mn(R). Il faut chercher les réels λ tels que A−λIn ne soit pas inversible. On effectue des opérations sur les lignes et sur les colonnes pour obtenir une matrice triangulaire.
Exemple 14. Reprenons la matrice A=
3 1 1 1 3 1 1 1 3
. Déterminer les valeurs propres deA.
Proposition 3.11 : Nombre maximal de valeurs propres Toute matrice de Mn(R) a au plus nvaleurs propres.
3.2 Valeurs propres et polynômes annulateurs
Proposition 3.12 : Recherche de valeurs propres
SoitA∈ Mn(R) admettant un polynômeP comme polynôme annulateur.
Siλest une valeur propre de A, alorsP(λ) = 0.
Remarque 3.13 : Important !
Les valeurs propres deA sont racines du polynôme annulateurP, cependant les racines du polynômeP ne sont pas forcément des valeurs propres deA.
Exemple 15. Soit la matrice A= 0 1 1 0
!
,P(X) =X(X2−1)est un polynôme annulateur de A. Mais0 n’est pas une valeur propre de A, car la matrice A est inversible.
Méthode 3.14 : Comment déterminer les valeurs propres d’une matrice à l’aide d’un polynôme annula- teur ?
SoitA∈ Mn(R) etP un polynôme annulateur de A. On détermine les racines deP et les valeurs propres deA sont à chercher parmi ces racines.
Exemple 16. Soit la matrice A =
2 −2 1
2 −3 2
−1 2 0
. Vérifier que le polynôme P(X) = X2 + 2X−3 est annulateur de A, puis déterminer les valeurs propres de A.
3.3 Matrice diagonalisable
Définition 3.15 : Matrice diagonalisable
Une matriceA∈ Mn(R) est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale. Autrement dit, s’il existe une matrice inversibleP ∈ Mn(R) telle que
P−1AP =Dsoit diagonale.
11
Proposition 3.16 : Caractéristiques de ces matrices La diagonale deD est constituée des valeurs propres deA.
Les colonnes deP forment une base deMn,1(R) constituée de vecteurs colonnes propres deA.
3.3.1 Diagonalisation : une condition nécessaire et suffisante Théorème 3.17 : Diagonalisation : une condition nécessaire et suffisante
SoitA∈ Mn(R) dont les valeurs propres sont λ1, . . . , λp. On a alors l’équivalence
p
X
i=1
dim(Eλi(A)) =n ⇔ Aest diagonalisable.
Méthode 3.18 : Comment déterminer si une matrice est diagonalisable ?
Soit A ∈ Mn(R), on détermine les valeurs propres de A. Si A a p valeurs propres (avec p < n), on détermine les sous-espaces propresEλ1(A), . . . , Eλp(A), puis on calcule
p
X
i=1
dim(Eλi(A)).
Exemple 17. Reprenons la matriceA=
3 1 1 1 3 1 1 1 3
. On a vu queSp(A) ={2,5}, ainsi quedim (E2(A)) = 2.
DéterminonsE5(A).
Méthode 3.19 : Comment déterminer les matrices P et D?
La détermination de ces matrices n’est possible que si toutes les valeurs propres deA ont été déterminées et si une base de chaque sous-espace propre est connue.
• Sur la diagonale deD, on inscrit chacune des valeurs propres autant de fois que la dimension de son sous-espace propre associé.
• Les colonnes de la matriceP sont les vecteurs des bases des sous-espaces propres et sont placés dans le même ordre que les valeurs propres auxquelles ils sont associés dansD.
Exemple 18. Reprenons la matrice A=
3 1 1 1 3 1 1 1 3
. On a vu que A est diagonalisable, ainsi que E2(A) =
Vect
−1 1 0
,
−1 0 1
et E5(A) = Vect
1 1 1
.
3.3.2 Diagonalisation : une condition suffisante
Théorème 3.20 : Diagonalisation : une condition suffisante SoitA∈ Mn(R), on a alors l’implication
A possèden valeurs propres distinctes ⇒ A est diagonalisable.
Dans ce cas, tous les sous-espaces propres deA sont de dimension 1.
Méthode 3.21 : Comment déterminer si une matrice est diagonalisable avec la condition suffisante ? SoitA∈ Mn(R), on détermine les valeurs propres deA. SiA a exactementn valeurs propres, alorsA est diagonalisable.
Exemple 19. Soit A=
−1 −1 1
0 0 1
0 0 1
, comme A est une matrice triangulaire supérieure, on a Sp(A) = {−1,0,1}. La matrice A∈ M3(R) a 3 valeurs propres, donc A est diagonalisable.
3.3.3 Lien avec la représentation matricielle d’un endomorphisme diagonalisable Proposition 3.22 : Lien avec la représentation matricielle d’un endomorphisme diagonalisable Soientu∈ L(E) et B1 une base de E (de dimension n) tels que
A= MatB1(u).
Alors,
u est diagonalisable ⇔ Aest diagonalisable.
Remarque 3.23 : Illustration de la proposition précédente
• Si u est diagonalisable, soit B2 une base de E constituée de vecteurs propres de u associés aux valeurs propres λ1, λ2, . . . , λp, on a
PB−1
1,B2APB1,B2 =
λ1 0 . . . 0 0 λ2 . .. ...
... . .. ... 0 0 . . . 0 λp
= MatB2(u)
• SiAest diagonalisable, il existe une matrice inversible P ∈ Mn(R) telle que
P−1AP =
λ1 0 . . . 0 0 λ2 . .. ...
... . .. ... 0 0 . . . 0 λp
On note B2 la base de E telle que P = PB1,B2. Cette base B2 est une base de E constituée de vecteurs propres deu associés aux valeurs propres λ1, λ2, . . . , λp.
13
3.3.4 Matrices carrées n’ayant qu’une seule valeur propre
Proposition 3.24 : Matrices avec une seule valeur propre (proposition hors programme) SoitA∈ Mn(R) telle que Aadmette une seule valeur propre λ.Alors
A est diagonalisable ⇔ A=λ In.
Démonstration. On suppose que Aadmette une seule valeur propre λ,
A est diagonalisable ⇔ ∃P tel queA=P (λ In)P−1
⇔ A=λ In
Remarque 3.25 : À savoir redémontrer
En pratique la proposition précédente permet de savoir d’avance que :
SiAest une matrice admettant une unique valeur propre λetA6=λIn, alorsA n’est pas diagonalisable.
On attend très souvent dans les exercices de concours que ce résultat soit redémontré, pour cela il faut faire un raisonnement par l’absurde.
Exemple 20. La matrice A suivante est-elle diagonalisable ?
A=
1 −5 12
0 1 1
0 0 1
.
3.3.5 Matrices symétriques
Définition 3.26 : Matrice symétrique
On dit qu’une matrice est symétrique si elle est égale à sa transposée.
Proposition 3.27 : Diagonalisation des matrices symétriques Toute matrice symétrique de Mn(R) est diagonalisable.
Démonstration. La démonstration de cette proposition est hors programme.
Exemple 21. On a facilement que la matrice symétrique A=
3 1 1 1 3 1 1 1 3
est diagonalisable.
Attention, ce résultat sur les matrices symétriques ne nous donne, ni les valeurs propres de A, ni les sous-espaces propres de A, ni les matrices P et D telles que A=P DP−1.
4 Applications de la réduction
4.1 Calcul de la puissance nieme d’une matrice Exemple 22. Soit A=
1 0 1 0 1 0 0 0 1
. Déterminer la valeur de An pour n∈N.
4.2 Calcul de la puissance nieme d’une matrice diagonalisable
Soit Aune matrice diagonalisable deMp(R). Il existe alors une matrice inversible P ∈ Mp(R) telle que
P−1AP =
λ1 0 . . . 0 0 λ2 . .. ...
... . .. ... 0 0 . . . 0 λp
Nous avons alors pour tout entier naturelk
An=P
λ1 0 . . . 0 0 λ2 . .. ...
... . .. ... 0 0 . . . 0 λp
n
P−1 =P
λn1 0 . . . 0 0 λn2 . .. ... ... . .. ... 0 0 . . . 0 λnp
P−1.
Exemple 23. Soit A= 2 2 1 3
!
. Déterminer la valeur de An pourn∈N.
4.3 Suites récurrentes linéaires croisées
Supposons avoir deux suites (un) et (vn) données par leur premier termeu0,v0 et aveca, b, c, d∈R
∀n∈N
(un+1=aun+cvn, vn+1=bun+dvn.
En posantA= a b c d
!
et le vecteur ligneYn=un vn
, les relations précédentes sont équivalentes à
∀n∈N, un+1 vn+1=un vn a b c d
!
⇐⇒ Yn+1 =YnA.
Méthode 4.1 : Comment déterminer(un) et(vn) suites récurrentes linéaires croisées ?
Par récurrence, nous obtenons Yn = Y0An. Il suffit donc de connaître An pour exprimer un et vn en fonction den,u0 etv0.
Exemple 24. Soient deux suites (un) et(vn) définies par u0= 1, v0= 0 et les relations
∀n∈N
(un+1= 2un+vn, vn+1= 2un+ 3vn. Déterminer la valeur de un et vn en fonction de n.
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4.4 Introduction aux chaînes de Markov
Exemple 25. Modèle de microcrédit.Le modèle suivant étudie le mécanisme du microcrédit dans une population d’emprunteurs. Dans ce modèle, les individus peuvent être dans deux états, l’état de demandeur d’un prêt (étatD) et celui de bénéficiaire d’un prêt (état B). On suppose que la seule sanction en cas de non remboursement est la perte du droit automatique à un nouveau prêt, droit qui, au contraire, est garanti au bénéficiaire lorsqu’il rembourse son prêt.
L’objectif est d’étudier l’effet de cette incitation (la garantie d’une reconduction automatique du prêt) sur le taux de remboursement et la répartition entre demandeurs et bénéficiaires au sein de la population. On suppose qu’un bénéficiaire qui investit l’argent emprunté dans une micro entreprise sera en mesure de rembourser son emprunt (et choisira de le rembourser effectivement) avec une probabilité 3/4 alors qu’il fera défaut avec une probabilité 1/4. En cas de défaut, il redevient simplement demandeur durant la période suivante. Comme demandeur, on suppose qu’il a une probabilité1/2 de se voir attribuer un prêt et une probabilité 1/2 de se le voir refuser. On suppose qu’il y a initialement autant de bénéficiaires que de demandeurs.
Déterminer la probabilité d’obtenir un prêt à l’instant n.
