ProgrammeS10_PC

Lycée Chrestien de Troyes-CPGE PC-mathématiques M. RHARIF Page 1

Programme colle S10

déterminant et début de la réduction

Déroulement de la colle :

Première partie : présentation d’une des questions à préparer ci-dessous en moins de 30 min (ne jouez pas la montre et soyez dynamiques).

Deuxième partie : un ou plusieurs exercices (programme ci-dessous).

Questions à préparer :

1. Exercice 4 du TD8 : E un -espace vectoriel . Soit f un endomorphisme de E et 𝑝𝜖ℕ^∗

1,..., _p

  p scalaires distincts deux à deux. Montrer que les noyaux des endomorphismes





2. DM6 correction prévue en classe le lundi 15/11 En utilisant le théorème de convergence dominée, calculer :

𝑛→+∞lim ∫ (1 +𝑥 𝑛)

𝑛

𝑒^−3𝑥d𝑥

+∞

0

3. Enoncé et calcul du déterminant de Vandermonde (la démonstration sera reprise en classe lundi 15/11)

Programme : déterminant et début de la réduction.

Déterminants : révision sup ; déterminant par bloc, déterminant de Vandermonde

I Matrices par blocs et sous-espaces stables

Définition, si deux endomorphismes commutent alors les Ker et l’Image de l’un sont stables par l’autre, matrice dans une base adaptée (cas de plusieurs sev stables supplémentaires)

II Eléments propres

Valeurs propres, vecteurs propres, les sous-espaces propres sont en somme directe, les vecteurs associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre, spectre, si deux endomorphismes commutent alors les sous espaces propres de l’un sont stables par l’autre.

III Polynôme caractéristique (dimension finie)

Equivalence entre : (i)   sp ( f ) (ii)





 





 





 

 