Automne 2010 Vendredi 21 janvier 2011
Final - MT32
Durée :2 heures.
Feuille A4 recto manuscrite autorisée.
Calculatrice autorisée.
➟ Les exercices 1 et 2 sont indépendants.
➟ Toute réponse non justifiée sera ignorée.
➟ Seules les explications claires et précises seront prises en compte lors de la correction.
Exercice 1
Soitf l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans une base B de R3est : A=⎛
⎜⎝
1 3 0 3 −2 −1 0 −1 1
⎞⎟
⎠ 1. Calculer detA . En déduireKerf etImf .
2. Sans calculs, justifier que la matrice A est diagonalisable.
3. Déterminer le polynôme caractéristiqueχA(x)deA et résoudreχA(x) =0. On rappelle que les solutions trouvées sont les valeurs propresλi deA.
Vérifier le résultat sachant que ∑λi=TrA et∏λi=detA.
4. Déterminer les espaces propres associés à chaque valeur propreλiet exprimer la matrice de passageP(les vecteurs propres seront rangés dans l’ordre croissant des valeurs propres) et préciser la matrice diagonale obtenue par ce changement de base.
5. Application : on se propose de résoudre le système différentiel suivant : (S) =⎧⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎩
x˙(t) +x(t) +3y(t) = 0 y˙(t) +3x(t) −2y(t) −z(t) = 0 z˙(t) −y(t) +z(t) = 0 (a) Vérifier que(S)s’écrit
X˙(t) +AX(t) =0
R3 avec X(t) =⎛
⎜⎝ x(t) y(t) z(t)
⎞⎟
⎠ puis que
P−1X˙ (t) +DP−1X(t) =0
R3
(b) PoserY(t) =P−1X(t)et résoudre le système :Y˙ +DY=0R3.
On rappelle que la solution générale dey˙+ay=0est y=Ce−at (Cconstante réelle).
(c) En déduire la solution généraleXde(S)en utilisant :X(t) =PY(t).
(d) Déterminer la solution Xde(S)vérifiant la condition initiale :⎛
⎜⎝
x(0) =1 y(0) =7 z(0) =3
⎞⎟
⎠
Exercice 2
Une montagne (Figure 1), dont le sommet atteint une altitude de 1000m, peut être modélisée sur un espace à deux dimensions comme une fonction de deux variablesxet y. L’altitude est alors donnée par la relation :
f(x, y) =1000e−x
2 +y2 2000
−150
−100
−50 0
50 100
150
−150
−100
−50 0 50 100 150
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Figure1 – Un sommet
1. Comment se nomme l’ensemble des pointsM(x, y)ayant une même altitudeh?
2. Déterminer et tracer schématiquement l’ensemble des points M(x, y) ayant une même altitude hoù 1<
h<1000.
3. Calculer le gradient de f.
4. Déterminer le/les points critiques def. Déterminer leur nature.
UTBM - MT32 2 Final A10
