MATRICES 2 ou APPLICATIONS LINEAIRES 1

MATRICES 2

ou

APPLICATIONS LINEAIRES 1

PLAN

1 MATRICES ET CHANGEMENTS DE BASE ... 1

1.1 COORDONNEES D’UN VECTEUR DANS UNE BASE. ... 1

1.2 CHANGEMENT DE BASE EN 2 DIMENSIONS, DANS LE PLAN ... 1

1.2.1 Introduction : ... 1

1.2.2 Démarche : ... 2

1.2.3 Matrice de passage ... 2

2 APPLICATIONS LINEAIRES ... 3

2.1 DEFINITION ... 3

2.2 CHANGEMENT DE BASE ... 3

2.3 VALEURS PROPRES, VECTEURS PROPRES ... 4

2.3.1 Définition ... 4

2.3.2 Existence de valeurs et vecteurs propres ... 4

2.3.3 Calcul des valeurs et vecteurs propres ... 5

3 DIAGONALISATION D’UNE MATRICE CARREE... 6

3.1 BASE PROPRE... 6

3.2 ÉCRITURE DANS LA BASE PROPRE ... 7

1 Matrices et changements de base

1.1 Coordonnées d’un vecteur dans une base.

Nous avons vu dans un espace à deux dimensions que nous pouvions décrire un vecteur X par ses coordonnées (x, y) dans une base. Lorsque ces coordonnées sont exprimées dans la base canonique

( )

^{i j,} , on les appelle composantes. On a :

. . 1 0

0 1

ij

ij ij ij

x x x

X x i y j i j

y y y

      

 

= + =

 

=

   

=

  

      

La notation matricielle fait apparaître la multiplication d’une matrice (2,2) par un vecteur.

L’indication ij en indice a pour objet de rappeler que x et y sont les coordonnées (ou composantes) du vecteur dans la base

( )

^{i j, .}

Dans l’espace à trois dimensions muni de la base canonique

(

^{i j k, ,}

)

^:

. . .

1 0 0 0 1 0 0 0 1

ijk

ijk ijk ijk

x x x

X x i y j z k y i j k y y

z z z

      

        

= + + =

 

=

   

=

  

      

      

Attention : l’emploi de la matrice identité n’est pas propre à une base canonique !

En dimension n, si on note x′_k les coordonnées de X dans la base

(

^{u u1, 2,...,un}

)

^et xk celles de X dans la base canonique

(

^{i i1, ,...,2 in}

)

^{, on a :}

[ ]

...

... ... ...

...

...

...

...

1

1 1 1

1 1

1 1 1

1 1

1 1

1 1

1 0

0 1

n

n n n

n

n

n

k k n u u

k

n u u n u u n u u

n

k k n i i

k

n i i

x x x

X x u u u

x x x

x x

X x i i i

x

=

=

′ ′ ′

       

       

= ′ =

 

=

 

=

   



′

 

′

   

′



       

 

   

= =

 

=

 

 

 

∑

∑

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

⋯

⋮ ⋮

... ...

1 1

1 0 1

0 1

n n

n i i n i i

x

x x

     

     

 

=

   

     

     

⋯

⋮ ⋱ ⋮ ⋮

⋯

C’est d’une telle évidence… que c’est souvent source d’erreurs ! Mais, effectivement, les

coordonnées de u₁,...,u_n dans leurs propre base remplissent les colonnes de la matrice identité, et il en est de même des coordonnées de i₁,...,i_n dans leurs propre base…

1.2 Changement de base en 2 dimensions, dans le plan

1.2.1 Introduction :

Soit un plan défini par deux vecteurs i et j .

( )

^{i j,} est donc une base de ce plan. Soit deux vecteurs u et v non colinéaires, dans ce plan.

( )

^{u v,} est donc une autre base de ce plan. Nous considérons un vecteur M dans ce même plan. Les figures ci-dessous montrent le même vecteur, associé aux deux bases :

Les coordonnées d’un même objet sont dépendantes de la base choisie.

Nous souhaitons être en mesure d’exprimer ses coordonnées dans une base sachant qu’on les connaît dans l’autre, ce qui nécessitera que la base « d’arrivée » soit définie par rapport à la base « de départ ».

1.2.2 Démarche :

* Les coordonnées de M seront notées mi et mj dans

( )

^{i j, et mu et mv dans}

^{( )}

^{u v, :}

* Les vecteurs u et v eux-mêmes s’expriment comme suit dans la base

( )

^{i j, :}

 

= ⋅ + ⋅ =

 

 

i

i j

j ij

u u i u j u

u ^;

 

= ⋅ + ⋅ =

 

 

i

i j

j ij

v v i v j v v

Considérons que mu et mv sont connues et que nous cherchons mi et mj. Nous avons :

( ) ( ) ^{( )} ( )

. . . .

uu vv u u ii u jj v v ii v jj uui v iv i uuj vvj j

= + = + + + = + + +

M m m m m m m m m

Ainsi nous obtenons les coordonnées dans

( )

^{i j,} à partir de celles connues dans

( )

^{u v, :}

= + = +

m_i m_uu_i m_{v i}v m_j m_uu_j m_vv_j Nous pouvons alors employer une écriture matricielle de ces résultats :

. ; .

i i i u

ij uv

j j j v

m u v m

M P M

m u v m

     

= =

     

 

   

1.2.3 Matrice de passage

P =

[ ]

u v ijest dénommée matrice de passage de la base

( )

^{i j,} vers la base

( )

^{u v, .}

Elle exprime les coordonnées des vecteurs u et v dans la base

( )

^{i j, .}

Il est pratique de mémoriser :

M

ij

= [ ] u v

ij

^. M

uv

Obtention de muet mv à partir de miet mj:

Multiplions l’égalité obtenue au-dessus par P^-1 à gauche. (P^-1 existe ssi u et v ne sont pas colinéaires, ce qui est le cas) : P⁻¹.Mij =P⁻¹. .P Muv =Muv^.

1

.

=

−

uv ij

M P M

Or ce qui a été fait plus haut serait également vrai si on échangeait les notations « ij » et « uv » :

uv uv

.

ij

M =   i j   M

Ainsi, nous pouvons retenir le schéma suivant, par commodité, qui montre de manière globale comment modifier les COORDONNEES D’UN VECTEUR lorsque l’on change de base :

2 Applications linéaires 2.1 Définition

Nous travaillerons ici sur des applications linéaires vectorielles, en dimension 2 ou 3.

Application linéaire : fonction f définie, dans une base choisie, par une matrice F qui fait correspondre à un vecteur X un vecteur Y , image de X par f : ^{X ֏f Y = f X}

( )

^{=F.X .}

Linéarité : on constate facilement que ^{f a X}

(

^{. 1+X2}

)

^{=a f X.}

( ) ( )

^{1 + f X2 .}

Il existe toutes sortes d’applications linéaires vectorielles.

On sait qu’en dimension 1 elles prennent la forme ^{y= f x}

( )

^=λx (fonctions linéaires).

En dimension supérieure ou égale à deux, les choses sont plus complexes. Y =F.X n’est pas forcément colinéaire à X , par exemple. La matrice F représente une certaine transformation dans l’espace, qui peut être une rotation, une symétrie, une projection, ou toute autre application moins « évidente », dont il faut étudier certaines caractéristiques.

2.2 Changement de base

L’application est définie dans une base

(

^{i j k, ,}

)

, dans laquelle nous notons sa matrice F_ijk. Dans une autre base,

(

^{u v w, ,}

)

, sa matrice, éventuellement différente, se notera F_uvw. P désigne la matrice de passage de

(

^{i j k, ,}

)

^vers

⁽

^{u v w, ,}

⁾

^{: P =}

^[

^{u v w}

^]

^ijk

( )

1 1

1

F P F P P P P F P

P F P

ijk ijk ijk uvw ijk uvw uvw ijk uvw

uvw ijk uvw

Y X Y X Y X

Y X

− −

−

= ⇔ = ⇔ =

⇔ =

Or l’expression de f dans la base

(

^{u v w, ,}

)

^{est :} Yuvw =FuvwXuvw , donc :

F

_uvw

= P F P

⁻1 _ijk

définition : Soit A une matrice carrée. On appelle trace de A le nombre

( )

1

A

n ii i

Tr a

=

=

∑

^.

définition : Soit A et B deux matrices carrées.

S’il existe une matrice P inversible telle que B = P^-1.A.P, alors A et B sont dites semblables.

Propriété : Si A et B sont semblables, alors ^Tr

( )

^{A =Tr}

( )

^{B et det}

( )

^{A =det}

( )

^B

Conséquence : Par changement de base, la trace et le déterminant d’une matrice se conservent.

La trace et le déterminant d’une matrice sont deux exemples de valeurs scalaires : invariantes par changement de base.

Exemple : f est l’application linéaire représentée dans une base

( )

^{i j,} par la matrice _ij  

= −  1 2 F 4 1 ^.

Déterminons, dans cette base, l’image du vecteur X_ij

 

=

 

 

2

3 ^{par f :} Y^ij

    

=

    

=



−

   

1 2 2 8

4 1 3 5

Soit deux vecteurs dont les coordonnées sont exprimées dans cette base :

ij ij

u   v − 

=  = 

   

3 1

1 et 1 .

Déterminons les coordonnées des vecteurs X et Y dans la base

( )

^{u v, :}

uv uv

X Y

− −

             

=

 

=

 

=

  

=

 

=

  

=

 

− − −

             

3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 5 1 1 1 8 1 13

P ; P ; ;

1 1 4 1 3 4 1 3 3 4 7 4 1 3 5 4 7

Question : est-ce que Y_uv est l’image de X_uv par application de la matrice F_ij ?

1 2 5 19 13

4 1 7 13 7

      

= ≠



−

     

      

. En effet, l’expression de l’application f doit être modifiée lors d’un changement de base.

Appliquons la formule

F

_uv

= P F P

⁻¹_ij ^:

1 1 1 2 3 1 1 1 5 1 16 4 4 1

1 1 1

F

^uv

4 1 3 4 1 1 1 4 1 3 11 5 4 28 16 7 4

− − −

            

=   −     −     =   −     −   =   −     = −  

Question : est-ce que Y_uv est l’image de X_uv par application de la matrice F_uv ?

4 1 5 13

7 4 7 7

−

     

    

=





−

    

. Cette fois-ci, cela fonctionne !

2.3 Valeurs propres, vecteurs propres

2.3.1 Définition

Un vecteur V non nul est un vecteur propre d’une matrice carrée F s’il existe un scalaire λ appelé alors valeur propre tel que :

FV . = λ V

Les vecteurs propres d’une matrice (donc de l’application linéaire correspondante) sont donc les vecteurs qui sont colinéaires à leurs images par l’application

V ֏ F . V

_.

2.3.2 Existence de valeurs et vecteurs propres

( )

. . . .

FV =λV ⇔ FV =λIV ⇔ F−λI V =0.

Notons C F= −λI, d’où : C.V =0. Si la matrice C était inversible, alors on pourrait écrire :

. .

1 1

C C⁻ V =C 0⁻ =0 ⇒ IV =0 ⇒ V =0.

Mais par définition, le vecteur nul n’est pas un vecteur propre. Ainsi, par contraposée, si V est un vecteur propre (donc non nul), alors C n’est pas inversible.

( )

2.3.3 Calcul des valeurs et vecteurs propres Valeurs propres

Pour calculer toutes les valeurs propres d’une matrice carrée F, on admettra qu’il suffit de résoudre l’équation que nous venons d’établir : ^det

(

^F−

^λ

^I

)

^=0.

Soit par exemple une matrice carrée de dimension 3 :

11 12 13

21 22 23

31 32 33

F

a a a

a a a

a a a

 

 

= 

 

 

.

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )

11 12 13 det

11 22 33 12 23 31 13 21 32

21 22 23

31 22 13 32 23 11 33 21 12

31 32 33

F F

a a a

a a a a a a a a a

a a a

a a a a a a a a a

a a a

λ λ λ λ λ

λ λ

λ λ λ

λ

−

 

− = − − − + +

 

− = − −  − − − − − −

I I

Ainsi l’équation ^det

(

^F−

^λ

^I

)

⁼⁰ nous donnera à chercher les racines d’un polynôme du troisième degré.

F pourra avoir jusqu’à 3 valeurs propres réelles, si ce polynôme admet 3 racines réelles, qui mèneront à trois recherches de vecteurs propres.

Pour une matrice carrée de dimension n, ce déterminant donnera une équation polynomiale de degré n et d’inconnue λ , qui aura au plus n racines réelles.

Donc une matrice carrée de dimension n peut avoir jusqu’à n valeurs propres réelles (pas forcément distinctes) et leurs groupes de vecteurs propres associés.

En dimension trois (et plus généralement en dimension impaire), il existe toujours au moins une valeur propre réelle ;

En dimension deux (et plus généralement en dimension paire), il peut ne pas exister de valeur propre réelle.

* Le polynôme ^det

(

^F−

^λ

^I

)

est appelé polynôme caractéristique de F.

Son terme de degré n est

( )

^{−1 nλn} et son terme de degré zéro est det(F).

* L'ensemble des valeurs propres de F est appelé spectre de F et est noté σ^(F).

Propriété : deux matrices semblables ont même spectre.

* Si F est triangulaire, alors ses éléments diagonaux sont ses valeurs propres.

* Dans ℝ, dans le cas de valeurs propres uniquement réelles :

La trace d'une matrice carrée est la somme de ses valeurs propres : Tr

( )

^F =∑λi

Le déterminant d'une matrice carrée est le produit de ses valeurs propres : ^det

( )

^F _{= ∏}λi

Vecteurs propres

Connaissant la valeur propre n° k, nous pouvons chercher le(s) vecteur(s) propre(s) associé(s).

Il suffit de résoudre l’équation suivante :

(

^F−λkI

)

^{.Vk =0}. (cf. définition) Dans le cas de l’espace à trois dimensions, ceci donne :

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0 0 0

k

k

k

a a a x

a a a y

a a a z

λ

λ

λ

−

    

    

− =

    

 −    

    

Or nous avons vu que le déterminant de la matrice de ce système est nul, ce qui signifie que les trois lignes de cette matrice ne sont pas linéairement indépendantes.

Il n’y a donc pas pour ce type de système un unique triplet solution (x, y, z).

Il y a ici pour V_k une infinité de solutions, toutes colinéaires entre elles, que l’on citera comme les multiples (facteur réel quelconque, fixé, non nul) d’un vecteur propre cité en référence.

Par exemple en dimension 2, on dira : pour la valeur propre λ¹ = 5, les vecteurs propres sont

1

1 V =α^⁻3 ^

 , α ∈ ℝ^*.

Exemple : valeurs propres et vecteurs propres de 1 2 F^ij 4 1

 

= 

−

 

1. Recherche des valeurs propres

( )

det F 0 ^{1 2} 0 ² 9 0 3

4 1

λ λ λ λ λ

− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ±

I − −

2. Recherche des vecteurs propres

* vecteurs propres V₁ associés à la valeur propre λ^{1 = 3 :}

. _{1 1} 1 2 2 3

F 3 3

4 1 4 3

x x x y x

V V x y

y y x y y

+ =

      

= ⇔ −     =   ⇔ − = ⇔ = ^;

, * 1

1 V =α^{ } 1 α∈

  ℝ

* vecteurs propres V₂ associés à la valeur propre λ^{2 = –3 :}

. _{2 2} 1 2 2 3

F 3 3 2

4 1 4 3

x x x y x

V V y x

y y x y y

+ = −

      

= − ⇔   = −  ⇔ ⇔ = −

− − = −

       ; ₂ 1 , ^*

V =α^−2^ α∈ℝ

3 Diagonalisation d’une matrice carrée 3.1 Base propre

Considérons le cas relativement particulier où la matrice F carrée de dimension n possède n valeurs propres réelles distinctes (λ^1, λ^{2, … ,} λn) et n groupes (« groupes » sans vecteur nul…) de vecteurs propres associés

( {

^{α1V1,α1∈ℝ*}

} {

^{, α2V2,α2∈ℝ*}

} {

^{,..., αnVn,αn∈ℝ*}

} )

. Colinéaires entre eux dans chaque groupe, on en choisit un représentant par groupe, formant ainsi la liste

(

^{V V1, 2,...,Vn}

)

^.

Deux vecteurs propres associés à deux valeurs propres différentes ne peuvent être colinéaires entre

Changeons de base, de notre base de référence

(

^i1,...,in

)

dans laquelle F est définie, vers la base de vecteurs propres

(

^{V V1, 2,...,Vn}

)

dénommée « base propre » et que nous noterons Vp.

3.2 Écriture dans la base propre

Soit P la matrice de passage de la base

(

^i1,...,in

)

^{vers Vp. P = ...} _...

n

n i i

V V

 

 ¹ ₁ Le résultat du paragraphe 2.2 montre que :

F = P F P

⁻¹

. .

Vp

Écrivons maintenant la propriété définissant valeurs propres et vecteurs propres associés, mais cette fois dans la base propre : F .V_k =

λ

_kV_k

p p p

V V V . En détails :

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

k n k

k n k

k

k k kk kn kk

n n nk nn nk

a a a a a

a a a a a

a a a a a

a a a a a

λ

′ ′ ′ ′ ′

      



′ ′ ′ ′

     

′

      

      

= ⇔

      

′ ′ ′ ′ ′

      

      

          



′ ′ ′ ′

     

′

  

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 1

1 2

0 0

0 0

1 1

0 0

.

.

ik

kk k

k

a i k

a

λ

λ

  

  

  

   

′ = ≠

= ⇔

   



′ =

  

  

    

  



0 0

0 pour et

0 Comme on le voit, les seuls termes non nuls de F

Vp sont ses termes diagonaux, qui sont de plus les valeurs propres de l’application f.

La matrice

F =P F P⁻¹. .

Vp

est diagonale et composée de ses valeurs propres.

Attention : résultat valable si la matrice carrée F (dim n) possède n valeurs propres réelles distinctes.

Dans le cas général, ‘’L’expression matricielle de f dans sa base propre est la plus simple possible.’’, mais toutes les matrices ne sont pas diagonalisables dans ℝ ! (ni même dans ℂ, d'ailleurs).

Il faut que le polynôme caractéristique, de degré n, n’ait que des racines réelles, et que chaque sous- espace de vecteurs propres associé à sa valeur propre ait une dimension égale à l'ordre de multiplicité de cette dernière.

Cas particulier : toute matrice (n, n) ayant n valeurs propres réelles distinctes est diagonalisable dans ℝ. Avec l’exemple précédent, transcrivons la matrice F dans la base des vecteurs propres

( )

^{V V1, 2} et vérifions qu’on obtient bien la matrice diagonale des valeurs propres :  

= 

 − 

3 0

F^Vp 0 3 :

* matrices de passage : de ij vers Vp :  

= 

 − 

1 1

P 1 2 ^{; de Vp} vers ij : ⁻  

=  

 − 

1 1 2 1

P 3 1 1

* matrice de f dans sa base propre :

ij

−          −     −   

= =  −    −    − =  −      = −      = − 

1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 3 3 2 1 1 1 3 0

F P F P

1 1 4 1 1 2 1 1 3 6 1 1 1 2 0 3

3 3

Vp

La matrice F est diagonalisée

Elle est constituée des valeurs propres