2. Réduction des endomorphismes, des matrices carrées
Dans ce chapitre Kdésigne Rou C.
II - Sous-espaces stables par un endomorphisme
1) Généralités
Définition :soientE un K-espace vectoriel,u∈ L(E) etF un sous-espace de E.
F est ditstable par u(ouu-stable) si et seulement siu(F)⊂F (i.e. ∀x∈F u(x)∈F).
Lorsque F est stable par u, l’application v : F → F x → u(x)
(linéaire comme u) est l’endomorphisme induit par u sur F.
Propriété : si u, v, éléments deL(E), commutent, alors Imv etKerv sont stables par u.
Caractérisation matricielle en dimension finie : soient E, K-espace vectoriel de dimension finie n, F sous-espace de E de dimensionp, B= (e1, . . . , en) base deE adaptée à F et u ∈ L(E). F est stable par u si et seulement si la matrice de u dans B est triangulaire par blocs, de la forme A C
0 D ,
A∈ Mp(K) étant alors la matrice dans(e1, . . . , ep) de l’endomorphisme induit par u surF. Dém.Il suffit de remarquer que F = Vect (e1, . . . , ep) est stable par u si et seulement si
∀j ∈ {1, . . . , p} u(ej)∈F.
Rappel : det A C
0 D = det (A).det (D).
2) Sommes directes de sous-espaces stables. Matrices diagonales par blocs
Théorème :soient E1, . . . , Ek, sous-espaces de E, K-espace vectoriel de dimension finie, tels que E = k
j=1
Ej, Bbase de E adaptée à cette décomposition et u∈ L(E).
Posons, pour tout j de Nk,pj = dimEj.
LesEj,1≤j≤k, sont stables parusi et seulement si la matrice deudansBest diagonale par blocs, de la forme :
M =
A1 0 · · · 0 0 A2 ... ...
... ... ... 0 0 · · · 0 Ak
où ∀j∈Nk Aj ∈ Mpj(K).
Rappel : det (M) =
k j=1
det (Aj).
Cas particulier : soientB= (e1, . . . , en) base deE etu∈ L(E). La matrice deu dansB est diagonale si et seulement si les droites K.ej,1≤j ≤nsont stables par u, c’est-à-dire si et seulement si
∀j∈Nn ∃λj ∈K u(ej) =λj.ej ; dans ce cas, la matrice de udans B est
diag (λ1, . . . , λn) =
λ1 (0) ...
(0) λn
.
3) Matrices triangulaires supérieures
Théorème :soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n, B = (e1, . . . , en) une base de E et u ∈ L(E). La matrice de u dans B est triangulaire supérieure si et seulement si les Ej = Vect (e1, . . . , ej),1≤j ≤n, sont stables paru.
Exemple : dansE =Kn[X], muni de la base canonique B= (1, X, . . . , Xn), lesEj sont lesKj−1[X], 1 ≤ j ≤ n+ 1. Soit u ∈ L(E) ; la matrice de u dans B est triangulaire supérieure si et seulement si : ∀P ∈E degu(P)≤degP.
II
II - Polynômes d’un endomorphisme, d’une matrice carrée
1) Généralités
Théorème :soientE un K-espace vectoriel et u∈ L(E) ; l’application φu: K[X] → L(E)
P =
∞ k=0
akXk → P(u) =
∞ k=0
akuk
est linéaire et multiplicative de (K[X],+, .,×) dans (L(E),+, .,◦). Notamment,
∀(P, Q)∈K[X]2 P(u)◦Q(u) = (P×Q) (u) =Q(u)◦P(u) (P(u) etQ(u) commutent) De même, M étant fixée dans Mn(K), l’application
φM : K[X] → Mn(K) P =
∞ k=0
akXk → P(M) =
∞ k=0
akMk
est linéaire et multiplicative de (K[X],+, .,×) dans (Mn(K),+, .,×).
Attention ! u0= IdE etM0 =In; ainsi, pourP =a0+a1X+a2X2+· · ·, on a
P(u) = a0IdE +a1u+a2u2+· · · et P(M) = a0In +a1M +a2M2+· · · Propriété : soitu∈ L(E) ; pour toutP deK[X],ImP(u)et KerP(u) sont stables paru.
Définition :soient u ∈ L(E) et P ∈ K[X] ; P est un polynôme annulateur de u si et seulement si P(u) = 0;
soient M ∈ Mn(K) etP ∈K[X] ;P est un polynôme annulateur de M si et seulement si P(M) = 0.
Attention ! On dit que P annule u (resp. M), mais aussi que u annule P (resp. M annule P). . .
Exemple : siM =
A1 (0) ...
(0) Ak
est diagonale par blocs, alorsP(M) =
P(A1) (0) ...
(0) P(Ak)
.
2) Applications
a) Calcul de puissances
Si P est un polynôme annulateur de M ∈ Mn(K), la division euclidienne de Xk par P permet de calculer Mk : siXk=P ×Qk+Rk etP(M) = 0, alors Mk =Rk(M).
Cette méthode est intéressante si l’on dispose d’un polynôme annulateur de bas degré, les “quelques”
coefficients deRk pouvant alors être déterminés par la résolution d’un système linéaire obtenu à l’aide des racines de P (penser à utiliser la dérivation en cas de racine multiple).
Exemple : soient a∈R∗ et A=
0 1/a 1/a2 a 0 1/a a2 a 0
; on vérifie aisément que A2 =A+ 2I3,A admet ainsi le polynôme annulateur
P =X2−X−2 = (X+ 1) (X−2). Pourk∈N, la division euclidienne deXk par P s’écrit
Xk =P×Qk+λkX+µk
où (λk, µk) vérifie le système −λk+µk = (−1)k
2λk+µk = 2k . Tous calculs faits, Ak =λkA+µkI3 où
λk= 1
3 2k−(−1)k µk= 1
3 2k+ 2 (−1)k .
b) Calcul d’inverse Si P =
p k=0
akXk est un polynôme annulateur de M ∈ Mn(K),tel que a0 = 0, alors M×
p k=1
akMk−1 =−a0In d’où M−1=−1 a0
p k=1
akMk−1.
Exemple : pour la matrice Aprécédente, A(A−I) = 2I3 doncA−1 = 1
2(A−I3).
III
III - Éléments propres d’un endomorphisme, d’une matrice carrée
1) Définitions. Notations
Définition :soientE un K-espace vectoriel,u∈ L(E), λ∈K.
λestune valeur propre de usi et seulement s’il existe un vecteurnon nulxdeE tel que u(x) =λ.x; un tel vecteur est un vecteur propre de u associé à la valeur propre λ.
L’ensemble des valeurs propres deu est le spectre de u, noté Sp (u).
Si λ∈Sp (u), Eλ(u) = Ker (u−λ.IdE) est le sous-espace propre de u associé à la valeur propre λ.
NB : 1) Lesdroites stables paru sont les droites dirigées par un vecteur propre deu.
2)Un vecteur propre est associé à une unique valeur propre (en effet, un vecteur propre est non nul par définition et, lorsquex est non nul,λ.x=µ.x⇒λ=µ).
3) λ ∈ Sp (u) ⇔ Ker (u−λ.IdE) = {0} ; si λ ∈ Sp (u), le sous-espace propre associé Eλ(u) contient le vecteur nul et les vecteurs propres de u associés àλ.
4) En dimension finie, λ∈Sp (u)⇔det (u−λ.IdE) = 0 ; siu est représenté par sa matrice M dans une base de E et si λ ∈ Sp (u), le sous-espace propre associé s’obtient par résolution du système linéaire M X =λX, soit(M −λIn)X = 0, qui n’est pas de Cramer ! Penser à utiliser la fonction rrefde la calculatrice.
5) Cas de la valeur propre 0 : 0 est valeur propre de u si et seulement si u n’est pas injectif, autrement dit u est injectif si et seulement si0∈/ Sp (u).
Propriété : si u, vcommutent dans L(E), les sous-espaces propres de u sont stables par v.
Propriété : si F est un sous-espace de E stable paru ∈ L(E) et si v désigne l’endomorphisme de F induit par u, alors
∀λ∈K Ker (v−λ.IdF) =F ∩Ker (u−λ.IdE) doncSp (v)⊂Sp (u) et : ∀λ∈Sp (v) Eλ(v) =F∩Eλ(u).
Exemples : 1)Projecteurs, symétries (Ker (u−IdE) est l’ensemble desvecteurs invariants par u).
2) Le spectre de upeut être vide : choisir par exemple un quart de tour dans R2. 3) Le spectre de u peut être infini : par exemple, pour u : f → f′ dans C∞(R,R), Sp (u) =Ravec
∀λ∈R Eλ(u) = t→Aeλt , A∈R .
Définition :soitM ∈ Mn(K) ; leséléments propres deM (valeurs propres, vecteurs propres, spectre et sous-espaces propres) sont ceux de l’endomorphisme u= CanM deKn de matrice M dans la base canonique.
NB : 1) On identifie parfoisM à l’endomorphisme X→MX deMn,1(K).
2)Lorsque M ∈ Mn(R), il est bon de distinguerSpR(M)etSpC(M),SpK(M)étant l’ensemble des solutions dans Kde l’équation (polynomiale) d’inconnue λ: det (M −λIn) = 0.
Exemple : soitM = 0 −1
1 0 ;det (M−λI2) =λ2+ 1doncSpR(M) =∅ tandis que SpC(M) ={−i, i}.
Définition :deux matricesA, B deMn(K)sontsemblables si et seulement s’il existeP dansGLn(K) telle que B = P−1AP (c’est-à-dire que A et B représentent un même endomorphisme dans deux basesB,C telles que P soit la matrice de passage deB à C).
Propriétés : 1) Deux matrices semblables ont même spectre (réciproque fausse !).
2) Soit P fixée dans GLn(K) ; l’applicationM →P MP−1 est un automorphisme mul- tiplicatif deMn(K); en particulier,
si A=P BP−1, alors∀k∈N Ak=P BkP−1.
Application : pour calculer les puissances deA, on peut chercher une matriceB semblable àA et dont les puissances sont faciles à calculer (c’est le cas notamment des matrices diagonales. . . ).
Exemple : soit A=
11 −5 5
−5 3 −3
5 −3 3
, il vientχA(t) =t(t−1) (t−16)et (cf. la fonction rref des calculatrices)
KerA= Vect (0,1,1) ; Ker (A−I) = Vect (1,1,−1) ; Ker (A−16I) = Vect (2,−1,1)
d’où P−1AP =
0 0 0 0 1 0 0 0 16
avec P =
0 1 2
1 1 −1
1 −1 1
.
On en déduit
∀k∈N∗ Ak=P
0 0 0
0 1 0
0 0 16k
P−1 = 1 6·
2 + 4×16k 2−2×16k −2 + 2×16k 2−2×16k 2 + 16k −2−16k
−2 + 2×16k −2−16k 2 + 16k
.
2) Premières propriétés
Soit E un K-espace vectoriel, distinct de {0}.
1) Soient u ∈ L(E) etλ∈Sp (u) ; pour tout polynôme P de K[X],P(λ) est valeur propre de P(u) (et – plus précisément – si u(x) =λ.x, alors P(u) (x) =P(λ).x).
Attention ! L’inclusionKer (u−λ.IdE)⊂Ker P(u)−P(λ).IdE peut être stricte (ex.: symétrie) 2) Soient u∈ L(E) etP ∈K[X]; si P(u) = 0, alors toute valeur propre de uest racine de P.
Attention ! Réciproque fausse : X2−X est un polynôme annulateur deIdE. . .
3) Toute somme d’une famille finie de sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes deux à deux est directe.
4) Toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes deux à deux est libre.
Dém.Soit u∈ L(E).
1) Soitλ∈Sp (u)etxun vecteur propre deuassocié ;u(x) =λ.xet une récurrence immédiate montre que : ∀k ∈N uk(x) = λk.x ; par combinaison linéaire j’obtiens alors, pour tout polynôme P de K[X]: P(u) (x) =P(λ).x;x(non nul par hypothèse) est donc également vecteur propre deP(u) associé à la valeur propre P(λ).
2) Soient maintenantP un polynôme annulateur deuetλune valeur propre deu; d’après la propriété précédente,P(λ)est valeur propre deP(u), qui n’est autre que l’endomorphisme nul, dont l’unique valeur propre est 0 ; ainsi P(λ) = 0.
3) J’utilise la caractérisation (à connaître. . . ) des sommes directes : soient λ1, . . . , λp des valeurs pro- pres de u, distinctes deux à deux, et x1, . . . , xp des vecteurs respectivement de Eλ1(u), . . . , Eλp(u) tels que
p
j=1
xj = 0. Il s’agit de montrer que tous lesxj sont nuls. Je fixe i∈[[1, p]] et je considère le polynôme de LagrangeLi =
k=i
X−λk
λi−λk
(qui vérifieLi(λj) =δi,j pour toutj). Pour toutjde[[1, p]], comme xj est dans Eλj(u), le calcul du 1) (fait pour un vecteur propre, mais banal si xj = 0 !) montre que :
Li(u) (xj) =Li(λj).xj. Ainsi,Li(u) étant linéaire, j’ai d’une part
Li(u)
p j=1
xj =
p j=1
Li(u) (xj) =
p j=1
Li(λj).xj =xi car Li(λj) =δi,j
et d’autre part
Li(u)
p j=1
xj = 0 car p
j=1
xj = 0 par hypothèse.
Doncxi = 0, cela pour toutide[[1, p]], ce qu’il fallait démontrer : lesEλj(u)sont en somme directe.
4) La question se ramène à une famille finie : soient λ1, . . . , λp des valeurs propres de u, distinctes deux à deux, etx1, . . . , xpdes vecteurs propres respectivement associés. Supposons une combinaison linéaire nulle p
j=1
αj.xj = 0; pour toutj, le vecteur αj.xj appartient au sous-espace propre Eλj(u).
Or les Eλj(u) sont en somme directe, d’après la propriété précédente. J’en déduis, d’après la caractérisation des sommes directes, que
∀j∈[[1, p]] αj.xj = 0 d’où αj = 0 car xj = 0(vecteur propre !).
Ainsi, la famille (x1, . . . , xp) est libre.
Exemples
•homothéties : si u=λ.IdE, alorsSp (u) ={λ},Eλ(u) =E ;
•projecteurs : si p projecteur,p= 0, p= IdE, alors Sp (p) ={0,1},E = Ker (p−IdE)⊕Kerp ;
•symétries : sissymétrie, s=±IdE, alors Sp (s) ={1,−1} etE = Ker (s−IdE)⊕Ker (s+ IdE).
3) Polynôme caractéristique — Théorème de Cayley-Hamilton
Soient E unK-espace vectoriel de dimension finien,u∈ L(E) etM ∈ Mn(K).
1) Le polynôme caractéristique de u est le polynôme χu associé à la fonction t→det (t.IdE −u) = (−1)ndet (u−t.IdE). 2) Le polynôme caractéristique de M est le polynôme χM associé à la fonction
t→det (t.In−M) = (−1)ndet (M−t.In)
Théorème et définition :les valeurs propres deu(resp. M) sont les racines dansKde son polynôme caractéristique.
L’ordre de multiplicité d’une valeur propre de u (resp. M) est son ordre de multiplicité en tant que racine deχu (resp. χM).
Propriétés :
1) χu (resp. χM) est de degrén, avec plus précisément :
χu(X) =Xn−Tr (u)·Xn−1+· · ·+ (−1)ndet (u) χM(X) =Xn−Tr (M)·Xn−1+· · ·+ (−1)ndet (M) 2) Siχu (resp. χM) est scindé sur K, s’écrivant n
k=1
(X−λk), alors
Tr (u) =
n k=1
λk et det (u) =
n k=1
λk resp. Tr (M) =
n k=1
λk et det (M) =
n k=1
λk . NB : lorsque K=R, si n impair, χu (resp. χM) admet toujours au moins une racineréelle (penser
au théorème des valeurs intermédiaires. . . ) ; par contraposée, s’il existeu(resp. M) n’admettant aucune valeur propre, nécessairement nest pair !
Théorème : a)SiF est un sous-espace de E stable paru ∈ L(E) etv l’endomorphisme induit, alors χv diviseχu.
b)Siλ est valeur propre de u ∈ L(E), alors la dimension de Eλ(u) est au plus égale à l’ordre de multiplicité deλ.
Corollaire : pour une valeur propre simple, le sous-espace propre associé est une droite.
Théorème de Cayley-Hamilton (dém. non exigible) Le polynôme caractéristique est un polynôme annulateur, i.e.
∀u∈ L(E) χu(u) = 0L(E) (resp. ∀M ∈ Mn(K) χM(M) = 0Mn(K)).
4) Polynôme minimal (hors programme mais classique)
SoientEunK-espace vectoriel etu∈ L(E). On suppose queuadmet au moins un polynôme annulateur non nul (c’est toujours le cas en dimension finie !).
Alors l’ensemble des polynômes annulateurs de u est l’ensemble des multiples d’un unique polynôme unitaire πu, appelépolynôme minimal deu.
Dém. Soit Pu l’ensemble des polynômes annulateurs de u ; par hypothèse Pu contient au moins un polynôme non nul, donc l’ensemble E des degrés des éléments non nuls de Pu est une partie non vide de N, je dispose donc de d= minE et d’un élément non nul B de Pu de degré d. Quitte à diviser B par son coefficient dominant, je peux supposer B unitaire et je noteMB l’ensemble des multiples de B, dansK[X].
Je sais que, pour tout Q∈K[X], (BQ) (u) =B(u)◦Q(u) = 0car B(u) = 0par construction. Donc BQ∈ Pu ; il en résulte queMB ⊂ Pu.
Réciproquement, je considère A∈ Pu et j’effectue la division euclidienne deAparB : A=BQ+R, où degR <degB. J’ai d’une partA(u) = 0par hypothèse, d’autre part A(u) = (BQ) (u) +R(u) =R(u), d’où R∈ Pu. J’en déduis que R= 0 (sinon degRserait un élément de E strictement inférieur à d!).
Ainsi A=BQ∈ MB.
Finalement Pu est l’ensemble des multiples du polynôme unitaire B. Et si B1 est un autre polynôme unitaire vérifiant cette propriété, j’aiBmultiple de B1,B1 multiple deBetB,B1 tous deux unitaires, d’où B1 =B.
Ainsi, l’ensembleK[u]de tous les polynômes en u(l’image de l’application P →P(u)) n’est autre que Kd−1[u]admettant pour base IdE, u, . . . ud−1 , de dimension d, degré du polynôme minimal πu. En effet, l’inclusionKd−1[u]⊂K[u]est banale, l’inclusion réciproque s’obtient par division euclidienne par πu (si A=πuQ+R, alors A(u) =R(u). . . ) et la famille IdE, u, . . . ud−1 est libre par définition ded(si elle était liée il existerait un polynôme annulateur non nul de u, de degré strictement inférieur à d, d’où une contradiction !).
IV
IV - Endomorphismes et matrices carrées diagonalisables
1) Endomorphismes diagonalisables — Caractérisations
Soient E unK-espace vectoriel de dimensionn≥1 etu∈ L(E).
Définition :u estdiagonalisable si et seulement siE est somme directe des sous-espaces propres deu, i.e.
E=
λ∈Sp(u)
Eλ(u).
Premières caractérisations : les assertions suivantes sont équivalentes.
1) u est diagonalisable.
2) Il existe une base de E formée de vecteurs propres deu.
3) Il existe une base de E où la matrice de uest diagonale.
4) La somme des dimensions des sous-espaces propres de u vautn= dimE.
5) Le polynôme caractéristique de uest scindé et la dimension de chaque sous-espace propre estégale à l’ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante.
Cas particulier : si u admet n valeurs propres distinctes, u est diagonalisable et ses sous-espaces propres sont des droites.
Projecteurs associés : soient u diagonalisable et (pλ)λ∈Sp(u) la famille de projecteurs associée à la décomposition E=
λ∈Sp(u)
Eλ(u). On a, pour tout xde E, x=
λ∈Sp(u)
pλ(x) d’où u(x) =
λ∈Sp(u)
λ.pλ(x) (puisquepλ(x)∈Eλ(u)).
Autrement dit,
u=
λ∈Sp(u)
λ.pλ et par récurrence ∀k∈N uk=
λ∈Sp(u)
λk.pλ
d’où par combinaison linéaire : ∀P ∈K[X] P(u) =
λ∈Sp(u)
P(λ).pλ. Il en résulte en particulier (cf. les polynômes de Lagrange) :
∀λ∈Sp (u) pλ=Lλ(u) où Lλ(X) =
µ∈Sp(u) µ=λ
X−µ λ−µ .
Théorème :u est diagonalisable si et seulement siu annule un polynôme scindé surKdont toutes les racines sont simples (en abrégé scindé à racines simples ou encoresimplement scindé).
Attention ! Les racines du polynôme annulateur utilisé ne sont pas forcément toutes des valeurs propres de u.
Corollaire : u est diagonalisable si et seulement siu annule le polynôme
λ∈Sp(u)
(X−λ).
Exemple : projections, symétries.
Corollaire : siuest diagonalisable, pour tout sous-espaceF stable paru, l’endomorphisme deF induit par uest aussi diagonalisable.
Dém. Soient u diagonalisable, P un polynôme annulateur scindé à racines simples de u (il en existe d’après le théorème précédent), F un sous-espace stable par u et v l’endomorphisme de F induit par u ; il est clair que : ∀x∈F P(v) (x) =P(u) (x) = 0; ainsiP est également un polynôme annulateur dev, orP est scindé à racines simples ! Doncv est diagonalisable.
2) Matrices carrées diagonalisables
Définition :une matrice M de Mn(K) est diagonalisable si et seulement si l’endomorphisme de Kn canoniquement associé l’est.
Conséquence : les résultats du §1s’appliquent. . . Propriétés :soit M ∈ Mn(K) ;
1) M est diagonalisable si et seulement siM est semblable à une matrice diagonale.
2) Lorsque M est diagonalisable, M s’écritP DP−1 où D est diagonale et P la matrice de passage de la base canonique de Kn à une base de vecteurs propres deM.
3) SiM =P DP−1, alors pour tout polynôme Q,Q(M) =P.Q(D).P−1 est diagonalisable avec la même matrice de passage.
Exemples :
1) Si A ∈ Mn(K) admet une unique valeur propre λ, alors A est diagonalisable si et seulement si A=λ.In (en effet il n’y a pas d’autre matrice semblable àλ.In).
2) DiagonaliserA=
1 +a (1)
...
(1) 1 +a
: j’écrisA=a.I+U et je diagonaliseU. . .
3) A=
1 a b 0 2 c 0 0 2
est-elle diagonalisable ?
V
V - Endomorphismes et matrices carrées trigonalisables
1) Définitions
•SoientE unK-espace vectoriel de dimension finie etu∈ L(E);u esttrigonalisable si et seulement s’il existe une base deE où la matrice deu est triangulaire supérieure.
•M ∈ Mn(K) est trigonalisable si et seulement si l’endomorphisme de Kn canoniquement associé l’est, autrement dit si et seulement si M est semblable à une matrice triangulaire supérieure.
2) Caractérisations
Les assertions suivantes sont équivalentes :
•u est trigonalisable ;
•le polynôme caractéristique deu est scindé sur K;
•u annule un polynôme scindé surK.
Corollaire : lorsque K=C, tout endomorphisme en dimension finie est trigonalisable.
Toute matrice de Mn(C) est trigonalisable.
3) Exemples
1) Soit A=
5 1 −2
−10 −2 7
−4 −2 5
; j’aiχA(X) = (X−2) (X−3)2 doncSp (A) ={2,3}et E2(A) = Vect (1,1,2) ; E3(A) = Vect (1,−2,0) .
Par conséquentA n’est pas diagonalisable (1 + 1<3) ; il est facile ici de trigonaliserA: en complétant la famille libre formée des deux vecteurs propres ci-dessus, j’obtiendrai dans une telle base une matrice de la forme :
P−1AP =
2 0 ∗ 0 3 ∗ 0 0 3
Attention ! Une telle matrice peut ne pas être commode, notamment pour calculer les puissances de A à l’aide de la formule du binôme : les matrices
2 0 0 0 3 0 0 0 3
et
0 0 ∗ 0 0 ∗ 0 0 0
risquent de ne pas commuter.
On fait souvent l’effort d’obtenir une forme triangulaire et diagonale par blocs, en remarquant que : R3 = Ker (A−2.I)⊕Ker (A−3.I)2.
Ker (A−2.I) est la droiteVect (1,1,2) etKer (A−3.I)2 est le plan P d’équation 2x+y−z = 0 ; en effet,
(A−3.I)2=
2 1 −1 2 1 −1 4 2 −2
.
Il suffit alors de choisir un vecteur e3 de Ker (A−3.I)2\Ker (A−3.I) et de poser e2 = (A−3.I)e3
pour que (e2, e3) soit une base de P (résultat classique, car A−3.I induit sur P un endomorphisme nilpotent, d’indice 2, mais en l’occurrence la vérification est immédiate !).
De plus, j’ai par construction(A−3.I)e2 = (A−3.I)2(e3) = 0; ainsi, en posantf = CanA : f(e2) = 3.e2 et f(e3) =e2+ 3.e3
Par conséquent, en posant e1= (1,1,2), j’aiM(e1,e2,e3)f =
2 0 0 0 3 1 0 0 3
(forme de Jordan).
Prenons par exemple e3 = (0,1,1) (qui est bien dans Ker (A−3.I)2 mais pas dans Ker (A−3.I)) : (A−3.I)
0 1 1
=
−1 2 0
, d’où e2 = (−1,2,0) (qui est bien dans Ker (A−3.I) comme prévu).
Alors,
avecP =
1 −1 0
1 2 1
2 0 1
, j’aiP−1AP =
2 0 0 0 3 1 0 0 3
.
(P est sûrement inversible puisque j’ai accolé des bases de deux sous-espaces supplémentaires. . . ).
2) Soit A=
0 1 −1 −3
−10 −12 0 10
6 6 −1 −5
−13 −14 −1 10
; j’aiχA(X) = (X−3) (X+ 2)3 doncSp (A) ={−2,3} et E−2(A) = Vect (1,0,−1,1) ; E3(A) = Vect (1,−2,1,−2).
On vérifie que Ker (A+ 2.I)3 est l’hyperplanHd’équationx+y−t= 0, dont on choisit, dans le même esprit que ci-dessus, une base de la forme (e2, e3, e4) avec e3 = (A+ 2.I)e4, e2 = (A+ 2.I)e3. Avec, par exemple, e4 = (1,−1,0,0), choisi dans Ker (A+ 2.I)3\Ker (A+ 2.I)2, j’obtiens
P =
1 −1 1 1
−2 0 0 −1
1 1 0 0
−2 −1 1 0
qui vérifieP−1AP =
3 0 0 0
0 −2 1 0
0 0 −2 1
0 0 0 −2
.
3) Soit A=
−1 0 0 1 0 −1 1 1 −2
; j’aiχA(X) = (X+ 1)3 donc Sp (A) ={−1}.
E−1(A) est le planP = Ker (A+I) d’équation x+y−z= 0.
On pourrait se contenter de compléter arbitrairement une base deP pour montrer queAest semblable
à une matrice de la forme
−1 0 ∗
0 −1 ∗
0 0 −1
.
On peut gagner un 0 supplémentaire en “jordanisant” : (A+I)2 = 0, donc, si je choisis e3 dans Ker (A+I)2\Ker (A+I) et si je pose e2 = (A+I)e3, j’ai (A+I)e2 = 0 et il reste à choisir e1 ! Or e2 est un vecteur non nul duplan Ker (A+I), il suffit donc de choisir e1 tel que (e1, e2) soit une base dudit plan. Avec par exemple e3 = (0,0,1), j’obtiense2= (0,−1,−1)et je choisis (par exemple à nouveau !) e1 = (1,0,1). J’ai alors
P−1AP =
−1 0 0
0 −1 1
0 0 −1
avec P =
1 0 0
0 −1 0 1 −1 1
.
VI
VI - Exemples d’applications
1) Calcul des puissances d’une matrice carrée
a) Utilisation d’un polynôme annulateur
Déterminer le reste de la division euclidienne de Xk par P, où P est un polynôme annulateur (de préférence le polynôme minimal. . . ) :
si Xk=P Qk+Rk et P(A) = 0, alors Ak =Rk(A) b) Diagonalisation ou trigonalisation
Si A=P BP−1 alorsAk=P BkP−1. . .
2) Approximation de la valeur propre de module maximal
Soit A ∈ Mn(C) et (λ1, . . . , λn) un système de valeurs propres de A (son polynôme caractéristique étant scindé en vertu du théorème de d’Alembert !). Nous savons aussi que A est trigonalisable (cf.
§V.2) ; il en résulte par une récurrence immédiate que
∀p∈N Tr (Ap) =
n k=1
λpk.
Supposons en outre que A admet une unique valeur propre λ de module maximal (cf. le titre de la section. . . ), c’est-à-dire que, en notant I ={k∈[[1, n]] / λk=λ}
|λ|= max
1≤k≤n|λk| et ∀k∈I |λk|<|λ|. Notant mla multiplicité de ladite valeur propreλ, j’ai
Tr (Ap) =m.λp+
k∈I
λpk ∼
p→∞m.λp.
Alors, si λ= 0,Tr (Ap) est nulle à partir d’un certain rang (A est nilpotente) ; sinon, Tr Ap+1
Tr (Ap) −→
p→∞λ.
3) Relations de récurrence linéaires à coefficients constants
On cherche l’ensemble des suites (un) deKN vérifiant une relation de la forme
∀n∈N un+ℓ=aℓ−1.un+ℓ−1+· · ·+a0.un (R) où ℓ est donné dansN∗ eta0, . . . , aℓ−1 donnés dansK,a0= 0.
a) Traduction matricielle
À toute suite (un) on associe la suite(Un) de vecteurs de Mℓ,1(K)définie par Un=
un
un+1
...
un+ℓ−1
.
En notant M =
0 1 (0)
... ...
(0) 0 1
a0 a1 · · · aℓ−1
∈ Mℓ(K), on constate que (un) vérifie la relation (R) si et seulement si : ∀n∈N Un+1 =MUn, soit si et seulement si : ∀n∈N Un=MnU0.
On est donc ramené au calcul des puissances de M.
b) Cas de l’ordre 2
Ici(R)s’écritun+2 =aun+1+bunetM = 0 1
b a a pour polynôme caractéristiqueχM =X2−aX−b et c’est un polynôme annulateur (théorème de Cayley-Hamilton !). La division euclidienne de Xn par χM s’écrit Xn=χMQ+αX+β, d’où Mn=αM +βI.
1er cas : M admet deux valeurs propres distinctesλetµdans K Alors(α, β)est la solution du système αλ+β =λn
αµ+β =µn et on en déduit l’existence de deux scalairesA, B indépendants de ntels que
∀n∈N un=Aλn+Bµn.
Plutôt que d’expliciter Mn, on peut (sachant qu’ils existent !) déterminer les valeurs de A et B en résolvant le système fourni par les valeurs deu0 et u1.
2e cas : M admet une valeur propre doubleλdansK
Alorsλest également racine du polynôme dérivéχ′M, donc(α, β)est la solution du système αλ+β=λn α=nλn−1 et on en déduit l’existence de deux scalaires A,Bindépendants de ntels que
∀n∈N un= (A+nB)λn. A etB se déterminent comme dans le 1er cas.
3e cas : K=R etM admet deux valeurs propres complexes conjuguées (non réelles !) re±iθ D’après le 1er cas,un s’écrit sous la forme
rn A1einθ+B1e−inθ , (A1, B1)∈C2, qui s’écrit sous la forme
rn(Acosnθ+Bsinnθ), (A, B)∈R2 (car A1 etB1 sont nécessairement conjugués).
Bilan : on obtient donc la forme générale des solutions, selon la nature des solutions de l’équation x2−ax−b= 0, dite équation caractéristique de la relation (R).
Exemple : suite de Fibonacci, définie paru0=u1= 1et ∀n∈N un+2=un+1+un.
Il faut se rappeler que la programmation récursive du calcul de un en collant à cette définition est à proscrire. . .
c) Structure de l’ensemble des solutions
Indépendamment de tout calcul matriciel, on peut montrer que l’ensemble S des suites vérifiant (R) est un K-espace vectoriel de dimensionℓ.
En effet, il est clair que l’application φ: S → Kℓ (un) → (u0, . . . , uℓ−1)
est un isomorphisme.
4) Recherche de sous-espaces stables en dimension finie
Soient u∈ L(E),F un sous-espace deE stable par uet v l’endomorphisme deF induit par u.
•Tout polynôme annulateur deu annule aussi v.
•Le polynôme caractéristique dev divise celui deu.
Ces remarques, accompagnées du théorème de Cayley-Hamilton, peuvent être utiles dans la recherche des sous-espaces stables par u.
Si, en outre, uest diagonalisable, alors E =
λ∈Sp(u)
Eλ(u) et F =
λ∈Sp(u)
F∩Eλ(u) (étant entendu que, parmi les F ∩Eλ(u), certains peuvent être réduits à {0}).
En effet, v est diagonalisable, or
∀λ∈Sp (u) Ker (v−λ.IdF) =F∩Ker (u−λ.IdE) =F ∩Eλ(u)
et Sp (v)⊂Sp (u), donc les sous-espaces propres dev sont les F∩Eλ(u) qui ne sont pas réduits à {0}.
On en déduit le résultat suivant (la réciproque étant évidente).
Propriété : siuest diagonalisable, les sous-espaces deEstables parusont les sous-espaces de la forme
λ∈Sp(u)
Fλ où, pour tout λ,Fλ est un sous-espace deEλ(u), éventuellement {0}.
5) Diagonalisation simultanée
Si u,v dansL(E) commutent et sont diagonalisables, alors il existe une base deE formée de vecteurs propres communs à uet v(i.e. où les matrices de uet v sont toutes deux diagonales).
Dém.E =
λ∈Sp(u)
Eλ(u) et lesEλ(u) sont stables par v (puisqueu etv commutent).
Orvest diagonalisable, donc pour toutλl’endomorphisme deEλ(u)induit parvest diagonalisable. Je dispose donc d’une base de Eλ(u) formée de vecteurs propres dev, qui sont aussi des vecteurs propres deu !
En accolant les bases ainsi obtenues pour les différentes valeurs de λ, j’obtiens le résultat souhaité.
NB : lorsqueu admetn valeurs propres distinctes en dimensionn, rappelons queu est diagonalisable et que ses sous-espaces propres sontndroites. Alors, sivcommute avecu, ces droites sont stables par v et donc toute base de vecteurs propres de u est aussi une base de vecteurs propres de v ! En particulier, v est diagonalisable !!
6) Sous-espaces caractéristiques (complément hors programme)
Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie,u∈ L(E),λune valeur propre deu de multiplicitém.
Classiquement, la suite Ker (u−λIdE)j
j∈N est croissante et – comme E est de dimension finie – je dispose dek∈N∗ tel queKer (u−λIdE)k= Ker (u−λIdE)k+1. Je démontre alors que
E = Ker (u−λIdE)k⊕Im (u−λIdE)k avec dim Ker (u−λIdE)k=m.
Ker (u−λIdE)k est lesous-espace caractéristique de u associé à λ.
L’endomorphisme induit parusurKer (u−λIdE)kaλpour unique valeur propre, tandis que l’endomor- phisme induit par u surIm (u−λIdE)k n’admet pasλpour valeur propre.
Lorsque le polynôme caractéristique de u est scindé, j’en déduis par récurrence que E est la somme directe des sous-espaces caractéristiques de u.
C’est la première étape de la réduction de Jordan.
Dém.Pourf,gdansL(E), je démontre classiquement, en appliquant le théorème du rang à la restriction def àImg, que
rgg= rgf ◦g+ dim (Kerf ∩Img). Toujours classiquement, comme
Ker (u−λIdE)k= Ker (u−λIdE)k+1, j’ai
Ker (u−λIdE)k= Ker (u−λIdE)2k, d’où grâce au théorème du rang
rg (u−λIdE)k = rg (u−λIdE)2k et donc, grâce au résultat précédent (avec f =g= (u−λIdE)k)
Ker (u−λIdE)k∩Im (u−λIdE)k ={0}.
Ces deux sous-espaces sont donc en somme directe, mais la somme de leurs dimensions est dimE, toujours d’après le théorème du rang ; ils sont donc supplémentaires. Ils sont également stables par u (noyau et image d’un endomorphisme qui commute avec uen tant que polynôme en u).
Soitv(resp. w) l’endomorphisme induit parusurF = Ker (u−λIdE)k(resp. surG= Im (u−λIdE)k).
Par construction (v−λIdF)k= 0(car : ∀x∈F (v−λIdF)k(x) = (u−λIdE)k(x) = 0).
Donc (X−λ)k est un polynôme annulateur dev, par conséquentλ est la seule valeur propre possible dev. Orλest bien valeur propre de vpuisque F contientKer (u−λIdE) =Eλ(u) et que tout vecteur propre de uappartenant à F est vecteur propre dev !
Donc Sp (v) = {λ} ; on en déduit classiquement que χv = (X−λ)d où d = dimF (car v−λIdF est nilpotent. . . ).
Enfinλn’est pas valeur propre dew: six∈Gvérifiew(x) =λx, alorsu(x) =λxpar définition dew, mézalor x∈Eλ(u), doncx∈F∩G, c’est-à-dire quex= 0.
Comme χu(t) = χv(t)×χw(t) (déterminant d’une matrice diagonale par blocs puisque F et G sont stables par u), j’en déduis
χu(t) = (t−λ)d×χw(t) où χw n’admet pasλpour racine.
Il en résulte quedest exactement l’ordre de multiplicité de la racineλdeχu, ce qu’il fallait démontrer.
