ProgrammeS11_PC

Lycée Chrestien de Troyes-PC-mathématiques M. RHARIF Page 1

Programme colle S11 Réduction première partie Semaine du 22/11/2021 au 26/11/2021 Questions à préparer :

1. Enoncer, sans démonstration, tout ce que vous pouvez sur le polynôme caractéristique.

2. Enoncés avec précision de la partie IV.1 Diagonalisation du cours (définitions, propositions, théorèmes…).

3. Enoncé et démonstration du théorème 17 (ci-dessous) I Matrice par blocs et sous-espaces stables

Définition, si deux endomorphismes commutent alors les Ker et l’Image de l’un sont stables par l’autre, matrice dans une base adaptée (cas de plusieurs sev stables supplémentaires)

II Eléments propres

Valeurs propres, vecteurs propres, les sous-espaces propres sont en somme directe, les vecteurs associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre, spectre, si deux endomorphismes commutent alors les sous espaces propres de l’un sont stables par l’autre.

III Polynôme caractéristique (dimension finie)

Equivalence entre : (i)   sp ( f ) (ii)



f IdE





 

E (iii) ^det



IdE f



⁰ Polynôme caractéristique d’un endomorphisme :A

 

x ^det



xInA



xⁿTr A x

 

ⁿ ^{( 1) detn}

 

A Les valeurs propres sont les racines. Ordre de multiplicité.

Si

   

1 n

f k

k

X X

 







 ^{, alors :}

^{ }

1 n

k k

Tr f 







^et

^{ }

1

det

n k k

f 







Proposition 12 : Soit f 

 

^E et F un sous-espace vectoriel de E non réduit à {0} et stable par f.

Si f induit ˆf 

 

^F , alors le polynôme ˆf divise le polynôme _f Corollaire 13 : Soit f 

 

^E

1. La dimension d’un sous-espace propre est au plus égale à l’ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante.

2. La dimension d’un sous-espace propre associé à une valeur propre simple est égale à 1

IV Réduction des endomorphismes et des matrices carrées (dimension finie)

IV.1 Diagonalisation : Définition : diagonalisabilité ssi E est somme directe des sous espaces propres. Equivalence entre : (i) L’endomorphisme f est diagonalisable. (ii) Il existe une base de E constituée de vecteurs propres de f. (iii)

 

1

dim dim _i

p

i

E E_ f







où sp ( f ) = {1,…,p} Une matrice An

 

 est diagonalisable si, et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale Condition suffisante de diagonalisabilité : n valeurs propres distinctes 2 à 2.

Théorème 17 : f 

 

^E est diagonalisable si, et seulement si, il vérifie les deux conditions suivantes :

1. Son polynôme caractéristique _f est scindé sur .

2. Pour toute valeur propre de f, la dimension du sous-espace propre associé est égale à l’ordre de multiplicité de cette valeur propre.