TD 3 : Réduction des endomorphismes

TD 3 : Réduction des endomorphismes

Exercice 1 Exercice 1 Exercice 1

Exercice 1 : Pour les matrices suivantes, calculer les valeurs propres, une base de chaque sous-espace propre. Dans le cas où " est diagonalisable, diagonaliser " puis calculer "^$ où % ∈ ℕ.

1) )2 41 −1- 2) )2 −1

1 4 - 3) ) 6 2

−1 3- 4) /

1 0 0 0 0 −1

0 1 2 1 5) / 3 0 1

−1 2 −1

−2 0 0 1 6) ³₄/0 1 0 1 0 0 1 1 21

Exercice 2 Exercice 2 Exercice 2

Exercice 2 : Soit 6 = ℝ₄[:]. A toute fonction polynômiale @ de 6, on associe A(@) = @^C− @.

1) Montrer que A est un endomorphisme de 6.

2) Déterminer la matrice de A dans la base canonique de 6.

3) Déterminer les valeurs propres de A et une base de chaque sous-espace propre associé.

A est-il diagonalisable ?

Exercice 3 Exercice 3 Exercice 3

Exercice 3 : Soit la matrice F = /1 1 0 2 1 2 0 1 11

1) Déterminer les valeurs propres de F. Pourquoi est-elle inversible ? Pourquoi F est-elle diagonalisable ?

2) Déterminer les sous-espaces propres associés à F. Diagonaliser F. Pour tout % ∈ ℕ, calculer Cⁿ.

Exercice 4 Exercice 4 Exercice 4

Exercice 4 : Soit H un endomorphisme de ℝ^I tel que H⁴ ≠ 0 et H^I = 0.

1) Montrer qu’il existe au moins un vecteur L de ℝ^I tel que la famille (H⁴(L), H(L), L) soit une base de ℝ^I. Quelle est la matrice " de H dans cette base ?

2) Quels sont les valeurs propres et les vecteurs propres de H ? H est-il diagonalisable ?

Exercic Exercic Exercic

Exercice 5e 5e 5 : Soient " = /e 5 7 3 −9

−2 −1 2

2 −1 −41 et pour tout P réel, @(P) = P^I− 2P⁴− 5P + 6.

1) a) Résoudre dans ℝ l’équation @(P) = 0. Calculer @(").

b) Déduire des calculs précédents les éventuelles valeurs propres de ".

2) Déterminer si les réels mis en évidence à la question précédente sont effectivement des valeurs propres de " en recherchant des vecteurs propres associés à ces valeurs. (On prendra, si c’est le cas, des vecteurs propres tels que les troisièmes coordonnées soient égales à 1).

3) La matrice " est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une matrice @ et son inverse @^V3 telles que

@^V3"@ soit diagonale.

Exercice 6 Exercice 6 Exercice 6

Exercice 6 : Les matrices W = /1 2 0 0 1 1

0 0 11 et F = /0 1 1 0 0 0

0 0 01 sont-elles diagonalisables ? Inversibles ? Exercice 7

Exercice 7 Exercice 7 Exercice 7 :

Soit (A_$) la suite définie par Y A_Z = 0, A₃ = 1, A₄ = 2

∀% ∈ ℕ, A_$\I = 6A_$\4− 11A_$\3+ 6A_$. On pose,∀% ∈ ℕ, :_$ = / A_$ A_$\3 A_$\41 1) Trouver la matrice " telle que : ∀% ∈ ℕ, :_$\3 = ":_$.

2) Déterminer les valeurs propres de ", trouver une matrice @ inversible telle que @^V3"@ soit diagonale.

3) En déduire la valeur de "^$ pour tout entier naturel %.

4) Expliciter :_$ en fonction de :_Z. En déduire pour tout % ∈ ℕ, la valeur de A_$en fonction de %.

Exercice 8 Exercice 8 Exercice 8

Exercice 8 : Un signal lumineux se déplace entre trois points ", W et F :

S’il est en A, la probabilité qu’il se déplace en B est égale à ³_{`</sub> et celle qu’il se déplace en C est égale à <sup>I</sup><sub>`}. S’il est en B, la probabilité qu’il se déplace en A est égale à ³_{`</sub> et celle qu’il se déplace en C est égale à <sup>I</sup><sub>`}. S’il est en C, la probabilité qu’il se déplace en A est égale à ³_{`</sub> et celle qu’il se déplace en B est égale à <sup>I</sup><sub>`}. Si % ∈ ℕ^∗, on note "_$ (respectivement W_$ et F_$) l’événement « le signal est en A (respectivement en B et en C) après le %^ème déplacement ».

Si % = 0, on note "_Z (respectivement W_Z et F_Z) l’événement « le signal est en A (respectivement en B et en C ) avant le premier déplacement ». Enfin, pour tout % ∈ ℕ, on note :_$ = de("_$)

e(W_$) e(F_$)f.

1) Montrer que, ∀% ∈ ℕ, :_$\3 = g:_$ où g =³_`/0 1 1 1 0 3

3 3 01. On pose h = gⁱ . 2) Montrer que les valeurs propres de h sont 1, −^I_{`</sub> et −<sup>3</sup><sub>`}.

3) Déterminer une matrice @ inversible telle que @^V3h@ =³_`/−3 0 0 0 −1 0 0 0 41.

4) a) Montrer que, ∀% ∈ ℕ, h^$ = @j^$@^V3, où j est la matrice diagonale de la question 3).

b) Calculer alors h^$ pour tout entier naturel %.

c) En déduire la valeur de g^$ pour % ∈ ℕ.

5) On suppose qu’avant le premier déplacement, le signal est en A. a) Pour tout % ∈ ℕ, calculer e("_$), e(W_$), e(F_$) en fonction de %.

b) Déterminer alors les limites de ces suites lorsque % tend vers l’infini.

Exercice 9 Exercice 9 Exercice 9

Exercice 9 : D’après EM Lyon 2008

On considère les matrices carrées d’ordre trois suivantes :

" = / 1 1 1

0 0 −1

−2 −2 −11 , W = / 2 1 1

−3 −2 −1

1 1 0 1 , j = /0 0 0

0 −1 0 0 0 11 1) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de ".

2) En déduire une matrice carrée @ d’ordre trois, inversible, de deuxième ligne (−1 1 1), telle que " = @j@^V3 et calculer @^V3.

3) Calculer la matrice F = @^V3W@ et vérifier que F est diagonale.

Exercice 10 Exercice 10 Exercice 10

Exercice 10 : D’après HEC

L’objectif de l’exercice est l’étude des endomorphismes de ℝ⁴ vérifiant l’équation (E) : H ∘ H = 4no.

Soit H l’endomorphisme de ℝ⁴dont la matrice dans la base canonique est " = √2 )1 11 −1-.

Soit A le vecteur de ℝ⁴ défini par A = (√2 − 2; √2).

1) Montrer que H vérifie l’équation (E) et déterminer le noyau et l’image de H.

2) a) Montrer que r = ns(H − 2no) est engendré par A. En déduire la dimension de t = uLv(H − 2no) et donner une base de t.

b) Vérifier que r est le sous-espace propre de H associé à la valeur propre -2.

3) Montrer que H est diagonalisable : préciser les valeurs propres de H et donner la matrice de passage de la base canonique à une base de vecteurs propres.

Exercice 11 : D’après EML 2015

Soit 6 un espace vectoriel de dimension 3. On note 0_x le vecteur nul de 6.

On note y l’application identité de 6, et z l’application constante nulle de 6 dans 6 : y: 6 → 6, P ↦ P et z: 6 → 6, P ↦ 0_x

On considère un endomorphisme H de 6 tel que :

H ≠ z, H⁴+ y ≠ z et H ∘ (H⁴+ y) = z Où H⁴désigne H ∘ H.

1. (a) Montrer que H n’est pas bijectif.

(b) En déduire que 0 est valeur propre de H, puis montrer qu’il existe A appartenant à 6 tel que : A ≠ 0_x et H(A) = 0_x

Pour la suite de l’exercice, notons }₃ un vecteur appartenant à 6 tel que : }₃ ≠ 0_x et H(}₃) = 0x

2. Montrer que : ~e(H) = 0€. (On pourra utiliser un polynôme annulateur).

3. Est-ce que H est diagonalisable ?

4. Montrer que H⁴+ y n’est pas bijectif, puis en déduire qu’il existe } appartenant à 6 tel que : } ≠ 0_x et H⁴(}) = −}.

Notons }₄ un vecteur appartenant à 6 tel que :

}₄ ≠ 0_x et H⁴(}₄) = −}₄ On note également }_I = H(}₄).

5. Montrer que : H(}_I) = −}₄.

6. (a) Montrer que la famille W = (}₃; }₄; }_I) est une base de 6. (b) Déterminer la matrice F de H dans la base W.

On considère les matrices suivantes : " = /1 0 0 0 0 0

0 0 01 et W = /0 0 0 0 1 0 0 0 11, et le sous-espace vectoriel t de ℳ_I(ℝ) engendré par ("; W; F), c’est-à-dire :

t = ‚" + ƒW + „F / (‚; ƒ; „) ∈ ℝ^I€ 7. Déterminer la dimension de t.

8. Montrer : t = g ∈ ℳ_I(ℝ)/ Fg = gF€

9.(a) Pour tout (‚; ƒ; „) ∈ ℝ^I, calculer la matrice (‚" + ƒW + „F)⁴. (b) En déduire une matrice g de ℳ_I(ℝ) telle que : g⁴ = /4 0 0

0 5 −12

0 12 5 1

10. On note † = H⁴− y.

Montrer que † est bijectif et exprimer †^V3 à l’aide de H et de y. Exercice 12 : D’après HEC 2017

Pour tout % ∈ ℕ^∗, on note ℳ_$(ℝ) l’ensemble des matrices carrées à n lignes et n colonnes à

coefficients réels et ℬ_$(ℝ) l’ensemble des matrices de ℳ_$(ℝ) dont les coefficients sont tous égaux à 0 ou 1.

1) Exemple 1 : Soit A la matrice de ℬ₄(ℝ) définie par " = )0 11 0- a) Calculer la matrice "⁴.

b) Quelles sont les valeurs propres de A ? c) La matrice A est-elle diagonalisable ?

2) Exemple 2 : Soit B la matrice de ℬ_I(ℝ) définie par W = /0 1 0 1 0 0 0 0 11 On considère les instructions et la sortie (-->) Scilab suivantes :

B=[0,1,0;1,0,0;0,0,1]

P=[1,1,0;1,-1,0;0,0,1]

Inv(P)*B*P -->

1. 0. 0.

0. -1. 0.

0. 0. 1.

a) Déduire les valeurs propres de B de la séquence Scilab précédente.

b) Déterminer une base de chacun des sous-espaces propres de B.

3)a) Combien existe-t-il de matrices appartenant à ℬ_$(ℝ) ?

b) Combien existe-t-il de matrices appartenant à ℬ_$(ℝ) dont chaque ligne et chaque colonne comporte exactement un coefficient égal à 1 ?

4) Dans cette question, n désigne un entier supérieur ou égal à 2.

Soit E un espace vectoriel de dimension n et u un endomorphisme de E. On note :

• yo l’endomorphisme identité de E ;

• F le noyau de l’endomorphisme A − yo et G le noyau de l’endomorphisme A + yo ;

• p la dimension de F et q la dimension de G.

On suppose que A ∘ A = yo.

a) Justifier que l’image de A − yo est incluse dans F.

b) En déduire l’inégalité : e + ˆ ≥ %.

On suppose désormais que 0 ≤ e < ˆ. Soit (H₃, H₄, … , H_) une base de Fet Ž†₃, †₄, … , †_ une base de G.

c) Justifier que (H₃, H₄, … , H_, †₃, †₄, … , †_) est une base de E.

d) Calculer A(†₃− H₃) et A(†₃+ H₃).

e) Trouver une base de E dans laquelle la matrice de u appartient à ℬ_$(ℝ).