On introduit aussi le crochet de deux endomorphismes :

Énoncé

Soit E un R espace vectoriel de dimension nie. Pour un entier n et un endomorphisme f de E , on désigne par f ⁿ la composée de f par lui même n fois.

On introduit aussi le crochet de deux endomorphismes :

∀(f, g) ∈ L(E) ² , [f, g] = f ◦ g − g ◦ f

On s'intéresse aux familles libres (f, g) d'endomorphismes de E vériant [f, g] ∈ Vect(f, g)

On considère plus particulièrement les cas où au moins l'un des deux endomorphismes est un projecteur. On notera P (E) l'ensemble des projecteurs de E .

Partie I. Trace, projecteurs, crochet.

1. Questions de cours.

a. Justier la possibilité de dénir la trace d'un endomorphisme.

b. Rappeler la dénition d'un projecteur, d'une projection et la relation entre les deux. On ne demande pas de démonstration.

c. Soit p un projecteur. Montrer que

tr(p) = rg(p), Im(p) = ker(p − Id E ), ker(p) = Im(p − Id E ) 2. Propriétés des projecteurs. Soit p et q deux projecteurs.

a. Montrer que

p ◦ q = q ⇔ Im q ⊂ Im p, p ◦ q = p ⇔ ker q ⊂ ker p b. Soit R , la relation binaire dénie sur P (E) par :

∀(p, q) ∈ P(E) ² , p R q ⇔ p ◦ q = q ◦ p = p

Comment caractériser p R q par des relations entre noyaux et images ? Montrer que R est une relation d'ordre sur P (E) .

c. Soit p un projecteur et λ ∈ R \ {0, 1} . Montrer que p−λ Id E est un isomorphisme.

3. Propriétés du crochet.

a. Montrer que : ∀(f, g) ∈ L(E) ² , tr([f, g]) = 0, [g, f] = −[f, g] . Montrer que l'application, pour f ∈ L(E) xé,

( L(E) → L(E) g 7→ [f, g]

est linéaire.

b. Le crochet n'est pas associatif mais il vérie une autre relation. Calculer [f, [g, h]] + [g, [h, f]] + [h, [f, g]]

pour tout (f, g, h) ∈ L(E) ³ (identité de Jacobi).

c. Soit (f, g) une famille libre d'endomorphismes de E vériant [f, g] ∈ Vect(f, g) . On note V = Vect(f, g) , montrer que V est stable pour l'opération crochet.

Partie II. Un exemple de projecteur.

Dans cette partie, E = R ⁴ . La base canonique est notée E = (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) . On dénit p ₀ ∈ L(E) par

Mat E (p 0 ) = A avec A = − 1 3









−2 −1 2 0

0 −3 0 0

1 −1 −1 0

0 0 0 0









1. Montrer que p 0 est un projecteur.

2. a. Montrer que (e 1 + e 3 , e 4 ) est une base de ker p 0 et (−2e 1 + e 3 , e 1 + 3e 2 + e 3 ) est une base de Im p 0

b. Montrer que (−2e 1 + e 3 , e 1 + 3e 2 + e 3 , e 1 + e 3 , e 4 ) est une base de E . Exprimer la matrice de p 0 dans cette base.

3. Soit B une base de E telle que, en adoptant la notation de matrices par blocs et I r

désignant la matrice carrée identité d'ordre r , Mat _B (p ₀ ) =

I _r 0 0 0

avec r = rg p ₀

Déterminer, dans B , la forme de la matrice d'un projecteur q vériant p 0 R q .

Partie III. Plans stables pour le crochet.

Dans cette partie, (f, g) est une famille libre d'endomorphismes de E tels que

[f, g] 6= 0 _L(E) et [f, g] ∈ V avec V = Vect(f, g)

1. On suppose que [f, g] ∈ Vect(f ) . Plus précisément, ∃α ∈ R ^∗ tel que [f, g] = αf . a. Montrer que ∀k ∈ N ^∗ , [f ^k , g] = αkf ^k .

b. Montrer que,

∀k ∈ N , f ^k 6= 0 _L(E) ⇒ (id, f, f ² , · · · , f ^k ) libre dans L(E)

En déduire l'existence d'un entier n tel que f ⁿ = 0 _L(E) . On dira que f est nil- potent.

2. Montrer que [f, g] ∈ Vect(g) entraîne g nilpotent.

3. On suppose que f et g sont deux projecteurs. Comme [f, g] ∈ V , il existe des réels α , β tels que

[f, g] = αf + βg a. Montrer que α et β sont non nuls.

b. Montrer que

[f, g] = α (f ◦ g + g ◦ f ) + 2βg En déduire

α(1 − α) f = 2αg ◦ f + β(1 + α)g et β (1 − α) g = −2αf ◦ g + α(1 + α)f c. Montrer que α = 1 entraîne f ◦ g = f et g ◦ f = g .

d. Montrer que α 6= 1 entraîne g ◦ f = f et f ◦ g = g .

e. Décrire, en précisant les relations entre les noyaux et les images, les projecteurs f et g satisfaisant aux conditions imposées dans cette question. Que vaut alors leur crochet ?

4. Soit p 0 le projecteur de la partie II. et B la base de la question II.3..

a. Préciser la forme de la matrice dans B d'un projecteur g vériant [p 0 , g] = −p 0 +g . b. Préciser la forme de la matrice dans B d'un projecteur g vériant [p 0 , g] = p 0 − g .

Corrigé

Partie I. Trace, projecteurs, crochet.

1. Questions de cours.

a. La possibilité de dénir la trace d'un endomorphisme repose sur les résultats suivants.

Pour deux matrices carrées A et B : tr(AB) = tr(BA) .

La propriété précédente entraîne que deux matrices semblables ont la même trace.

Comme toutes les matrices représentant un même endomorphisme dans des bases quelconques sont semblables d'après la formule de changement de base, elles ont la même trace. On choisit ce nombre comme dénition de la trace de l'endomorphisme.

b. Un endomorphisme f est projecteur si et seulement si f ◦ f = f .

Une projection est attachée à un couple de sous-espaces supplémentaires. Si A et B sont deux sous espaces supplémentaires, tout vecteur x de E se décompose de manière unique en x = a + b avec a ∈ A et b ∈ B . La projection sur A parallélement à B est l'endomorphisme qui x → a .

Si p est un projecteur, les sous-espaces ker p et Im p sont supplémentaires et p est la projection sur Im p parallélement à Ker p .

c. Soit p un projecteur de rang r dans un espace E de dimension n . Considérons une base de E (a 1 , · · · , a r , a r+1 , · · · , a n ) telle que (a 1 , · · · , a r ) soit une base de Im p (car r = dim Im(p) ) et (a r+1 , · · · , a n ) une base de ker p . la dimension du noyau est n − p d'après le théorème du rang. Dans cette base, la matrice est J r (n) (nulle sauf r termes égaux à 1 pour les indices i, i pour i de 1 à r ) dont la trace est r = rg(p) .

Pour un projecteur p , d'après les propriétés rappelées au début, Id _E = p + q où q = Id _E −p est la projection sur ker parallélement à Im p . On en tire Im p = ker(Id _E −p) = ker(p − Id _E ) . L'autre relation s'obtient en échangeant les rôles de p et q .

2. Propriétés des projecteurs. Attention, dans cette question, q désigne un projecteur quelconque et non Id E −p comme dans la question précédente.

a. La condition p ◦ q = q est équivalente à (p − Id E ) ◦ q = 0 _L(E) ; donc à Im q ⊂ ker(p − Id E ) avec ker(p − Id E ) = Im p La condition p ◦ q = p est équivalente à p ◦ (q − Id E ) = 0 _L(E) ; donc à

Im(q − Id E ) ⊂ ker p avec Im(q − Id E ) = ker q

b. D'après la question précédente p ◦ q = p ⇔ ker q ⊂ ker p

q ◦ p = p ⇔ Im p ⊂ Im q )

⇒ pRq ⇔

( ker q ⊂ ker p Im p ⊂ Im q

!

La relation R est réexive car ker p ⊂ ker p et Im p ⊂ Im p . La relation est transitive car, pour trois projecteurs p , q , r :

pRq qRr )

⇒

( ker r ⊂ ker q ⊂ ker p

Im p ⊂ Im q ⊂ Im r ⇒ pRr La relation est antisymétrique car

pRq qRp )

⇒

( ker q = ker p

Im p = Im q ⇒ p = q car les projecteurs sont caractérisés par leurs noyaux et images.

c. Soit λ ∈ R et x ∈ ker(p − λ Id _E . Alors p(x) = λx . De p ◦ p = p , on tire alors λ ² x = x . Si λ est diérent de 0 et 1 alors x est nul donc p − λ Id _E est injective donc bijective.

3. Propriétés du crochet.

a. La trace d'un crochet est nulle car la trace d'une composée est indépendante de l'ordre des endomorphismes dans la composition. L'antisymétrie et la linéarité sont évidentes à partir de la dénition du crochet et de la linéarité des endomor- phismes.

b. L'identité de Jacobi se vérie par linéarité et permutation circulaire.

c. Soit (f, g) une famille libre d'endomorphismes tels que [f, g] ∈ V = Vect(f, g) . On considère deux endomorphismes quelconques ϕ 1 et ϕ 2 dans V . On vérie par le calcul (linéarité de f et g ) que

ϕ ₁ = α ₁ f + β ₁ g ϕ 2 = α 2 f + β 2 g

)

⇒ [ϕ 1 , ϕ 2 ] = (α 1 β 2 − α 2 β 1 )[f, g] ∈ V

Ce qui montre bien que V est stable pour le crochet.

Partie II. Un exemple de projecteur.

1. Le calcul du produit matriciel conduit à

Mat _E (p ² ₀ ) = (Mat _E (p ₀ )) ² = A ² = A = Mat _E (p ₀ ) On en déduit que p ² ₀ = p ₀ donc p ₀ est un projecteur.

2. a. Les matrices colonnes dans E des 4 vecteurs u 1 , u 2 , u 3 , u 4 que l'énoncé nous pro- pose sont respectivement







 1 0 1 0







 ,







 0 0 0 1







 ,









−2 0 1 0







 ,







 1 3 1 0







 ,

Le produit matriciel par A conduit respectivement aux colonnes







 0 0 0 0







 ,







 0 0 0 0







 ,









−2 0 1 0







 ,







 1 3 1 0







 ,

On en déduit que u ₁ , u ₂ sont dans le noyau et u ₃ , u ₄ sont dans l'image. Il est clair que chacune de ces deux familles de deux vecteurs est libre ( e ₄ gure dans u ₂ mais pas dans u ₁ , e ₂ gure dans u ₄ mais pas dans u ₃ ). De plus, le calcul de la trace montre que le rang est 2. D'après le théorème du rang, les deux espaces sont des plans donc les familles libres à deux éléments sont des bases.

b. On note U = (u 3 , u 4 , u 1 , u 2 ) . Comme p 0 est un projecteur, le noyau et l'image sont supplémentaires donc la concaténation des deux bases forme une base de l'espace. Dans cette base, la matrice est

Mat _U (p 0 ) =









1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0









3. Notons B = (b 1 , · · · , b n ) . La forme indiquée par l'énoncé signie que (b 1 , · · · , b r ) est une base de Im(p 0 ) et que (b r+1 , · · · , b n ) est une base de ker p 0 . D'après la caractérisation de I.2.b.

p ₀ Rq ⇔

( ker q ⊂ Vect(b r+1 , · · · , b n )

Vect(b ₁ , · · · , b _r ) ⊂ Im q ⇔ q(b ₁ ) = b ₁ , · · · q(b _r ) = b _r

La matrice de q doit donc être de la forme suivante (avec des blocs) Mat _B (q) =

I r P 0 _M

_n−r,r

( R ) Q

Comme il s'agit d'une matrice de projection, elle est égale à son carré d'où ( P + P Q = P

Q ² = Q ⇔

( P Q = 0 Q ² = Q

Exploitons la propriété ker q ⊂ Vect(b r+1 , · · · , b n ) . Le haut d'une colonne dans le noyau doit être nul. Cela se traduit avec des matrices colonnes X et Y de bonnes tailles par :

I r P 0 _M

_n−r,r

_{( R )} Q

X Y

=





 0 ...

0





 ⇒ X = 0 c'est à dire, en calculant par blocs,

X + P Y = 0 QY = 0 )

⇒ X = 0

On en déduit que ker Q ⊂ ker P car sinon on aurait dans le noyau une colonne avec une partie non nulle dans le haut. Or ker Q = Im(I −Q) donc 0 = P(I −Q) = P −P Q = P . Plus simplement, on aurait pu utiliser la dénition de la relation. En particulier

p 0 ◦ q = p 0 ⇒ I r 0

0 0

I r P

0 Q

= I r 0

0 0

⇒ P = 0 en considérant le bloc en haut à droite.

Finalement, la matrice de q est de la forme Mat _B (q) =

I r 0 _M

_r,n−r

_{( R )}

0 _M

_n−r,r

_{( R )} Q

avec Q ² = Q (matrice de projection)

Partie III. Plans stables pour le crochet.

1. a. On raisonne par récurrence sur l'entier k . la formule est valable pour k = 1 . De plus, en composant à droite par f

f ^k ◦ g − g ◦ f ^k = kαf ^k ⇒ f ^k ◦ g ◦ f

| {z }

f◦g−[f,g]

− g ◦ f ^k+1 = kαf ^k+1

⇒ [f ^k+1 , g] − αf ^k ◦ f = kαf ^k+1 ⇒ [f ^k+1 , g] = (k + 1)αf ^k+1

b. On procède encore par récurrence. Comme [f, g] n'est pas nul, f n'est pas dans Vect(Id E ) donc la famille (Id E , f ) est libre. La propriété à démontrer est donc vériée pour l'ordre 1 .

Montrons que l'ordre k − 1 entraîne l'ordre k . Supposons f ^k non identiquement nul et considérons des λ ₀ , λ ₁ , · · · , λ _k réels tels que

λ 0 Id E +λ 1 f + · · · + λ k f ^k = 0 _L(E) (1)

On peut alors crocheter par g à droite (linéarité de II.3.a. et exploiter la question précédente. Comme [Id E , g] est nul, on en tire

λ ₁ αf + 2λ ₂ αf ² + · · · + kλ _k αf ^k = 0 _L(E) On peut simplier par α 6= 0 .

λ 1 f + 2λ 2 f ² + · · · + kλ k f ^k = 0 _L(E) (2)

En formant k(1) − (2) , on fait baisser baisser l'exposant maximal du f : (k − 0)λ ₀ Id _E +(k − 1)λ ₁ f + · · · + (k − (k − 1))λ _k−1 f ^k−1 = 0 _L(E) (3) D'après l'hypothèse de récurrence, (Id _E , f, · · · , f ^k−1 ) est libre. On en déduit que les λ _k sont nuls, d'abord entre 0 et k − 1 puis pour le dernier restant car f ^k est non nul.

L'espace vectoriel L(E) est de dimension nie dim(E) ² . La famille de dim(E) ² + 1

vecteurs

Id _E , f, · · · , f ^dim(E)

²

est donc liée. On en déduit qu'il existe un n < dim(E) ² tel que f ⁿ soit identique- ment nul. l'endomorphisme f est forcément nilpotent.

2. Comme [g, f ] = −[f, g] , l'hypothèse [f, g] ∈ Vect(g) entraîne [g, f] ∈ Vect(g) . On est ramené aux résultats de la question précédente en échangeant les rôles de f et g . On en déduit g nilpotent.

3. a. Si α est nul, on se retrouve dans le cas [f, g] ∈ Vect(g) qui entraîne g nilpotent.

Or g étant un projecteur, g ⁿ = g donc g devrait être nul. De même si β est nul.

b. On compose la relation fondamentale [f, g] = αf + βg à gauche et à droite par g puis on ajoute les relations obtenues :

f ◦ g − g ◦ f ◦ g = α f ◦ g + βg à droite g ◦ f ◦ g − g ◦ f = α g ◦ f + βg à gauche

[f, g] = α (f ◦ g + g ◦ f ) + 2βg en ajoutant

On peut écrire de deux manières le f ◦ g + g ◦ f de la dernière relation : f ◦ g + g ◦ f =

( [f, g] + 2g ◦ f ⇒ (1 − α)[f, g] = 2αg ◦ f + 2βg (1) 2f ◦ g − [f, g] ⇒ (1 + α)[f, g] = 2αf ◦ g + 2βg (2) En utilisant [f, g] = αf + βg , on déduit :

(1) ⇒ α(1 − α)f = 2αg ◦ f + (β(α − 1) + 2β) g = 2αg ◦ f + β (α + 1)g (2) ⇒ (β(α + 1) − 2β)

| {z }

=−β(1−α)

g = 2αf ◦ g − α(1 + α)f

c. Si α = 1 , les relations de la question b. deviennent, après simplication par 2 , g ◦ f + βg = 0 _L(E) et f ◦ g = f

La première s'écrit encore g ◦ (f + β Id _E ) = Id _E . Comme g n'est pas l'endo- morphisme nul, f + β Id E n'est pas bijective. La question I.2.c montre alors que β ∈ {0, −1} . Comme β 6= 0 d'après la question a. on doit avoir β = −1 d'où

g ◦ f = g et f ◦ g = f

d. Si α 6= 1 , les relations de la question b. permettent d'écrire, après division par α(1 − α) 6= 0 et β(1 − α) 6= 0

∀x ∈ E,



 



 



f (x) = 1

α(1 − α) g (2αf(x) + β(1 + α)x) g(x) = 1

β(1 − α) f (−2αg(x) + α(1 + α)x)

⇒

( Im f ⊂ Im g Im g ⊂ Im f

Comme f et g sont des projecteurs, avec les caractérisations de I.2.a., on déduit Im f ⊂ Im g ⇔ g ◦ f = f, Im g ⊂ Im f ⇔ f ◦ g = g

e. Les résultats de a., c. et d. permettent d'analyser les conditions imposées dans cette question. Si un couple de projecteurs (f, g) vérie ces conditions alors seule- ment deux cas sont possibles.

Cas 1 : [f, g] = f − g avec f ◦ g = f g ◦ f = g

)

⇔

( ker g ⊂ ker f ker f ⊂ ker g

Ceci se produit si et seulement si les deux projecteurs ont le même noyau.

Cas 2 : [f, g] = −f + g avec f ◦ g = g g ◦ f = f

)

⇔

( Im g ⊂ Im f Im f ⊂ Im g

Ceci se produit si et seulement si les deux projecteurs ont la même image.

4. a. D'après la question précédente, [p ₀ , g] = −p 0 + g si et seulement si p ₀ et g ont la même image. Dans une base B adaptée à p ₀ , la matrice de g est de la forme (avec des blocs)

M =

I r P 0 0

avec P ∈ M _r,n−r ( R ) La relation M ² = M est toujours vériée pour une telle matrice.

De même [p 0 , g] = p 0 − g si et seulement si p 0 et g ont le même noyau. Dans une base B , la matrice de g est de la forme

M = P 0

Q 0

avec M ² = M ⇔

( P ² = P QP = Q

De plus, la matrice P doit être inversible sion on trouverait un vecteur non nul dans le noyau mais en dehors de ker p 0 . On en déduit que Q ne peut être que I r . La matrice doit être de la forme

I r 0 Q 0

avec Q ∈ M _n−r,r ( R )

Toutes les matrices de cette forme conviennent.