Cours du mercredi 30 avril 2003
Matrices dans des bases données, changement de base, déterminants.
1. Matrice dans des bases données : Si E est un espace vectoriel de dimension finie n,F un espace vectoriel de dimension finie m, si
1, 2, , n
e e e e est une base de E,
1, 2, , m
f f f f une
base de F, on définit la matrice d’une application linéaire f E: F de la façon suivante : Pour tout entier 1 j n, on décompose
1 i m
j ij i
i
f e a f
. La matrice de f dans les bases données est
alors
11 1
1
mat
n
m mn
a a
f
a a
Si l’on ajoute un espace vectoriel G, une application g F: G, et une base
1 2, , , p
g g g g
de G, si B est la matrice de g pour les bases f et g, la matrice de gof dans les bases e et g est le produit de matrices BA.
2. Effet d’un changement de bases sur la matrice d’une application linéaire : Le contexte est celui de 1. On se donne en outre deux nouvelles bases
1, 2, , n
e e e e
pour E et
1, 2, , m
f f f f
pour F. On appelle A
la matrice de f relativement aux bases
e
et
f
. La question es de calculer A
en fonction de A.
Définition : On appelle matrice de passage P de la base e à la base
e
la matrice ainsi obtenue :
pour chaque entier 1 j n, on décompose
1 i n
j ij i
i
e e
, alors
11 1
1
n
n nn
P
.
De la même façon, on définit une matrice de passage Q de la base
f à la base
f
. Théorème : La matrice A s’obtient de la façon suivante
A Q AP1
3. Introduction aux déterminants : Étude en dimension 2
Soit un système linéaire de deux équations à deux inconnues : ( ): ax by c
S a x b y c
, les coefficients et les inconnues sont dans le corps K. Si l’on multiplie la première équation par b’, la seconde par ! b et que l’on ajoute ces deux équations transformées, il vient : (ab ! a b x ) cb ! c b , en éliminant maintenant x, on aboutit à l’équation : (ab"$# a b y" ) % c a"&# ca"
. Ainsi, le système (S) implique le système ( ): ( )
( )
! !
! !
RS T
S ab a b x cb c b ab a b y c a ca . Il est clair que si le nombre ' ab ! a b n’est pas nul, ce système a une unique solution, aisément
calculable x cb c b
ab a b y c a ca ab a b
!
! !
!
, (ce sont les formules de Cramer), et l’on peut vérifier sans peine que c’est aussi une solution de (S) qui a donc, dans le cas de la non nullité de ' une unique solution.
Si maintenant ' 0 , il apparaît que les équations homogènes ax by 0,a x b y 0 sont liées, ou mieux, que les formes linéaires définies sur K2 par ( )x ax by , ( )x a x b y le sont, en effet, on a b ! b 0 , de même que a ! a 0 , et si les nombres a,b,a’,b’ sont tous nuls, cela est vrai aussi. Ainsi, si un couple ( , )x y est solution de (S), on doit avoir
0 et 0
a c ac b c bc
! !
, donc, pour résumer :
Lorsque le nombre ' ab ! a b est différent de 0, le système (S) a une unique solution.
Lorsque le nombre ' ab ! a b est nul, soit on a a c ac ! 0 et b c bc ! 0, alors le système (S) est équivalent à l’une de ses équations non nulles, soit a c ac ! 0 ou b c bc ! 0, alors le système n’a pas de solution.
Le nombre ' ab ! a b qui joue un rôle aussi important pour le système (S) est baptisé le déterminant du système, et se note a b
a b . Il teste la linéaire dépendance des formes linéaires et
. On peut en donner une interprétation géométrique intéressante : lorsque l’on se place dans l’espace usuel de la géométrie euclidienne et qu’on le munit d’une base orthonormale, le déterminant a b
a b a pour valeur absolue l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs
u ai a j et
u bi b j . Pour une naïve et belle démonstration, on pourra utiliser la figure ci- contre : Il suffit, dans le cas de figure donné, d’exprimer l’aire du parallélogramme
P. SILICI
