I. La figure ci-contre est constituée de carrés de côté 1. x est un réel compris entre 0 et 7 et f( x) est l aire de la partie grisée sur la figure.

DEVOIR A LA MAISON N°7 2

7.

Pour le jeudi 4 février 2017.

SUJET A (vers la 1èreS)

I. La figure ci-contre est constituée de carrés de côté 1. x est un réel compris entre 0 et 7 et f( x) est l aire de la partie grisée sur la figure.

1. Déterminer f (1), f(3), f (5).

2. Exprimer f(x ) en fonction de x (3 formules : pour x entre 0 et 2, pour x entre 2 et ….)

3. Tracer la courbe représentative de f. f est une fonction affine par morceaux.

II. On se propose dans cet exercice, d’étudier l’évolution de la consommation d’eau minérale des Français depuis 2007 Le tableau suivant donne l’évolution de cette consommation, en litre par personne entre 2007 et 2016.

Année 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016

Rang de l'année x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Consommation en litres y

117 116 122 134 142 146 152 150 155 166 1. Construire le nuage de points associé à cette série statistique (c'est-à-dire les points de

coordonnées ( ^x

y

) ) dans un repère d'unités graphiques : 1carreau pour une année sur l'axe des abscisses, 1 carreau pour 5 L sur l'axe des ordonnées (graduer l'axe des ordonnées à partir de 100 L jusqu’à 200L).

2. Pourquoi semble-t-il pertinent d approcher ce nuage de points par une droite

3. Calculer la moyenne x des valeurs de x

et la moyenne y des valeurs de y

. Soit G le point de coordonnées G ( ^{x y} ) . G est le point moyen. Le placer sur le graphique.

4. Soit A le point de coordonnées (1,5 ; 125). Tracer la droite (AG ).

On suppose que la consommation se poursuit jusqu en 2040 selon le modèle donné par la droite (AG).

5. Estimer graphiquement la consommation d’eau minérale par les Français en 2022. Laisser les traits de construction.

6. Déterminer graphiquement à partir de quelle année la consommation dépassera 180L. Laisser les traits de construction.

7. Déterminer la fonction affine dont la représentation graphique est la droite ( AG).

8. Retrouver par le calcul le résultat des questions 5 et 6.

DEVOIR A LA MAISON N°7 2

7.

Pour le jeudi 4 février 2017.

SUJET B (plus facile)

I. f est la fonction affine telle que f(2) 9 et f(5) 1.

1. Déterminer l’expression de f (x ) en fonction de x.

2. Résoudre par le calcul f( x) 2.

3. Donner le tableau de variations de la fonction f. Justifier.

4. Construire le tableau de signes de f( x).

II. Pour chacune des fonctions suivantes, dire si elle est affine. Dans ce cas, préciser son coefficient directeur, son ordonnée à l’origine, son sens de variation et construire son tableau de signes.

1. f( x) 2 x+3 2. f( x) 5+4 x 3. f( x) 1

x+2

4. f( x) ( x+1)( x+2)+ x² 5. f( x) ( x+2)(2 x−1)+ x²

III. Déterminer les fonctions affines associées aux droites ci-dessous. Justifier.

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°7. 2de7 SUJET A (vers la 1èreS)

I.

1. f(1) 1 1 1 ; f(3) 2 1 2 4 ; f (5) 8.

2. Si 0 x 2, f( x) x

Si 2 x 5, f( x) 2 2( x 2) Si 5 x 7, f( x) 8 4( x 5) 3.

II.

1.

2. Un ajustement linéaire paraît pertinent car les points sont presque alignés.

3. x = 4,5 et y = 140 donc G(4,5 ; 140).

4. On place A et G puis on trace la droite.

5. 2022 est l année de rang 15. On se place sur 15 sur l axe des abscisses et on monte jusqu à la droite.

La consommation d’eau minérale par les Français en 2022 sera environ 190 L par personne.

6. On se place sur 180 sur l axe des ordonnées et on se déplace jusqu à la droite.

La consommation dépassera 180L en 2020 (année 13).

7. f est une fonction affine donc son expression algébrique est de la forme f ( x) a x b avec a et b des réels.

a f (4,5) f (1,5) 4,5 1,5

140 125 4,5 1,5 5.

f (1,5) 125 donc 125 = 5 1,5 + b, c'est-à-dire b = 125 7,5 = 117,5.

L expression algébrique de f est f (x ) 5 x 117,5.

8. 2022 est l année 15 donc on remplace x par 15 : f (15) 5 15 117,5 192,5.

La consommation sera d environ 192,5 L par personne en 2022.

f (x ) 180  5x 117,5 180  5x 62,5  x 12,5

La consommation dépassera 180L par personne l année de rang 13, c'est-à-dire en 2020.

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°7. 2de7 SUJET B (plus facile)

I. f est la fonction affine telle que f(2) 9 et f(5) 1.

1. f est une fonction affine donc son expression algébrique est f( x) ax b avec a et b des réels.

a f (5) f (2) 5 2

1 9 3

8 3 . f (2) 9 donc 8

3 2 b 9, c'est-à-dire b 9 16 3

43 3 L expression algébrique de f est f (x ) 8

3 x 43 3 . 2. f( x) 2  8

3 x 43

3 2  8

3 x 2 43

3  8

3 x 37

3  x

37 3 8 3

car 8 3 0.

 x 37 8 L ensemble des solutions de l inéquation f( x) 2 est S

 

  37

8 . 3. Le coefficient directeur de f est a 8

3 0 donc la fonction f est décroissante sur . On a le tableau de variations :

x + f( x)

4. f( x) 0  8 3 x 43

3 0  8

3 x 43

3  x

43 3

8 3

43

8 et a 0 donc on a le tableau de signes :

x 43/8 +

f( x) +

II.

1. f( x) 2x 3. f est affine. Son coefficient directeur est − 2 et son ordonnée à l’origine est 3.

− 2 < 0 donc f est décroissante.

2x 3 0  x 3

2 et a 0 donc on a le tableau de signes : x 3/2 +

f( x) +

2. f( x) 5 4x. f est affine. Son coefficient directeur est 4 et son ordonnée à l’origine est − 5.

4 > 0 donc f est croissante.

4x−5 0  x 5

4 et a>0 donc on a le tableau de signes : x 5/4 +

f( x) +

3. f( x) 1

x+2 f n’est pas affine

4. f( x) ( x 1)( x 2) x² x² x 2 x 2 x² 3x 2. f est affine. Son coefficient directeur

est 3 et son ordonnée à l’origine est 2. 3 > 0 donc f est croissante.

3x 2 0

x 2/3 et a>0 donc on a le tableau de signes : x 2/3 +

f( x) +

5. f( x) ( x 2)(2 x−1) x² 2x² 4 x− x−2 x² 3 x² 3x −2. f n’est pas affine.

III. Soient f la fonction affine représentée par la droite D1 et g la fonction affine représentée par la droite D2.

Pour D1 : D1 coupe l axe des ordonnées au point de coordonnées (0 3) donc f (x) ax 3 où a est un réel.

a 4

6 2

3 (déplacement vertical/déplacement horizontal) Donc f est définie sur par f (x ) 2

3 x 3.

Pour D2 : D2 coupe l axe des ordonnées au point de coordonnées (0 1) donc g( x) ax 1 où a est un réel.

a 2

1 2 (déplacement vertical/déplacement horizontal)

Donc g est définie sur par g( x) 2x 1