On obtient alors le tableau suivant : x f0(x) f

TSTMG 13 DST4 10 d´ecembre 2016 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.

Exercice 1 : ´Etude des variations d’une fonction (10 minutes) (3 points) Soit f d´efinie surRparf(x) = 2x²−3x+ 2.

1. Calculerf⁰(x) pour tout r´eel x.

2. D´eterminer le tableau de signes def⁰(x) puis de variations def sur R. Solution:

1. f⁰(x) = 4x−3

2. 4x−3 = 0 ssi x= ³₄. On obtient alors le tableau suivant : x

f⁰(x) f

−∞ ³₄ +∞

− 0 +

Exercice 2 : ´Ev´enements (5 minutes) (3 points)

Dans l’univers d’une ´epreuve al´eatoire,F etGsont des ´ev´enements tels quep(F) = ¹₃,p(G) = ³₄ etp_F(G) = ³₄. 1. D´eterminer p( ¯F)

2. Calculerp(F∩G) puis p_G(F) Solution:

1. p( ¯F) = 1−p(F) = ²₃

2. p(F ∩G) =p(F)×p_F(G) = ¹₃ ׳₄ = ¹₄ p_G(F) =p(F ∩G)

p(G) =

1 4 3 4

= ¹₃

Exercice 3 : Faire un algo avec une suite pour et une somme (15 minutes) (5 points) On consid`ere l’algorithme suivant :

VARIABLES i, n, u

ENTR ´EE Saisir n

TRAITEMENT u prend la valeur 2 Pour iallant de 1 `an

u prend la valeur 4×u Afficher u

Fin Pour

i 1 2

u

On choisit n= 3.

1. Remplir le tableau ci-dessus (toutes les colonnes ne seront pas remplies) : 2. Quelle est l’affichage finale ?

3. Quelle suite a t’on mod´elis´e ? 4. Exprimeru_n en fonction de n.

5. Expliquer les lignes `a changer pour n’afficher que le dernier terme.

Solution:

1.

i 1 2 3

u 2 8 32 128

T13 DST2 Page 2 sur 3 2. L’algorithme affiche 8, 16, 64.

3. On a mod´elis´e la suite (un) d´efinie par u0 = 2 etun+1= 4×un. 4. un= 2×4ⁿ

5. Il suffit d’inverser les deux derni`eres lignes.

Exercice 4 : Probl`eme de proba (15 minutes) (5 points)

En 2013, le parc automobile fran¸cais s’´elevait `a 38,204 millions de v´ehicules, parmi lesquels on comptait 31,622 millions de voitures particuli`eres, les autres v´ehicules ´etant des utilitaires l´egers ou des v´ehicules lourds (Source INSEE).

D’autre part, on sait que :

— 62 % des voitures particuli`eres sont des v´ehicules diesel ;

— parmi les autres v´ehicules, 6 % sont des v´ehicules essence.

On choisit au hasard un v´ehicule dans le parc automobile fran¸cais.

On consid`ere les ´ev`enements suivants :

V :Le v´ehicule choisi est une voiture particuli`ere.

D :Le v´ehicule est un v´ehicule diesel.

1. a. Justifier que la probabilit´e p(V), arrondie au milli`eme, est ´egale `a 0,828.

b. Traduire math´ematiquement les deux autres donn´ees de l’´enonc´e.

2. Compl´eter l’arbre de probabilit´e.

3. On arrondira les probabilit´es au milli`eme

a. Calculer la probabilit´e que le v´ehicule choisi soit une voiture particuli`ere roulant au diesel.

b. On suppose que le v´ehicule choisi est une voiture particuli`ere.

Quelle est la probabilit´e qu’elle ne roule pas au die- sel ?

V¯

D¯ D V

D¯ D

Solution:

1. a. p(V) = 31,622

38,204≈0,828.

b. pV(D) = 0,62 et pV¯(D) = 0,06

2.

V¯

D¯ 0,06

D 0,94

0,172

V

D¯ 0,38

0,62 D 0,828

3. a. p(V∩D) = 0,828×0,62≈0,513. La probabilit´e que le v´ehicule choisi soit une voiture particuli`ere roulant au diesel est 0,142.

b. p_V( ¯D) = 0,38. La probabilit´e que le v´ehicule choisi ne roule pas aus diesel sachant que c’est une voiture particuli`ere est 0,38.

Exercice 5 : Nombre de cartes PANINI (10 minutes) (4 points)

Rodolphe est un passionn´e de carte PANINI. Par passion, il a pris comme r´esolution du novel an 2017 d’en acheter chaque mois 2 de plus que le mois pr´ec´edent. Il sait d´ej`a qu’en janvier 2017, il en ach`etera 5.

On note un le nombre de cartes achet´es en le moisn (le mois 0 correspond `a janvier). On a donc u0 = 5.

1. (a) Monter queu₁= 7 puis calculer u₂.

T13 DST2 Page 3 sur 3 (b) D´eterminer et justifier la nature de la suite (u_n). Pr´eciser sa raison.

(c) Exprimer le terme g´en´eral u_nen fonction de n.

2. Rodolphe d´ecide de compter le nombre de cartes qu’il aura en d´ecembre 2017 s’il continue sur ce rythme.

Sa copine Coline lui propose l’algorithme suivant permettant de calculer cette somme. Compl´eter cette algorithme pour qu’il r´eponde `a la question.

Variables : nest du type nombre entier u est du type nombre r´eel S est du type nombre r´eel D´ebut algorithme : u prend la valeur . . . (1)

S prend la valeur . . . (2) Pour nallant de 1 `a . . . (3)

D´ebut Pour

u prend la valeur . . . (4) S prend la valeur . . . (5) Fin Pour

Sortie : Afficher . . . (6)

Solution:

1. a. u1 =u0+ 2 = 7 etu2=u1+ 2 = 9.

b. (u_n) est une suite arithm´etique de raison 2 et de premier terme u₀ = 5.

c. Pour tout entiern,u_n= 5 + 2n

2.

Variables : nest du type nombre entier u est du type nombre r´eel S est du type nombre r´eel D´ebut algorithme : u prend la valeur 5

S prend la valeur 5 Pour nallant de 1 `a 11

D´ebut Pour

u prend la valeur u + 2 S prend la valeur S + u Fin Pour

Sortie : Afficher S