Chapitre 7. Lois de probabilit´ e
Manuel p.116.
1. Rappels sur la loi binomiale
A. Reconnaˆıtre une loi binomiale
On a uneloi binomialelorsque l’exp´erience adeux issues, et qu’elle estr´ep´et´ee de fa¸con ind´ependante.
Les points de r´edaction sont sur les termes en gras italiqueci-dessus.
Lesparam`etresde la loi binomiale sont :
• n: valeur enti`ere g´en´eralement plus grande que 1, le nombre de fois que l’exp´erience est r´ep´et´ee
• p: valeur d´ecimale comprise entre 0 et 1 (ou pourcentage ou fraction mis sous forme d´ecimale), c’est la probabilit´e de succ`es lorsque l’on fait l’exp´erience une seule fois.
On dit alors que l’on a uneloi binomiale de param`etresn et p, et l’on noteB(n, p).
L’esp´erance de la loi binomiale est
E(X) =n×p
L’esp´erance est l’´equivalent de la moyenne, pour faire simple : c’est ’l’esp´erance moyenne de gain”, s’il s’agit d’un jeu.L’´ecrat-type de la loi binomiale est
σ(X) =p
np(1−p)
L’esp´erance est l’´equivalent de la moyenne, pour faire simple : c’est ’l’esp´erance moyenne de gain”, s’il s’agit d’un jeu.
B. Calculer les probabilit´ es pour une loi binomiale : ` a la calculatrice
La calculatrice permet de d´eterminer p(X = k) et p(X ≤ k) directement. Dans le tableau ci-dessous on
s’int´eresse `a une variable al´eatoireX qui suit une loi binomiale de param`etresn∈N∗,p∈[0; 1] et aveckentier tel que 0≤k≤n.
TI Casio
Syntaxe
Touche 2nde, puis var ; dans l’on- glet DISTRIB, faire d´efiler jus- qu’`a binomFdp( ou binomFR´ep(
Menu Distrib (2nde puis var),
puis binomFdp ou binomFr´ep
p(X =k) binomFdp : taper la valeur de :
n, puis p, puis k binomFdp(n,p,k)
p(X ≤k) binomFR´ep : taper la valeur de :
n, puis p, puis k binomFR´ep(n,p,k)
Sur un tableur OpenOffice,
la fonction =LOI.BINOMIALE(k ;n ;p ;0) donnep(X =k),
et la fonction =LOI.BINOMIALE(k ;n ;p ;1) donnep(X 6k).
C. Exercices de r´ evision sur la loi binomiale
Dans ces exercices, on prendra soin de bien r´ediger comme expliqu´e ci-dessus, afin d’obtenir tous les points
”de r´edaction” au Bac.
Exercice 7.1 En France, 90% des m´enages de 16 `a 24 ans ont un four `a micro-ondes selon l’INSEE. Une agence
travaillant pour des produits d’entretien contacte, au hasard, 200 m´enages de 16-24 ans pour leur proposer un produit
de nettoyage de ce type de four.
1. Expliquer pourquoi l’on a une loi binomiale et pr´eciser ses param`etres.
. . . . . . . . . . . .
2. Calculer la probabilit´e qu’exactement 180 m´enages aient un four `a micro-ondes.
. . . . . . . . 3. Calculer la probabilit´e qu’au plus 175 m´enages aient un four `a micro-ondes.
. . . . . . . .
4. Calculer la probabilit´e qu’au moins 170 m´enages aient un four `a micro-ondes.
. . . . . . . . . . . . . . . .
5. Calculer la probabilit´e qu’entre moins 170 et 180 m´enages aient un four `a micro-ondes.
. . . . . . . . . . . . . . . .
6. Calculer le nombre de m´enages possesseurs d’un four `a micro-ondes que l’on peut esp´erer obtenir parmi les 200
m´enages contact´es.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 7.2 37% des m´enages de 60 ans et plus sont connect´es `a internet. On interroge au hasard 250 m´enages de 60 ans et plus.
1. Expliquer pourquoi l’on a une loi binomiale et pr´eciser ses param`etres.
. . . . . . . . . . . . 2. Calculer la probabilit´e que 100 m´enages sur les 250 poss`edent un acc`es `a internet.
. . . . . . . .
Exercice 7.3 Une boˆıte contient 100 cartons dont 20 rouges et 80 verts. On tire au hasard trois fois de suite un carton de la boˆıte et on remet le carton dans la boˆıte apr`es chaque tirage. On s’int´eresse au nombre de cartons verts obtenus. On note :
• V : ”obtenir un carton vert”
• R : ”obtenir un carton rouge”
La variable al´eatoireX est associ´ee au nombre de cartons verts tir´es.
1. Expliquer pourquoi l’on a une loi binomiale et pr´eciser ses param`etres.
. . . . . . . . . . . . 2. Repr´esenter la situation par un arbre pond´er´e.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Calculer la probabilit´e d’obtenir exactement trois cartons verts.
. . . . . . . . . . . . 4. Calculer la probabilit´eP(X = 2). Interpr´eter concr`etement le r´esultat.
. . . . . . . . . . . . . . . .
5. Calculer la probabilit´eP(X = 0). Calculer la probabilit´e d’obtenir au moins un carton vert.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Loi normale d’esp´ erance µ et d’´ ecart-type σ : N (µ; σ)
A. Interpr´ etation graphique
On dit qu’une variable al´eatoireX suit la loi normale d’esp´eranceµet d’´ecart-typeσlorsque pour tout r´eel t, la probabilit´eP(X 6t) est ´egale `a l’aire sous la “courbe en cloche”, appel´ee aussi “courbe de Gauss”
entre−∞et t. Cette courbe s’appelle aussi “courbe de densit´e”.
Elle est sym´etriquepar rapport `a la droite verticale d’´equation x=µ
La probabilit´eP(a6X 6b) est ´egale `a l’aire sous la “courbe en cloche” entreaet b.
La probabilit´eP(X 6b) est ´egale `a l’aire sous la “courbe en cloche” entre−∞etb.
La probabilit´eP(X >a) est ´egale `a l’aire sous la “courbe en cloche” entre aet +∞.
Exemple 7.1 1. Hachurer sur la figure la zone qui correspond `aP(0,86X 61,3)
2. Hachurer sur la figure la zone qui correspond `aP(X 60,7)
3. Hachurer sur la figure la zone qui correspond `aP(X >1,2)
B. Utilisation de la calculatrice Calcul de P (a < X < b)
Par exemple, si X est une v.a. qui suit uneloi normale de param`etresµ= 5 etσ= 2, alorsP(6< X <8) s’obtient ainsi :
Sur une TI Sur une casio
2nde var
2:normalFR´ep(
saisir 6,8,5,2)
on obtient 0,242
OPTN STAT DIST NORM Ncd 6,8,2,5)
on obtient NormCD(6,8,2,5)
qui donne 0,242
Calcul de P (X < a) ou de P (X > a)
On utilise la mˆeme m´ethode que ci-dessus en prenant :
• P(X < a)'P(−1×1099< X < a)
• P(X > a)'P(a < X <1×1099)
Le nombre 1×1099joue le rˆole de +∞, et le nombre−1×1099 joue le rˆole de−∞.
Exemple 7.2 Soit X une variable al´eatoire qui suit une loi normale de param`etresµ= 3 etσ = 0,4. Pour la loi normale, une in´egalit´e large (6) ou une in´egalit´e stricte (<) donnent le mˆeme r´esultat.
1. A la calculatrice, d´eterminerP(1,56X 62,5)
. . . . . . . .
2. A la calculatrice, d´eterminerP(X 62)
. . . . . . . . 3. A la calculatrice, d´eterminerP(X >1,2)
. . . . . . . .
C. Intervalle correspondant ` a une probabilit´ e 0.95 : loi des 2σ.
Si X suit une loi normale de param`etresµet σ, alors :
3. Sujets de Bac
A. M´ etropole 2016 ex.1, partie B
Un test d’aptitude est ´evalu´e sur 100 points. Il faut obtenir au moins 60 points pour le r´eussir.
Le score d’un candidat est mod´elis´e par une variable al´eatoireX suivant une loi normale d’esp´eranceµ= 66 et d’´ecart typeσinconnu.
La probabilit´e, pour un candidat pris au hasard, d’obtenir un score compris entre 60 et 72 points est ´egale
` a 0,95.
1. D´eterminer une valeur approch´ee deσ:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Pour r´eussir le test, il faut obtenir 60 points ou plus. D´eterminer la probabilit´e pour un candidat d’´echouer
`
a ce test :
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Nouvelle Cal´ edonie 2016 ex.2, partie B
Une association sp´ecialis´ee dans la vente de produits biologiques propose `a ses clients deux types de paniers : petit mod`ele et grand mod`ele. Ils sont compos´es de l´egumes et, suivant la demande des clients, de produits laitiers.
Le producteur qui fournit cette association vend aussi des yaourts chaque samedi sur un march´e. On note X
la variable al´eatoire, qui, `a chaque semaine, associe le nombre de yaourts vendus au march´e. On admet queX suit la loi normale d’esp´eranceµ= 180 et d’´ecart typeσ= 30.
1. Calculer `a l’aide de la calculatrice, la probabilit´e arrondie au milli`eme que le nombre de yaourts vendus soit inf´erieur ou ´egal `a 150.
. . . . . . . .
On donne la courbe de densit´e de la loi normale d’esp´eranceµ = 180 et d’´ecart typeσ= 30
2. Sur ce graphique, on peut lire : P(1356X6180)≈0,433. Interpr´eter ce r´esultat.
. . . . . . . . . . . . . . . . 3. En d´eduireP(1806X 6225) etP(X >225).
. . . . . . . . . . . . . . . . 4. Ce samedi, le producteur n’a apport´e que 225 yaourts au march´e. Quelle est la probabilit´e qu’il ait besoin
de compl´eter son stock ?
. . . . . . . . . . . . . . . .
C. Centres ´ etrangers 2016 ex.2
Dans cet exercice, les probabilit´es seront arrondies au milli`eme.
Pour tout ´ev`enementA, on noteA l’´ev`enement contraire deA, p(A) la probabilit´e deA.
En 2013, le parc automobile fran¸cais s’´elevait `a 38,204 millions de v´ehicules, parmi lesquels on comptait 31,622 millions de voitures particuli`eres, les autres v´ehicules ´etant des utilitaires l´egers ou des v´ehicules lourds (Source INSEE).
D’autre part, on sait que :
• 62 % des voitures particuli`eres sont des v´ehicules diesel ;
• parmi les autres v´ehicules, 6 % sont des v´ehicules essence.
On choisit au hasard un v´ehicule dans le parc automobile fran¸cais.
On consid`ere les ´ev`enements suivants :
V :Le v´ehicule choisi est une voiture particuli`ere.
D :Le v´ehicule est un v´ehicule diesel.
1. Justifier que la probabilit´ep(V), arrondie au milli`eme, est ´egale `a 0,828.
. . . . . . . . . . . . . . . . 2. Compl´eter l’arbre de probabilit´e donn´e ci-dessous :
3. (a) Calculer la probabilit´e que le v´ehicule choisi soit une voiture particuli`ere roulant au diesel.
. . . . . . . . . . . . . . . .
(b) Montrer quep(D) = 0,675.
. . . . . . . . . . . . . . . . (c) On suppose que le v´ehicule choisi roule au diesel.
Quelle est la probabilit´e que ce ne soit pas une voiture particuli`ere ?
. . . . . . . . . . . . . . . . 4. On choisit au hasard 10 v´ehicules dans un ´echantillon du parc automobile fran¸cais suffisamment important
pour assimiler ce choix `a dix tirages successifs avec remise.
Calculer la probabilit´e pour qu’exactement trois d’entre eux ne roulent pas au diesel.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Un constructeur automobile ´equipe ses v´ehicules diesel d’un nouveau moteur. La dur´ee de vie de ce
moteur, exprim´ee en nombre de kilom`etres parcourus, est mod´elis´ee par une variable al´eatoire suivant la loi normale d’esp´eranceµ= 200 000 et d’´ecart-typeσ= 30 000.
Calculer la probabilit´e que la dur´ee de vie de ce moteur soit sup´erieure `a 260 000 km.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
