Partie C – Recherche des endomorphismes nilpotents de rang n − 1

DM de MPSI2

Corrig´ e de devoir non surveill´ e

Endomorphismes nilpotents de rang maximal (d’apr` es E3A PSI 2007)

Partie A – Quelques propri´ et´ es de J

A.1J ´etant ´echelonn´ee et comportantn−1 lignes non nulles, elle est de rangn−1.

A.2

a Si k6n−1, J^k est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux en position (i, i+k) qui valent 1. Sik>n,J^k est nulle. On peut montrer ce r´esultat par r´ecurrence, ou plus simplement en consid´erant l’endomorphismeudeCⁿ canoniquement associ´e `aJ :u(e1) = 0, etu(ei+1) =ei pour touti∈[[1, n−1]].

bJⁿ= 0_n donc pour tout k∈N^∗, (J^k)ⁿ= (Jⁿ)^k = 0^k_n= 0_n (cark6= 0).

Toutes les puissances deJ – sauf celle d’exposant 0 – sont nilpotentes.

A.3exp(J) est la matrice triangulaire sup´erieure dont le coefficient en position (i, j) vaut 1/(j−i)! sij >i.

Partie B – Quelques r´ esultats sur les noyaux it´ er´ es d’un endomorphisme

B.1Six∈Ker(uⁱ), alorsuⁱ(x) = 0 et donc, puisqueu^j(0) = 0 :u^i+j(x) = 0.

Ker(uⁱ)⊂Ker(u^i+j).

B.2 L’ensemble{m ∈N, t_m =t_m+1} est une partie de N, non vide (car (t_m)_m∈N est une suite croissante d’entiers naturels major´ee parn), et admet donc un plus petit ´el´ement. En particulier, rexiste bien.

B.3Remarquons que pour tout entier naturelm, Ker(u^m) est inclus dans Ker(u^m+1).

a Par d´efinition de r, on a, pour tout entier m < r, tm 6=tm+1 : Ker(u^m) est donc strictement inclus dans Ker(u^m+1).

b Ker(u^r) = Ker(u^r+1), car Ker(u^r) est un sous-espace vectoriel de Ker(u^r+1), de mˆeme dimension (finie).

c Montrons par r´ecurrence que pour tout entier m >r, Ker(u^m) = Ker(u^m+1). L’amor¸cage au rangr a d´ej`a ´et´e effectu´e, et si on suppose la formule vraie `a un rang m >r fix´e, alors, pour tout x∈ Ker(u^m+2), on a u(x) ∈Ker(u^m+1) = Ker(u^m), doncx ∈Ker(u^m+1), puis Ker(u^m+2) ⊂Ker(u^m+1). Comme l’inclusion r´eciproque est bien connue, l’h´er´edit´e est prouv´ee.

Partie C – Recherche des endomorphismes nilpotents de rang n − 1

C.1

a Im(w) =v^q(Im(v^p)) = Im(v^p+q).

bKer(w) = Im(v^p)∩Ker(v^q)⊂Ker(v^q).

cLe th´eor`eme du rang appliqu´e `a wdonne

rg(v^p) = rg(w) + dim(Ker(w)), puis, compte tenu des questions pr´ec´edentes

rg(v^p)6rg(v^p+q) + dim(Ker(v^q)), soit, en appliquant le th´eor`eme du rang `av^p etv^p+q :

dim(Ker(v^p+q))6dim(Ker(v^p)) + dim(Ker(v^q)).

d D’apr`es le th´eor`eme du rang appliqu´e `a v, dim(Ker(v)) = 1 (v est de rang n−1), d’o`u, en prenant q= 1 dans la formule pr´ec´edente :

dim(Ker(v^p+1))6dim(Ker(v^p)) + 1,

pour tout entier naturelp. Une r´ecurrence imm´ediate suripermet alors de montrer que pour tout i∈[[1, n]], dim(Ker(vⁱ))6i.

eComme dim(Ker(vⁿ⁻¹))6n−1< n= dim(Ker(vⁿ)) (vⁿ= 0), la suite finie d’entiers (dim(Ker(vⁱ)))_i∈[[1,n]]

est strictement croissante (cf. B.3.a), de premier terme 1 et de dernier termen, ce qui force dim(Ker(vⁱ)) =i, pour touti∈[[1, n]].

C.2dim(Ker(vⁿ⁻¹)) =n−16=n, doncvⁿ⁻¹6= 0.

C.3Il existe un vecteur ede E tel quevⁿ⁻¹(e)6= 0. On v´erifie alors (comme on l’a fait d´ej`a plusieurs fois en cours/TD/colle/DM/DS) queB1= (vⁿ⁻¹(e), . . . , v(e), e) est une base de E.

C.4La matrice devdans cette base n’est autre queJ.

C.5uetv admettent dans des bases adapt´eesJ pour repr´esentation matricielle :M_B(u) etM_C(v) sont par cons´equent semblables `aJ, et sont donc semblables.