Partie C – Recherche des endomorphismes nilpotents de rang n − 1

DM de MPSI2

Devoir non surveill´ e

Probl` eme – D’apr` es E3A PSI 2007

Dans tout le probl`eme,nest un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2 etMn(C) d´esigne l’espace vectoriel des matrices carr´ees d’ordren`a coefficients complexes.

GLn(C) est le groupe des matrices inversibles deMn(C). La matrice unit´e de cet espace sera not´eeIn et la matrice nulle 0n.

On note (e1, . . . , en) la base canonique deE=Cⁿ. Si vest un endomorphisme deE, on rappelle que : – v⁰ est l’endomorphisme unit´e (i.e.v⁰= IdE).

– ∀m∈N, v^m+1=v◦v^m.

L’endomorphismev sera ditnilpotent s’il existe un entier r∈Ntel quev^r= 0 (endomorphisme nul de E).

On d´efinit de mˆeme une matrice nilpotente.

On noteJ la matrice carr´ee d’ordrendont tous les coefficients sont nuls, sauf ceux en position (i, i+ 1), qui valent 1 (i∈[[1, n−1]]).

Etant donn´´ e une matrice nilpotenteN, on appelleexponentielledeN et on note exp(N) la matriceX

k>0

N^k k! .

Partie A – Quelques propri´ et´ es de J

A.1D´eterminer le rang deJ. A.2

a D´eterminerJ^k pour k∈N.

bV´erifier que toutes les puissances deJ – sauf celle d’exposant 0 – sont nilpotentes.

A.3Calculer exp(J).

A.4

a Montrer que toute combinaison lin´eaire de deux matrices nilpotentes qui commutent est encore une matrice nilpotente.

bG´en´eraliser (rapidement) ce dernier r´esultat.

cDonner un exemple de deux matrices nilpotentes de taille 2 dont la somme n’est pas nilpotente.

A.5Montrer que exp(J)−I_n est une matrice nilpotente de rangn−1.

Partie B – Quelques r´ esultats sur les noyaux it´ er´ es d’un endomorphisme

Soituun endomorphisme deE.

B.1Prouver que pour tous entiers naturelsiet j, Ker(uⁱ)⊂Ker(u^i+j).

B.2Pour toutm∈N, on notet_m= dim(Ker(u^m)). Prouver l’existence de r= inf{m∈N, tm=tm+1}.

B.3Montrer que :

a Pour tout entier naturelm, tel quem < r, Ker(u^m) est strictement inclus dans Ker(u^m+1).

bKer(u^r) = Ker(u^r+1).

cPour tout entierm>r, Ker(u^m) = Ker(u^m+1).

Partie C – Recherche des endomorphismes nilpotents de rang n − 1

Soit V une matrice de Mn(C) de rang n−1 et v´erifiant Vⁿ = 0n. On note v l’endomorphisme de E canoniquement associ´e `a V.

C.1Soientpetqdeux entiers naturels etwla restriction dev^q `a =(v^p).

a D´eterminer=(w).

bProuver que Ker(w)⊂Ker(v^q).

cV´erifier alors que l’on a

dim(Ker(v^p+q))6dim(Ker(v^p)) + dim(Ker(v^q)).

dEn d´eduire que pour touti∈[[1, n]], dim(Ker(vⁱ))6i.

eD´emontrer qu’en fait dim(Ker(vⁱ)) =i, pour touti∈[[1, n]].

C.2Prouver alors quevⁿ⁻¹6= 0.

C.3En d´eduire qu’il existe un vecteuredeEtel que

B1= (vⁿ⁻¹(e), . . . , v(e), e) soit une base deE.

C.4Ecrire la matrice de´ vdans cette base.

C.5Montrer que siuetv sont deux endomorphismes nilpotents deCⁿ de rangn−1,Bet Csont des bases deCⁿ, alorsM_B(u) etM_C(v) sont semblables.

Partie D – Exponentielles des matrices nilpotentes en basse dimension

On dit qu’une matriceM ∈ Mn(C) estunipotentesiM −In est nilpotente.

D.1Montrer que l’exponentielle d’une matrice nilpotente est unipotente.

D.2SoitN ∈ Mn(C) une matrice nilpotente etP ∈GLn(C). Montrer queP⁻¹N P est nilpotente, et que exp(P⁻¹N P) =P⁻¹exp(N)P.

D.3SoitM ∈ M2(C). Montrer queM est unipotente si et seulement si elle est l’exponentielle d’une matrice nilpotente.

Indication : discuter selon le rang de la matrice nilpotenteM −I2. D.4On se place d´esormais dansM₃(C).

a Montrer que siN∈ M₃(C) est nilpotente, alorsN³= 0.

bSoitV ∈ M₃(C) une matrice unipotente,U =V−I₃,W =U−U²/2. Montrer queW est une matrice nilpotente d’exponentielleV.

c Montrer que M ∈ M3(C) est unipotente si et seulement si elle est l’exponentielle d’une matrice nilpotente.