R´ eduction des endomorphismes

Universit´e de Nice Licence de math´ematiques

2004-05 Alg`ebre et g´eom´etrie

R´ eduction des endomorphismes

Dualit´ e.

4. Formes lin´eaires, hyperplans, dualit´e Parmi les applications lin´eaires d´efinies sur un espace vectorielk, celles `a valeurs dans le corps de basekjouent un rˆole tout-`a-fait particulier.

Dans toute la suite,E est un espace vectoriel de dimen- sion finiensurk.

4.1. D´efinitions. Uneforme lin´eairef surEest une application lin´eaire f : E −→ k. L’ensemble de ces formes lin´eaires est un espace vectoriel surk, appel´ees- pace dual deE et not´eE^∗ (le v´erifier).

On appellehyperplandeE un sous-espace vectoriel de E qui est le noyau d’une forme lin´eaire non nulle.

Proposition 4.2. Une forme lin´eaire non nulle a pour noyau un sous-espace vectoriel de dimension n−1 de E. R´eciproquement, tout sous-espace vectoriel H de di- mension n−1 deE est le noyau d’au moins une forme lin´eaire sur E, qu’on appellera ´equation de H. L’en- semble des formes lin´eaires nulles sur H est un espace vectoriel de dimension 1.

D´emonstration. Une forme lin´eaire est de rang 0 si elle est nulle, ou 1 sinon. Dans ce dernier cas, son noyau (th´eor`eme du rang) est un sous-espace vectoriel de di- mension n−1 de E. R´eciproquement, si H est un tel sous-espace, on en choisit une base que l’on compl`ete en une baseBdeEpar un vecteure(il suffit pour cela que e /∈H). Il existe une unique forme lin´eaire qui vaut 1 sur e et 0 surH. Comme elle n’est pas nulle son noyau est de dimension n−1 et contientH, donc c’est H. Soit g un autre forme lin´eaire nulle surH. On ag=g(e)f. En effet c’est vrai pour tous les vecteurs de la baseB, donc

surE par lin´earit´e.

4.3. Base duale. On suppose donn´ee une base B = (e₁, . . . , e_n) deE. Pour toutide 1 `anon d´efinit la forme lin´eairee^∗_i par les images des vecteurs de la base B:

e^∗_i(e_j) = 1 sii=j, sinon 0.

Le syst`eme B^∗ = (e^∗₁, . . . , e^∗_n) est une base de E^∗, ap- pel´ee base dualedeB. L’espace dual est donc un espace vectoriel de dimension finie n.

En effet, sif est une forme lin´eaire d´efinie parf(e_i) =f_i pour toutide 1 `a n, on obtient

f =

n

X

i=1

f_ie^∗_i

puisque ces deux formes prennent les mˆemes valeurs sur les vecteurs deB. De plus, siPn

i=1λie^∗_i est la forme nulle, elle prend la valeur 0 sur le vecteurej, pour toutj de 1

`

an, ce qui prouve queλj = 0, pour toutj de 1 `a n.

Soitiun entier, 1≤i≤n. Remarquons que le noyau de la formee^∗_i est l’hyperplan deEengendr´e par{ej, j6=i}.

Sixest un vecteur deEqui se d´ecompose enx=P

ixiei

dans la baseB, on ae^∗_i(x) =xi. C’est pour cela que l’on appellee^∗_i lai-`emeforme coordonn´ee.

Si f est une forme lin´eaire sur E et x un vecteur de E, on note souventhf, xi pour f(x). Ceci pour insister sur le caract`ere bilin´eaire de l’application suivante, qu’on appelleforme bilin´eairepuisqu’elle est `a valeurs dansk:

E^∗×E −→ k

(f, x) 7−→ f(x) =hf, xi Le v´erifier.

Proposition 4.4. E d´esigne un espace vectoriel de di- mension finie n sur k. On suppose donn´es n ´el´ements e₁, . . . , e_n de E et n formes lin´eaires `<sub>1</sub>, . . . , `_n sur E qui v´erifient :

`_i(e_j) = 0sii6=j et1 sinon

Alors(e₁, . . . , e_n)est une base deE,(`<sub>1</sub>, . . . , `_n)est une base deE^∗ et ces deux bases sont duales l’une de l’autre, c’est-`a-dire :

(1) sixest un vecteur deE, sa d´ecomposition dans la base(e1, . . . , en) estx=Pn

i=1`i(x)ei; (2) sif est une forme lin´eaire surE, sa d´ecomposi-

tion sur la base(`1, . . . , `n)estf =Pn

i=1f(ei)`i. D´emonstration. Consid´erons une combinaison lin´eaire Pn

i=1α_ie_i. Evaluons la forme lin´eairef_j sur ce vecteur.

On obtient : f_j(Pn

i=1α_ie_i) = α_j et on en d´eduit que Pn

i=1α_ie_i est nul si et seulement si tous lesα_j, 1≤j≤ n, sont nuls. Terminer la preuve.

4.5. Bidual. La proposition 4.4 montre que E est iso- morphe au dual deE^∗. Mieux : il existe une application lin´eaire canonique

c:E −→ E^∗∗ = (E^∗)^∗ x 7−→ (f 7−→ hf, xi)

qui est injective. LorsqueE est de dimension finie surk, elle est aussi bijective.

Faire la preuve. Expliquons juste la notation : L’image d’un vecteurxpar l’applicationcest une forme lin´eaire

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sur E^∗. On la d´efinit donc par son effet sur une forme lin´eaire f. On dit que l’application est canonique (ou naturelle)parce qu’elle est d´efinie sans autre donn´ee que celle de l’espace vectoriel E, en particulier sans avoir `a pr´eciser une base de E.

Si Best une base deE etB^∗ la base duale, v´erifier que la base duale deB^∗ est la baseBdeE^∗∗=E.

Exercice4.6. On consid`ere l’espace vectorielE=kn[X] des polynˆomes de d´egr´e au plusnsurk. On se donnen+1

´

el´ements dekdistincts deux `a deux et not´esa0, . . . , an. A chacun des` a_i, 0≤i≤non associe l’´evaluation ena_i:

eva_i :E −→ k P 7−→ P(ai) Montrer que c’est une forme lin´eaire surE.

Montrer qu’il existe un unique polynˆome P_i de E qui vaut 1 ena_i et s’annule ena_j sij 6=i.

En d´eduire que (P₀, . . . , P_n) est une base de E, que (ev_a0, . . . ,ev_an) est une base deE^∗. Comment s’´ecrit un polynˆomeP dans la base (P₀, . . . , P_n) ?

Remarquer que l’application coeffn qui associe `a un po- lynˆome deEle coefficient de son monˆome de degr´enest une forme lin´eaire surE. En d´eduire qu’un polynˆomeP deEest de degr´e strictement inf´erieur `ansi et seulement

si n

X

i=0

P(ai) Q

i6=j(a_i−a_j) = 0

Exercice4.7. Cet exercice prend la suite du pr´ec´edent.

On suppose d’abord k = R et n = 1. Remarquer que l’application

Z a₁

a0

:E −→ R

P 7−→

Z a1

a0

P(t)dt

est une forme lin´eaire surR₁[X]. L’exprimer en fonction de ev_a0 et ev_a1 et retrouver la formule dite des trap`ezes.

On suppose n = 2. Exprimer la forme lin´eaire Ra₁ a0 en fonction de eva₀,eva₁,eva₂.

On suppose de plus quea2=^a0+a₂ ¹. Montrer qu’il existe un polynˆomeRde degr´e 3 qui s’annule ena0, a1eta2et dont l’int´egraleRa1

a₀ R(t)dtest aussi nulle. En d´eduire la formule dite des trois niveaux :siaet bsont deux r´eels etP un polynˆome de degr´e au plus 3, on a :

Z b

a

P(t)dt=(b−a) 6

P(a) +P(b) + 4P(a+b 2 )

4.8. Orthogonalit´e. On dira qu’un vecteur xde E et une forme lin´eairef deE^∗ sontorthogonaux sihf, xi= f(x) = 0.

SoitAune partie deE. L’orthogonaldeAest l’ensemble des formes lin´eaires deE^∗ nulles surA. On le noteA^⊥. Comme E s’identifie au bidual E^∗∗, toute partie B de

E^∗a ´egalement un orthogonal dansEque l’on noteB^⊥. Montrer queA ⊂(A^⊥)^⊥. Bien retenir qu’une partie et son orthogonal ne sontjamais dans le mˆeme espace ! Proposition 4.9. SoitE un espace vectoriel de dimen- sion finien sur k.

(1) Si F est un sous-espace vectoriel de dimension pdeE, alorsF^⊥ est un sous-espace vectoriel de dimensionn−pdeE^∗ et(F^⊥)^⊥=F.

(2) Si F ⊂ G sont deux sous-espaces de E, alors F^⊥ ⊃G^⊥.

(3) Si F et G sont deux sous-espaces de E, alors (F∩G)^⊥=F^⊥+G^⊥ et(F+G)^⊥=F^⊥∩G^⊥. (4) SiAest une partie deEalorsA^⊥= (Vect(A))^⊥

et(A^⊥)^⊥= Vect(A).

D´emonstration. (1) : On compl`ete une base (e₁, . . . , e_p) de F en une base B = (e₁, . . . , e_n) de E. Une forme lin´eairef est nulle surF si et seulement si elle s’annule sur tous lesei, 1≤i≤p, autrement dit si elle appartient au sous-espace Vect(e^∗_p+1, . . . , e^∗_n) qui est donc l’espace

F^⊥ cherch´e.

Montrer les autres assertions de la proposition.

Corollaire 4.10. SiF $E est un sous-espace vectoriel distinct deE, il existe alors une forme lin´eaire non nulle qui s’annule surF. Sixest un vecteur non nul deE, il existe une forme lin´eaire qui ne s’annule pas surx.

D´emonstration. Remarquer que :

(1) siF $E,F^⊥ n’est pas r´eduit `a{0}dansE^∗. (2) six6= 0, {x}^⊥ n’est pas toutE^∗.

Exemple 4.10.1. ´Equations d’un sous-espace vec- toriel.Si F ⊂E est un sous-espace vectoriel deE, on appellesyst`eme d’´equations deF dansEla donn´ee d’une base de F<sup>⊥</sup>. On voit que si un tel syst`eme d’´equations n’est pas unique, l’espaceF^⊥ lui, est uniquement d´eter- min´e parF. ´Ecrire des ´equations deF c’est donc r´ealiser F comme l’orthogonal d’un ensemble fini minimal de formes lin´eaires.

SiF est de dimensionp, et sif1, . . . , f_n−pest un syst`eme d’´equations deFon aF ⊂kerfjpour tout 1≤j≤n−p.

D’apr`es les propri´et´es ´enonc´ees en4.9 : F =

n−p

\

j=1

kerf_j.

G´eom´etriquement, on d´ecritF comme intersection d’un nombre fini minimal d’hyperplans vectoriels.

Par exemple, siFest une droite dans un espace vectoriel de dimension 3, un syst`eme d’´equations lin´eaires de la droite est compos´e de deux formes lin´eaires ind´ependan- tes qui s’annulent donc chacune sur un plan. La droite

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est l’intersection de ces deux plans. Si on choisit une autre base de F^⊥, on obtiendra une autre mani`ere de repr´esenter la droite comme intersection de deux plans.

4.11. Transpos´e d’un endomorphisme.

D´efinition 4.12. Soit u un endomorphisme de E. La formule

h^tu(f), xi=hf, u(x)i

d´efinit un unique endomorphisme de E^∗, appel´e endo- morphisme transpos´e deuet not´e^tu.

D´emonstration. On voit que, pour tout f ∈ E^∗, on a

tu(f) = f ◦u. L’application ^tu : E^∗ −→ E^∗ est bien d´efinie. V´erifier qu’elle est lin´eaire. La d´efinition montre aussi que la transposition est involutive : ^t(^tu) =u.

Proposition 4.13. Soituun endomorphisme deE, es- pace vectoriel de dimension finiensur k. Les propri´et´es de son transpos´e sont les suivantes :

(1) ker(^tu) = (Imu)^⊥;Im(^tu) = (keru)^⊥;

(2) Si A est la matrice de u dans la base B, alors la matrice de ^tu dans la base duale B^∗ est la matrice transpos´ee ^tA.

(3) Pour tout v endomorphisme deE,

t(u◦v) =^tv◦^tu.

(4) F ⊂Eest un sous-espace stable parusi et seule- ment siF^⊥ est stable par le transpos´e^tu.

D´emonstration. Montrons le (4) : supposons F stable paru. Remarquer d’abord que

`∈F<sup>⊥</sup>⇐⇒ ∀x∈F h`, xi= 0

Comme F est stable par u, on aura donc, pour tout

´

el´ement` deF^⊥,

0 =h`, u(x)i=h<sup>t</sup>u(`), xi

ce qui prouve que^tu(`) est dansF<sup>⊥</sup>pour tout`dansF^⊥, c’est-`a-direF^⊥ stable par^tu. La r´eciproque s’obtient en

´

echangeant les rˆoles deuet^tu.

Prouvez les autres assertions de la proposition.

Exercice 4.14. On dit qu’une matrice M de Mn(k) est diagonale par blocs s’il existe une partition den en n=N₁+· · ·+N_stelle que, en notantM_i,jles coefficients de la matrice M des lignes de num´ero i compris entre N₁+· · ·+N_{`</sub>+1 etN<sub>1</sub>+· · ·+N<sub>`}+N<sub>`+1</sub>sont nuls sauf si la colonne `a un num´ero j qui est dans le mˆeme intervalle ; soit encore : Mi,j = 0 sauf s’il existe `, 1 ≤ ` ≤ s tel que N1+· · ·+N`+ 1 ≤ i, j ≤ N1+· · ·+N`+N`+1. V´erifier que la somme (resp. le produit) de deux matrices deMn(k), diagonales par blocs pour la mˆeme partition n=N1+· · ·+Ns de n, est une matrice diagonale par blocs pour la mˆeme partition.

V´erifier que si M est inversible et diagonale par blocs pour une partition n = N1+· · ·+Ns de n, alors son

inverse est une matrice diagonale par blocs pour la mˆeme partition.

Montrer que le d´eterminant d’une matrice diagonale par blocs est le produit des d´eterminants des blocs diago- naux.

De mani`ere analogue, consid´erer les matrices triangu- laires sup´erieures par blocs et d´emontrer les propri´et´es similaires.