(1)SEMAINE 4 R ´EDUCTION DES ENDOMORPHISMES (DEUXI `EME PARTIE) EXERCICE 1 : Une matrice A = (aij

SEMAINE 4

R ´EDUCTION DES ENDOMORPHISMES (DEUXI `EME PARTIE) EXERCICE 1 :

Une matrice A = (a_ij) ∈ Mn(IR) est dite stochastique lorsqu’elle v´erifie les deux conditions suivantes :

(i) ∀i∈[[1, n]]∀j∈[[1, n]] aij ∈[0,1] ; (ii) ∀i∈[[1, n]]

n

X

j=1

aij = 1 (la somme des ´el´ements de chaque ligne vaut 1).

Elle est ditestochastique strictesi, de plus, les coefficientsaij sont tous strictement positifs.

On noteraSnl’ensemble des matrices stochastiques deMn(IR), etS_n^∗celui des matrices stochas- tiques strictes.

1.Montrer que les ensembles Sn etS_n^∗ sont stables par produit.

2.Si A∈ Sn, montrer que 1 est valeur propre deA.

3.Si A∈ S_n^∗, montrer que Ker(A−I_n) est de dimension un.

4. Montrer que les valeurs propres d’une matrice stochastique sont toutes de module inf´erieur ou ´egal `a 1, et que les valeurs propres autres que 1 d’une matrice stochastique stricte sont de module strictement inf´erieur `a 1.

5.SoitA∈ Sn, soitλune valeur propre deA. Montrer qu’il existei∈[[1, n]] tel que

|λ−aii| ≤1−aii.

- - - - 1.Soient A= (a_ij) etB = (b_ij) stochastiques. On a AB= (c_ik), o`uc_ik=

n

X

j=1

a_ijb_jk.

• Il est clair que cik ≥0 pour tout couple d’indices (i, k), l’in´egalit´e ´etant stricte si A et B sont dansS_n^∗.

• On abjk≤1 pour tout (j, k), donccik=

n

X

j=1

aijbjk≤

n

X

j=1

aij= 1 pour tout couple (i, k).

• Enfin, _n

X

k=1

c_ik=

n

X

k=1





n

X

j=1

a_ijb_jk



=

n

X

j=1

a_ij

n

X

k=1

b_jk

!

=

n

X

j=1

a_ij = 1.

On peut aussi remarquer qu’une matriceAv´erifie la propri´et´e(ii)si et seulement siAJ =J, o`uJ est la matrice dont tous les coefficients valent 1. Il est alors imm´ediat que cette pro- pri´et´e(ii)est “stable par produit”.

2. Si A∈ S_n, alors AX=X, o`u X est le vecteur dont toutes les coordonn´ees valent 1, donc 1 est valeur propre deA.

3. Soit B =A−In, soit C la matrice carr´ee d’ordre n−1 extraite de B en ˆotant la derni`ere ligne et la derni`ere colonne :

C=







a11−1 a12 . . . a_1,n−1 a21 a22−1 . . . a_2,n−1 . . . . a_n−1,1 a_n−1,2 . . . a_n−1,n−1−1





 .

Montrons que C est inversible. Cela repose sur le fait que C = (cij) est `a diagonale strictement dominante, c’est-`a-dire que, pour tout i∈[[1, n−1]], on a|c_ii|>X

j6=i

|c_ij|: en effet,

|cii| − X

1≤j≤n−1 j6=i

|cij| = |aii−1| − X

1≤j≤n−1 i6=j

a_ij = 1−

n−1

X

j=1

a_ij =a_in>0.

Soit donc X = (x1,· · ·, x_n−1) ∈KerC, suppos´e non nul ; on a, pour touti ∈ [[1, n−1]],

n−1

X

j=1

cijxj = 0. Soit i0 ∈ [[1, n−1]] tel que |xi₀| = max

1≤i≤n−1|xi|, on a alors, pour i = i0, c_i0i0x_i0 =−X

j6=i0

c_i0jx_j, mais c’est impossible car

X

j6=i₀

ci₀jxj

≤ X

j6=i₀

|ci₀j||xj| ≤ |xi₀|



 X

j6=i₀

|ci₀j|



<|xi₀||ci₀i₀|.

La matrice C est donc inversible,c’est-`a-dire de rangn−1, doncB =A−In est de rang au moins ´egal `an−1, donc exactementn−1 puisqu’on sait que 1 est valeur propre deA, et donc dim Ker(A−In) = 1.

On a ainsi prouv´e le th´eor`eme d’Hadamard (moi, froid ? jamais...) : toute matrice `a diagonale strictement dominante est inversible.

4.SoitA∈ Sn, soitλ∈C tel que|λ|>1 ; alors la matriceB=A−λI_n= (b_ij) est `a diagonale strictement dominante : en effet,

|bii|=|aii−λ| ≥

|aii| − |λ|

=|λ| −aii>1−aii =X

j6=i

aij=X

j6=i

|bij|.

La matriceB est donc inversible, etλ6∈Sp(A).

De mˆeme, si A ∈ S_n^∗ et si |λ| = 1 avec λ 6= 1, alors la matrice B = A−λIn est encore `a diagonale strictement dominante, puisque

|bii|=|aii−λ|>

|aii| − |λ|

= 1−aii =X

j6=i

aij=X

j6=i

|bij| (l’in´egalit´e est stricte puisque l’´egalit´e

|u| − |v|

= |u−v| a lieu si et seulement si les complexesuetvsont “colin´eaires de mˆeme sens”, c’est-`a-dire l’un des deux nuls ou v

u∈IR^∗₊ et ce n’est pas le cas ici :λ6∈IR+). DoncB=A−λIn est inversible, etλn’est pas valeur propre deA.

5.Par contraposition, c’est toujours le mˆeme raisonnement : si on avait ∀i∈[[1, n]] |λ−aii|>

1−aii, la matriceB =A−λIn serait `a diagonale strictement dominante, donc inversible, et λne serait pas valeur propre deA.

On a ainsi obtenu une localisation des valeurs propres : siA est une matrice stochastique,

Sp(A)⊂

n

[

i=1

D(aii,1−aii) (D=disque ferm´e).

En fait, cette derni`ere question se g´en´eralise facilement `a une matriceA= (aij)∈ Mn(C) quelconque ; avec les mˆemes m´ethodes, on montre, que si on pose r_i =X

j6=i

|a_ij| pour tout i∈[[1, n]], on a

Sp(A)⊂

n

[

i=1

D(aii, ri).

EXERCICE 2 :

Soit E un C-espace vectoriel de dimension n, soit F un ensemble d’endomorphismes deE qui commutent deux `a deux.

Montrer l’existence d’une “d´ecomposition de Dunford simultan´ee”, c’est-`a-dire d’une liste d’entiers naturels non nuls n₁, · · ·,n_p avec

p

X

i=1

n_i =n et d’une baseB de E tels que, dans la base B, tout ´el´ement f de F soit repr´esent´e par une matrice diagonale par blocs de la forme M_B(f) = diag(λ₁I_n1+N₁,· · ·, λ_pI_np+N_p), lesλ_i ´etant des nombres complexes et chaque matriceNi∈ Mn_i(C) ´etant triangulaire sup´erieure avec des z´eros sur la diagonale.

- - - - Premi`ere m´ethode :

Introduisons la notion suivante : un sous-espace vectorielV deEsera ditF-ind´ecomposables’il estF-stable (c’est-`a-dire stable par chaque ´el´ement deF) et si on ne peut pas le d´ecomposer enV =V1⊕V2, avecV1et V2tous deuxF-stables et non r´eduits `a{0}.

Si F est une partie quelconque de L(E), on montre (par r´ecurrence forte sur la dimension de E) qu’il existe au moins une d´ecomposition de E en somme directe de sous-espaces F-ind´ecomposables :E=

p

M

i=1

E_i. Si les ´el´ements deF commutent deux `a deux, il en est de mˆeme des endomorphismes qu’ils induisent sur chaqueEi (1≤i≤p).

Pour terminer l’exercice, il reste alors `a prouver le lemme suivant :

Lemme : si E estF-ind´ecomposable, alors il existe une base deE dans laquelle les ´el´ements de

F ont tous des matrices de la forme







λ (X)

. ..

(0) λ





, c’est-`a-direλI+N avec λ∈Cet N triangulaire sup´erieure avec des z´eros sur la diagonale.

(D´emonstration du lemme) : Soitf ∈ F, notonsµson polynˆome minimal.

Supposons µ=µ1µ2 avec µ1 et µ2 premiers entre eux et non constants. De µ(f) = 0, on d´eduit (lemme des noyaux) E = E1⊕E2 avec E1 = Kerµ1(f) et E2 = Kerµ2(f). Tout

´

el´ementgdeF commute avecf, donc laisse stablesE1etE2. L’espaceE´etant suppos´eF- ind´ecomposable, l’un des sous-espacesEiest r´eduit `a{0}. Mais si l’on suppose par exemple E1={0}, alorsE=E2 doncµ2(f) = 0 ce qui contredit la minimalit´e deµ.

On a ainsi prouv´e que tout ´el´ementf deF a un polynˆome minimal de la forme (X−λ)^m, donc est de la formeλidE+ν avecν nilpotent.

Les endomorphismes de F commutent deux `a deux, donc sont cotrigonalisables (exercice classique : on montre d’abord, par r´ecurrence sur la dimension deE, l’existence d’un vecteur propre commun, puis on fait une nouvelle r´ecurrence sur dimE, comme dans l’exercice 3 question 3de la semaine3, pour construire une base de trigonalisation commune). Chacun admettant une seule valeur propre, dans une base de trigonalisation commune, leurs matrices sont de la forme indiqu´ee. (fin de la d´em. du lemme)

Pour terminer l’exercice, il suffit de partir d’une d´ecomposition E =

p

M

i=1

de E en sous-espaces F-ind´ecomposables, de construire une baseBi dans chaque Ei qui trigonalise tous les en- domorphismes induits, et de concat´ener ces diff´erentes bases.

Deuxi`eme m´ethodepropos´ee par Charles-Antoine GOFFIN, ´etudiant en MP*:

Admettons toujours comme “classique” le fait qu’une famille d’endomorphismes commutant deux

`

a deux dans un C-espace vectoriel de dimension finie est cotrigonalisable, et raisonnons par r´ecurrence forte surn= dimE :

• pourn= 1, c’est ´evident ;

• soitn≥2, si c’est vrai pour toutk < n, soitF une famille d’endomorphismes d’un C-espace vectorielE de dimensionnqui commutent deux `a deux.

. si chacun des endomorphismes de la familleF a une seule valeur propre, c’est-`a-dire est de la formeλid_E+ν avecν nilpotent, comme ils sont cotrigonalisables, il existe bien une base dans laquelle ils ont tous une matrice de la formeλIn+N, avecN triangulaire sup´erieure avec des z´eros sur la diagonale, et c’est termin´e ;

. sinon, au moins un des endomorphismes ude la familleF a plusieurs valeurs propres dis- tinctes, soitλune de ces valeurs propres, soitV le sous-espace caract´eristique associ´e, soit W la somme de tous les autres sous-espaces caract´eristiques deu. On a E =V ⊕W. Les sous-espacesV etW sont laiss´es stables par tous les endomorphismes de la familleFpuisque V est le noyau d’un polynˆome enu(etW une somme de...idem). Les endomorphismes de V et deW induits par les ´el´ements deF commutent deux `a deux et on peut leur appliquer l’hypoth`ese de r´ecurrence puisque dimV < net dimW < n. Il ne reste plus qu’`a concat´ener les bases deV et deW ainsi construites et c’est fini.

EXERCICE 3 :

1. Soit A ∈ Mn(C) une matrice inversible. Montrer l’existence d’un polynˆome P de C[X] tel queP(A)²=A.

2. Montrer qu’une matriceA∈GLn(C) est semblable `a son inverse si et seulement si elle est le produit de deux involutions.

Indication : si A⁻¹ =P⁻¹AP, on v´erifiera que P² commute avec A, puis on introduira une matriceQ∈C[P²]telle que Q²=P².

- - - -

1.a.Etudions d’abord le cas o`uAadmet une seule valeur propreλ∈C^∗. Dans ce cas,A=λI+N avecN nilpotente, disons d’indicep(N^p= 0 etN^p−16= 0).

Supposons d’abordλ= 1. Soit

√

1 +x= 1 +a1x+. . .+a_p−1x^p−1+o(x^p−1) =S(x) +o(x^p−1) le d´eveloppement limit´e `a l’ordrep−1 de la fonction ]−1,+∞[→IR,x7→√

1 +xen z´ero (sa partie r´eguli`ere S est un polynˆome de IR[X] de degr´e inf´erieur ou ´egal `a p−1). On a alors, au voisinage de z´ero (pour une variable xr´eelle) :

(√

1 +x)²= 1 +x=Q(x) +o(x^p−1),

o`uQest le polynˆomeS<sup>2</sup> tronqu´e `a l’ordre p−1 : donc 1 +x=S(x)²+o(x^p−1) et cette relation entre fonctions polynomiales, avec l’unicit´e du d´eveloppement limit´e, montre que, dans IR[X] ou C[X],S²est congru `a 1 +X moduloX^p, notonsS(X)²= 1 +X+X^pR(X) avecR∈IR[X].

On a donc S(N)²=I+N+N^pR(N) =I+N =A, soitP(A)²=Ao`uP est le polynˆome d´efini parP(X) =S(X−1).

Si λ6= 1, on ´ecrit A=λI+N =λB, avec B =I+1 λN = 1

λA et il existe un polynˆome Q de C[X] tel que Q(B)² = B, donc λ Q

1 λA

²

= A. En notant µ une racine carr´ee complexe deλet en posantP(X) =µ Q

X λ

, on aP(A)²=A.

1.b.SiAest une matrice inversible quelconque, notonsul’endomorphisme de Cⁿcanoniquement associ´e : on d´ecompose suivant les sous-espaces caract´eristiques : si µ=

m

Y

k=1

(X−λk)^βk est le polynˆome minimal deu(les λk ´etant distincts non nuls), d’apr`es le lemme des noyaux, on a Cⁿ =

m

M

k=1

Fk, avec Fk = Ker(u−λkidCⁿ)^βk, la restriction vk de u`a Fk admettant (X −λ<sub>k</sub>)<sup>βk</sup> comme polynˆome annulateur (et mˆeme plus pr´ecis´ement comme polynˆome minimal), ce qui signifie que v<sub>k</sub> =λ<sub>k</sub>id<sub>Fk</sub>+ν<sub>k</sub>, o`u ν_k est un endomorphisme nilpotent de F_k. Traduction matricielle : la matriceAest semblable `a une matriceDdiagonale par blocs : D = diag(J₁, . . . , J_m) avec, pour tout k,J_k =λ_kI_αk+N_k, la matrice N_k ´etant nilpotente

d’indiceβk (αkest la dimension du sous-espace caract´eristiqueFk, c’est aussi la multiplicit´e de la valeur propre λk dans le polynˆome caract´eristique).

Bref, pour toutk∈[[1, m]], il existe un polynˆomePk tel quePk(Jk)²=Jk d’apr`es la partie 1.a. Il reste `a montrer l’existence d’un polynˆomeP (ind´ependant dek) tel que

∀k∈[[1, m]] P(J_k) =P_k(J_k). (*) Mais cette condition(*)´equivaut `a

∀k∈[[1, m]] µk|P−Pk ,

o`uµ<sub>k</sub> = (X−λ<sub>k</sub>)<sup>βk</sup> est le polynˆome minimal deJ<sub>k</sub>. Les polynˆomesµ<sub>k</sub> ´etant premiers entre eux deux `a deux, l’existence d’un tel polynˆomeP r´esulte du th´eor`eme chinois : le syst`eme de congruences

P ≡Pk [µk] (1≤k≤m)

admet pour ensemble de solutions dans C[X] une classe de congruence moduloµ=

m

Y

k=1

µ_k. D´emonstration par r´ecurrence surm : siµ1 etµ2 sont premiers entre eux, d’apr`es B´ezout, il existe des polynˆomesU1etU2tels queP1−P2=V2µ2−V1µ1. Le polynˆomeP0=P1+V1µ1= P2+V2µ2 est une “solution particuli`ere” du syst`eme de congruences

(P ≡ P1 [µ1] P ≡ P₂ [µ₂] . Un polynˆome quelconqueP v´erifie alors ce syst`eme si et seulement si

(P ≡ P0 [µ1]

P ≡ P₀ [µ₂] , ce qui

´

equivaut `a

(µ₁ | P−P₀ µ2 | P−P0

, soit `a µ1µ2 |P−P0, donc `aP ≡P0[µ1µ2]. Voil`a qui amorce la r´ecurrence, je laisse le lecteur courageux poursuivre ces chinoiseries.

Soit doncP un polynˆome v´erifiant(*): on a alorsP(D)²=D et, puisque A=SDS⁻¹ avec S inversible,

P(A)²=P(SDS⁻¹)²= S P(D)S⁻¹2

=S P(D)²S⁻¹=SDS⁻¹=A .

2. •SiA est le produit de deux involutions (A=U V avecU²=V²=I), alorsA est inversible et

A⁻¹=V⁻¹U⁻¹=V U =V(U V)V⁻¹=V AV⁻¹, doncAetA⁻¹ sont semblables.

• SiAest inversible et siA⁻¹=P⁻¹AP avecP inversible, alorsP =AP Apuis P²A= (AP A)²A=AP A²P A²=AP A(AP A)A=AP AP A et

AP²=A(AP A)²=A²P A²P A=A(AP A)AP A=AP AP A ,

doncA etP² commutent. D’apr`es la question1., il existe un polynˆomeF ∈C[X] tel que F(P²)²=P². PosonsQ=F(P²), ainsiQ²=P².

La matriceQest un polynˆome en P², donc un polynˆome enP ; elle commute donc avecP et avecP⁻¹. En posantU =QP⁻¹, on a alors

U²= (QP⁻¹)²=QP⁻¹QP⁻¹=Q²(P⁻¹)²=Q²(P²)⁻¹=I : U est une involution.

Posons enfinV =U⁻¹A=P Q⁻¹A; ainsi,A=U V, il reste `a prouver queV est une involution : V² = P Q⁻¹AP Q⁻¹A=QP⁻¹AP Q⁻¹A (*)

= P⁻¹QAQ⁻¹P A (**)

= P⁻¹AP A (***)

= A⁻¹A=I cqfd. (*): carP Q⁻¹= (QP⁻¹)⁻¹=U⁻¹=U =QP⁻¹ ; (**) : carP et Qcommutent ;

(***): carAcommute avec P², donc aussi avecQqui est un polynˆome enP².

EXERCICE 4 :

1.SoitN ∈ Mn(C) une matrice nilpotente. Montrer l’existence d’une matriceM ∈ Mn(C) telle que exp(M) =In+N.

2.Montrer que l’application exp :Mn(C)→GLn(C) est surjective.

- - - -

1.Soitrl’indice de nilpotence deN (N^r−16= 0 etN^r= 0). Soit le polynˆomeP, partie r´eguli`ere du d´eveloppement limit´e `a l’ordrer−1 de la fonctionf :x7→ln(1 +x) en z´ero :

P(X) =X−X²

2 +. . .+ (−1)^rX^r−1 r−1 =

r−1

X

k=1

(−1)^k+1X^k k .

Soit le polynˆome Q, partie r´eguli`ere du d´eveloppement limit´e `a l’ordre r−1 de la fonction g:x7→e^x en z´ero :

Q(X) = 1 +X+X²

2! +. . .+ X^r−1 (r−1)! =

r−1

X

k=0

X^k k! .

La troncature `a l’ordrer−1 du polynˆome compos´eQ◦Pest la partie r´eguli`ere du d´eveloppement limit´e `a l’ordre r−1 en z´ero de la fonction compos´ee g◦f :x 7→1 +x (cours de MPSI sur les d´eveloppements limit´es), le polynˆome (Q◦P)(X)−(1 +X) a donc une valuation au moins ´egale `ar:

(Q◦P)(X) = 1 +X+X^rR(X), avec R∈C[X].

Ainsi, (Q◦P)(N) = Q P(N)

= In +N puisque N^r = 0. Mais, le polynˆomeP ´etant de valuation un, on aP(N) =N A=AN, o`uAest un polynˆome enN:A=

r−1

X

k=1

(−1)^k+1 k N^k−1. Donc P(N)^r

=N^rA^r(puisqueA etN commutent), soit P(N)^r

= 0. Finalement, exp P(N)

=

∞

X

k=0

P(N)^k k! =

r−1

X

k=0

P(N)^k

k! =Q P(N)

=In+N .

2. Toute matrice de la forme λI_n+N avecλ ∈C^∗ et N nilpotente, admet “un logarithme” : en effet, λIn +N = λ(In +N⁰) avec N⁰ = 1

λN nilpotente. Si M⁰ ∈ Mn(C) v´erifie exp(M⁰) = I_n +N⁰ et si α est un nombre complexe tel que e^α = λ, alors la matrice M =αI_n+M⁰ v´erifie exp(M) =λI_n+N.

Si A ∈ GLn(C), on peut trouver une matrice inversible P ∈ GLn(C) telle que J = P⁻¹AP soit diagonale par blocs, de la forme

J = diag(λ₁I_n1+N₁, . . . , λ_pI_np+N_p), avec λ₁,. . .,λ_p nombres complexes non nuls ;

n₁,. . .,n_p entiers naturels non nuls tels quen₁+. . .+n_p=n; N_i ∈ M_ni(C) nilpotente

(d´ecomposition suivant les sous-espaces caract´eristiques,cf. d´etails dans l’exercice3., ques- tion1.b.).

Pour tout i ∈[[1, p]], il existe une matrice M_i ∈ Mni(C) telle que exp(M_i) =λ_iI_ni +N_i. Soit la matrice diagonale par blocs

M = diag(M1, . . . , Mp)∈ Mn(C). On a exp(M) =J, puis exp(P M P⁻¹) =P J P⁻¹=A.

EXERCICE 5 :

Soit IK un corps de caract´eristique nulle. Soit A∈ Mn(IK) une matrice, on note χA(X) =anXⁿ+a_n−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a1X+a0

son polynˆome caract´eristique. La matrice C(X) = ^tCom(A−XIn) peut ˆetre consid´er´ee comme une matrice `a coefficients dans IKn−1[X] (le justifier) et peut aussi s’´ecrire comme

“polynˆome `a coefficients matriciels” :

C(X) = ^tCom(A−XI_n) =C_n−1+XC_n−2+· · ·+Xⁿ⁻²C₁+Xⁿ⁻¹C₀=

n−1

X

k=0

X^kC_n−1−k .

1.Montrer que, pour toutk∈[[0, n−1]], on a tr(C_n−1−k) =−(k+ 1)a_k+1.

2.ExpliciterC₀. ExprimerC_ken fonction deC_k−1pourk∈[[1, n−1]]. En d´eduire un algorithme de calcul des coefficients du polynˆome caract´eristique.

Source : solution emprunt´ee `a Yvan GOZARD, dans la RMS (Revue de Math´ematiques Sp´eciales) 9/10 de mai-juin 1994.

- - - -

Les coefficients de la matrice des cofacteurs de A−XIn, ou de sa transpos´ee C(X), sont des d´eterminants de matrices carr´ees d’ordre n−1 extraites de A−XIn, ce sont donc des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `an−1.

1. On a χ_A(X) = det(A−XI_n). Si l’on note Γ_j(X) le j-i`eme “vecteur-colonne” de la matrice A−XIn, les r`egles de d´erivation d’un d´eterminant donnent

χ⁰_A(X) =

n

X

j=1

det Γ₁(X),· · ·,Γ_j−1(X),Γ⁰_j(X),Γ_j+1(X),· · ·,Γ_n(X)

= −

n

X

j=1

M_jj(X) =−tr C(X)

=−tr

n−1

X

k=0

X^kC_n−1−k

!

en notant Mjj(X) le mineur d’indices (j, j) de la matrice A−XIn, qui est le coefficient d’indices (j, j) de la matrice C(X).

On a donc χ⁰_A(X) =−

n−1

X

k=0

trCn−1−k

X^k. En identifiant avec χ⁰_A(X) =

n−1

X

k=0

(k+ 1)ak+1X^k, on obtient

∀k∈[[0, n−1]] tr(C_n−1−k) =−(k+ 1)a_k+1.

2.On a (A−XIn)C(X) =χA(X)In, soit (A−XI_n)

n−1

X

k=0

X^kC_n−1−k

!

=

n

X

k=0

a_kX^kI_n.

En identifiant les “coefficients” (matriciels) dans cette identit´e polynomiale, on obtient les relations

(1) : A Cn−1 = a0In

(2) : A C_n−k−1−C_n−k = akIn (1≤k≤n−1)

(3) : −C0 = anIn

On a ainsi, d’apr`es(3),C₀=−a_nI_n= (−1)ⁿ⁻¹I_n.

Pour k ∈ [[1, n−1]], la relation (2) donne Cn−k = A Cn−k−1+1

k tr(Cn−k)In grˆace `a la relation obtenue `a la question1.et aussi tr(A C_n−k−1)−tr(C_n−k) =n ak=−n

k tr(C_n−k), on en d´eduit tr(C_n−k) = k

k−n tr(A C_n−k−1), puis enfin C_n−k=A C_n−k−1− 1

n−k tr(A C_n−k−1)In.

En r´esum´e, les matricesCk (0≤k≤n−1) peuvent ˆetre calcul´ees de proche en proche par les relations







C0 = (−1)ⁿ⁻¹In

Ck = A C_k−1−1

k tr(A C_k−1)In pour 1≤k≤n−1. On en d´eduit les coefficients du polynˆome caract´eristique puisque a_k = −1

k tr(C_n−k) si 1≤k≤n−1, eta0= 1

n tr(A C_n−1) d’apr`es la relation(1)non encore exploit´ee.

Il s’agit de lam´ethode de Faddeevqui donne lieu, pour des “grosses” matrices, `a des calculs num´eriques plus rapides que le calcul du polynˆome caract´eristique comme d´eterminant.

Une autre fa¸con de retrouver cet algorithme de calcul des coefficients du polynˆome caract´eristique est d’utiliser les formules de Newton, qui permettent de relier les susdits coefficients (fonc- tions sym´etriques ´el´ementaires des valeurs propresλi deAsi on se place dans une clˆoture alg´ebrique deIK) aux nombres

n

X

i=1

λ^k_i = tr(A^k), voir par exemple Jean-Marie ARNAUDI `ES et Henri FRAYSSE, Tome 1, Alg`ebre, exercice XV.4.7, ISBN 2-04-016450-2.