PSI* — 2020/2021 — Corrigé partiel du T.D. 01 Page 1
16. c SoitH∈ Mn(K) une matrice de rang 1.
Montrer que H peut s’écrire comme le produit d’une matrice colonne par une matrice ligne.
En déduire que H2 = Tr (H).H.
Solution : notons au préalable que le produit d’une matrice colonne (de Mn,1(K)) par une matrice ligne (de M1,n(K)) est bien défini et donne une matrice de Mn(K). Plus précisément,
SiC =
c1
... cn
et L= ℓ1 · · · ℓn , alorsC×L= (ciℓj)1≤i,j≤n.
Une telle matrice est de rang au plus égal à 1 (toutes les colonnes sont proportionnelles à C !).
Elle est nulle si et seulement si C = 0 ou L = 0 ; l’implication de droite à gauche est banale et la réciproque est claire par contraposition : si C = 0 et L = 0, je dispose de i tel queci = 0et de j tel que ℓj = 0; alors le produitC×L comporte un coefficient non nul,ciℓj (ce sont des scalaires. . . ).
Il est temps de répondre aux questions. . .
H est de rang 1 par hypothèse. Je note Cj, 1 ≤j ≤n ses vecteurs colonnes. Ils forment une famille de rang 1, ce qui signifie qu’ils appartiennent tous à une même droite vectorielle. Je noteC un vecteur directeur de ladite droite. Je dispose alors par construction, pour tout j, d’un scalaire ℓj tel que Cj =ℓj.C. D’après les remarques à froid ci-dessus, en posant L= ℓ1 · · · ℓn , j’ai
H =C×L.
Noter que cette décomposition n’est pas unique. . . On peut vérifier que les décompositions de cette forme sont les
(λ.C)× 1
λ.L , λ∈K∗. Reste à calculerH2.
Première solution (bestiale) : comme H = (ciℓj), j’ai H2 = H ×H = (hi,j) avec, par définition du produit matriciel,
∀(i, j) hi,j = n
k=1
(ciℓk) (ckℓj) = n
k=1
ckℓk .ciℓj
en mettant en facteur les valeurs qui ne dépendent pas de k. Je reconnais les termes diagonaux deH :
n k=1
ckℓk= Tr (H), d’où finalement
H2 = Tr (H).H.
Seconde solution (diabolique) : d’après la question précédente, H2 = (C×L)×(C×L)
et je peux utiliser la pseudo-associativité du produit matriciel : dès qu’un produit de matrices est défini (dimensions compatibles), on peut placer des parenthèses comme on veut pour effectuer les multiplications (en laissant bien sûr les facteurs dans le même ordre, de gauche à droite !). Ici j’écris (habilement)
H2=C×(L×C)×L
et je constate que L ×C est une matrice carré d’ordre 1 ! Son unique coefficient n’est autre que
n k=1
ℓkck= Tr (H). Je peux donc écrire
H2 = Tr (H).(C×I1×L) = Tr (H).H
selon la propriété bien connue des matrices de la forme In : ce sont despseudos éléments neutres, elles disparaissent dans un produit matriciel (pour autant que ledit produit ait un sens. . . ).
On retrouve ainsi le résultat, mais ce n’est pas forcément plus facile à rédiger. . .
Noter que c’est dansMn(K)(matricescarrées) que l’on parle d’associativité et d’élément neutre pour laloi de composition interne×. . . Mais de nombreuses règles de calcul se généralisent aux produits de matrices de tailles variées. . .
N.B.: nous avons montré que, siHest de rang 1, elle admet pour polynôme annulateurX2−Tr (H).X!
