MPSI B Année 2012-2013 Énoncé DM 14 (pour le 12/04/13) 29 juin 2019
L'objet de ce problème est de montrer que tout automorphisme de l'algèbre des matrices 2×2sur un corpsKest une conjugaison.
Il comporte trois parties. La première rassemble divers résultats utiles pour la suite, la deuxième porte sur une décomposition des endomorphismes de l'espace vectoriel des ma- trices et la troisième démontre le résultat annoncé.
On désigne parMl'algèbre des matrices2×2à coecients dans un corpsK. On adopte les notations suivantes :
E1= 1 0
0 0
, E2= 0 0
1 0
, E3= 0 1
0 0
, E4= 0 0
0 1
, I= 1 0
0 1
La familleB= (E1, E2, E3, E4)est une base deM, on ne demande pas de le vérier.
On noteL l'ensemble des endomorphismes de M. Un automorphisme de l'algèbreM est un élémentΓdeLbijectif vériant
∀(X, Y)∈ M2, Γ(XY) = Γ(X)Γ(Y)
SoitAetB deux matrices deM. On dénit une applicationΦA,B deMdansMpar :
∀X ∈ M, ΦA,B(X) =A X B
Partie I. Outils.
1. Quel est le nombre de lignes et de colonnes de la matrice d'un élément de L dans la baseB? Quelle est la dimension duK-espace vectorielL?
2. a. SoitA etB deux matrices deM, montrer queΦA,B∈ L.
b. SoitB ∈ GL2(K), montrer queΦB−1,B est un automorphisme de l'algèbre M. Un automorphisme de ce type est appelé une conjugaison.
3. a. Soitλ∈K, calculerPλ−1APλ avec Pλ=
1 λ 0 1
, A=
a b c d
b. SoitA∈ Mtelle queP−1AP =Apour touteP ∈GL2(K). Montrer qu'il existe µ∈K tel queA=µI.
4. On note θ l'application de M dans M dénie par θ(X) = tX pour tout X ∈ M. Vérier queθ∈ Let calculer la matrice deθdans la baseB.
Partie II. Décompositions des endomorphismes de M .
L'objet de cette partie est de montrer que tout élément de L se décompose en une somme d'au plus quatre endomorphismes de type ΦA,B et de donner des propriétés de telles décomposition.
Dans cette partie,k∈Net(A1,· · ·, Ak),(B1,· · · , Bk)sont deux familles de matrices dans Mavec
Φ = ΦA1,B1+· · ·+ ΦAk,Bk
1. Montrer que sirg(A1,· · ·, Ak) = 1 alors il existeAetB dansMtels queΦ = ΦA,B. 2. a. CalculerΦA,B(E1),ΦA,B(E2),ΦA,B(E3),ΦA,B(E4)pour
A= a b
c d
, B=
b1 b3
b2 b4
En déduire la matrice (notéeA◦B) deΦA,B dans la baseB. Vérier l'expression (par blocs) suivante
A◦B=
b1A b2A b3A b4A
b. SoitA,B,P,Qdes éléments deM. Montrer que (P◦Q) (A◦B) = (P A)◦(B Q) 3. Pourientre 1 etk, on note :
Bi= b(i)1 b(i)3 b(i)2 b(i)4
!
pouri∈ {1,· · ·, k}
On note aussi la matrice deΦdansBavec des blocs 2×2 : MatBΦ =
U1 U2 U3 U4
a. Exprimer lesU1,U2,U3,U4 en fonction desAi et des éléments des matricesBi. b. SoitV1,V2,V3,V4dansM. Former la matrice dans Bde
ΦV1,E1+ ΦV2,E2+ ΦV3,E3+ ΦV4,E4
4. On dira qu'un élément deL admet une décomposition de longueurk si et seulement si il s'écrit
ΦA1,B1+· · ·+ ΦAk,Bk
avec deux familles(A1,· · ·, Ak),(B1,· · ·, Bk)de matrices dansM.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M1214E
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a. Montrer que tout élément deL admet une décomposition de longueur4. b. Montrer que tout élément deL admet une décomposition
ΦA1,B1+· · ·+ ΦAk,Bk
de longueur k ≤ 4 pour laquelle (A1,· · ·, Ak) et (B1,· · ·, Bk) sont libres. (On pourra considérer la plus petite des longueurs possibles).
5. Former une décomposition de longueur4de l'applicationθ(transposition) dénie dans la partie I et montrer qu'elle n'admet pas de décomposition de longueur3.
6. a. On considère des familles(A1,· · · , Ak),(B1,· · · , Bk),(B01,· · ·, Bk0), de matrices dansM. On suppose que(A1,· · ·, Ak)est libre. Montrer que
ΦA1,B1+· · ·+ ΦAk,Bk = ΦA1,B0
1+· · ·+ ΦAk,B0
k ⇒(∀i∈ {1,· · ·k}Bi=Bi0) b. On considère des familles(A1,· · · , Ak),(A01,· · ·, A0k),(B1,· · ·, Bk), de matrices
dansM. On suppose que(B1,· · · , Bk)est libre. Déduire de la question précédente que
ΦA1,B1+· · ·+ ΦAk,Bk= ΦA0
1,B1+· · ·+ ΦA0
k,Bk ⇒(∀i∈ {1,· · ·k}Ai=A0i)
Partie III. Automorphismes de M .
Dans cette partie Γ désigne un automorphisme de l'algèbre M. En tant qu'élément de L, il admet une décomposition
Γ = ΦA1,B1+· · ·+ ΦAk,Bk
pour laquelle(A1,· · ·, Ak)et (B1,· · · , Bk)sont libres etk≤4.
1. a. Montrer queΓ(I) =I et que, pourX ∈ M,Γ(X) =I si et seulement siX=I. b. SoitX ∈ M, montrer queX est inversible si et seulement siΓ(X)est inversible.
2. a. Montrer que, pour toutientre1etk et toutY ∈ M, Y Bi=BiΓ(Y), AiY = Γ(Y)Ai
b. Soiti etj entre1et ketY ∈ Minversible. CalculerΓ(Y−1)AiBjΓ(Y).
3. a. Montrer que, pour tousietjentre1etk, il existeλi,j∈Ktel queAiBj=λi,jI. b. Montrer qu'il existe un i tel que λi,i 6= 0. On supposera que i = 1. En déduire
queA1est inversible. Comment s'exprimeB1? 4. Montrer queΓest une conjugaison.
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