On consid`ere la matrice tridiagonale A ∈Rn×n d´efinie par A

Universit´e Pierre et Marie Curie – Paris 6 Examen de travaux pratiques Licence de Math´ematiques MA380 – Analyse Hilbertienne et Num´erique

11 janvier 2007 9h `a 10h

Les appareils ´electroniques et les documents sont interdits. Les r´eponses de- vront ˆetre r´edig´ees de mani`ere rigoureuse. Lorsque des r´esultats du cours seront utilis´es, ils devront clairement ˆetre ´enonc´es. On notera que certaines questions peuvent ˆetre r´esolues ind´ependamment.

On consid`ere la matrice tridiagonale A ∈R^n×n d´efinie par

A=

⎡

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

β1 γ1 0 . . . 0 0 α1 β2 γ2 0 . . 0 0

. . . . . . . .

. . . . . . . .

0 0 0 0 . . βn−1 γn−1

0 0 0 0 . . αn−1 βn

⎤

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦ .

1. On d´efinit les vecteurs a∈Rⁿ⁻¹, b∈Rⁿ et c∈Rⁿ⁻¹ suivants :

a= [α1, . . . , αn−1]^t, b= [β1, . . . , βn]^t, c= [γ1, . . . , γn−1]^t.

Ecrire une fonction scilab´ A = Matrice_tridiag(n,a,b,c) qui construit la matrice A

`

a partir de la dimension n et des vecteurs a ∈ Rⁿ⁻¹, b ∈ Rⁿ et c ∈ Rⁿ⁻¹. On fera des tests d’erreur pour v´erifier que les tailles des vecteurs a, b et c sont n−1, n et n−1 respectivement.

2. On se place dans le cas particulier o`u le vecteur c est nul. La matrice A est donc `a la fois tridiagonale et triangulaire inf´erieure. On suppose que la matrice A est inversible et on consid`ere le syst`eme lin´eaire Ad=f avec

d= [δ1, . . . , δn]^t et f = [ϕ1, . . . , ϕn]^t.

R´esoudre ce syst`eme `a la main par une m´ethode de substitution (m´ethode de descente).

En d´eduire une formule de r´ecurrence permettant d’exprimer (δi)_1≤i≤n en fonction de (ϕi)_1≤i≤n, (βi)_1≤i≤net (αi)_{1≤i≤n−1}. ´Ecrire la fonction scilabd=Resol_directe(n,a,b,f) qui associe `a n, a∈Rⁿ⁻¹, b∈Rⁿ et f ∈Rⁿ la solution d∈Rⁿ.

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3. On se place dans le cas particulier o`u c= a. La matrice A est donc maintenant tridia- gonale et sym´etrique.

On veut ´ecrire A sous la forme A = LL^t avec L une matrice triangulaire inf´erieure in- versible. Comment s’appelle cette factorisation ? Sous quelle condition est-il possible de d´ecomposer une matrice sous cette forme-l`a ?

Soit :

L=

⎡

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

λ1 0 0 . . . 0 0

μ1 λ2 0 0 . . 0 0

. . . . . . . .

. . . . . . . .

0 0 0 0 . . λn−1 0 0 0 0 0 . . μn−1 λn

⎤

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦ avec λi >0,∀1≤i≤n.

Calculer la matrice LL^t. Montrer que si A = LL^t, alors les cœfficients (λi)_1≤i≤n et (μi)_{1≤i≤n−1} sont donn´es par :

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

λ1 = √ β1

μi = αi

λi, ∀1≤i≤n−1 λi+1 =

βi+1−μ²_i, ∀1≤i≤n−1.

Ecrire une fonction scilab´ [l,m]=decomposition(n,a,b) qui `a n, a ∈ Rⁿ et b ∈ Rⁿ⁻¹ associe les vecteurs l= (λi)_1≤i≤n ∈Rⁿ etm = (μi)_{1≤i≤n−1} ∈Rⁿ⁻¹.

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