Sur l'évaluation de la moyenne par rapport aux états de polarisation dans les processus comportant des émissions ou absorptions de corpuscules de spin ħ. Application aux effets Compton électromagnétiques, mésiques et photomésique

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ou absorptions de corpuscules de spin ħ. Application

aux effets Compton électromagnétiques, mésiques et

photomésique

Gérard Petiau

To cite this version:

SUR

L’ÉVALUATION

DE LA MOYENNE

PAR

RAPPORT AUX

ÉTATS

DE POLARISATION DANS LES PROCESSUS

COMPORTANT DES

ÉMISSIONS

OU ABSORPTIONS DE CORPUSCULES DE SPIN 0127.

APPLICATION AUX EFFETS COMPTON

_{ÉLECTROMAGNÉTIQUES,}

_MÉSIQUES

ET

_{PHOTOMÉSIQUE}

Par GÉRARD PETIAU. Institut Henri

Poincaré,

Paris.

Sommaire. - Démonstration directe et extension d’une formule de R. P.

Feynman sur l’évaluation de _{la moyenne par} rapport aux états de polarisation dans les processus comportant des émissions ou absorptions de _quanta réels de _{spin 0127} et de type vectoriel. _Application au calcul des sections efficaces de diffusion de l’effet _{Compton électromagnétique} et des effets _{Compton généralisés mésiques,} photo-mésiques et _{mésophotoniques.}

1. Dans sa théorie

_générale

des interactions

électromagnétiques,

M. R. P.

_{Feynman [1]}

_]

a

intro-duit une méthode

_remarquable

_permettant

d’effec-tuer, dans le calcul

_covariant,

des sections efficaces des

_processus’

_comportant

des émissions ou

absorp-tions de

_quanta

_{électromagnétiques,}

l’évaluation des moyennes sur les états de

polarisation

des

quanta

émis ou absorbés.

Il en a

conclu,

en

_particulier,

_{que le}

_concept

de

lumière non

_polarisée

_peut

être considéré comme

invariant du

_point

de vue relativiste.

Nous allons montrer _{ici que les résultats de}

M.Feyn-man se

_transposent,

se

_précisent

et se

_complètent

dans le cas où les

_quanta

émis sont des

_photons

satisfaisant aux

_équations

de la théorie de ~I. Louis

de

_Broglie

_[2]

ou des mésons de

_type

vectoriel. Nous

_appliquerons

ensuite les résultats obtenus au cas de l’effet

_Compton

_{électromagnétique}

et aux

effets

_{Compton mésiques}

et

_{photomésiques.}

Considérons un

_phénomène

résultaiit d’une suite

d’émission ou

_{d’absorption}

de

_quanta

_réels

appar-tenant à des

champs

en, ... neutres, par

des

_corpuscules

de Dirac de

spin il- ,

soient

_A,

B,

C,

....

2

Nous

représenterons

les

_quanta

des

_champs

CI, dm, ... par des ondes

planes

d’énergies, impulsions

et masses réduites

A

_chaque

_{processus élémentaire d’émission} ou

d’absorption

d’un

_quantum

de

_{champ correspond}

un élément de matrice

_qui,

_pour la transition d’un

des

_corpuscules,

soit A entre les états d’ondes

planes

avec émission ou

_absorption

du

_{quantum kL}

(L= 1,

m, n,

_{.. , )}

s’écrit

ÚJL étant un invariant construit sur les matrices de

Dirac caractérisant le

_corpuscule

_{A que} nous

préci-serons

_plus

loin.

_{Les gL}

sont des constantes de

couplages

entre

_champs

et

_corpuscules,

_{telles que les}

charges

électriques

dans le cas

_{électromagnétique.}

Désignant par P

L,

M, N, ...)

B _une

permuta-(l,

> n, ...

tion des indices

l,

m, n, ..., 1 l’élément de matrice

du _processus

_global

s’écrit en nous _{bornant pour}

simplifier

l’écriture,

à une suite de trois émissions

ou

_absorptions

~~, EM, EN étant

_égaux

_{à + 1}

ou -

i, suivant que le

quantum

ki, km, kn

correspondant

est émis ou

absorbé.

Les indices

_(p,

q,

... ),

(p’,

q’, ... )

caractérisent des états intermédiaires pour

lesquels

il

_n’y

a _pas, en

_général,

conservation de

l’énergie,

celle-ci n’étant

conservée que dans le processus

global,

ce

_qui

nous

donne la relation

Au

contraire,

la

_quantité

de mouvement est

conservée au cours de la suite des processus

élémen-taires,

d’où les relations

l’élément de matrice

₍₂₎

s’écrit encore

Le calcul de la section efficace de réalisation du

phénomène

considéré conduit à l’évaluation de

j ,H’~’’ ;2 qui

se

_ramène,

_{par la méthode de}

Casimir,

au calcul d’une somme de traces _{de matrices que}

nous écrivons

_{symboliquement}

1B(-B),

désignant

des matrices que nous n’avons

pas besoin

d’expliciter

ici.

Dans le cas où le

_quantum

de

_champ

Ci,

émis ou

absorbé,

est de

_type

_{électromagnétique}

ou

_mésique

vectoriel,

cette émission ou

_absorption

_peut

s’effec-tuer suivant trois

_types

de

_{quanta :}

deux

_quanta

transversaux, un

_{quantum longitudinal.}

Nous dési-gnerons par ni,

ni, nï

trois vecteurs unités formant

un

_trièdre,

ni étant

_dirigé

suivant la direction de

propagation

du

_quantum,

ki,

n)

et

_ni

lui étant

per-pendiculaire.

Nous avons ainsi

Suivant le formalisme de la théorie du

_photon

ou de la théorie du méson

_vectoriel,

les éléments de matrice

₍₁₎

_{pour l’émission} ou

_{l’absorption}

de Ci

La masse _{propre réduite} du

_corpuscule

de

champ

est infiniment

_petite

dans le cas du

_photon

suivant la théorie de M. L. de

_Broglie,

elle

corres-pond

à la masse du méson dans le cas où le

_corpuscule

de

_champ

Ci est un méson vectoriel.

Pour chacun de ces trois

_types

de

_quantum,

ou

_Lg,

nous avons une

_expression

de

H’ ~ ~’

12

de la forme

_(6),

~~~A~,

étant les mêmes pour les trois cas.

Nous

_prendrons

la _{valeur moyenne} sur les trois

états de «

polarisation »

en considérant les trois

types

d’émission comme

_{indépendants}

et

_également

probables,

ce

_qui

nous conduit à évaluer la somme

Introduisant dans cette somme

_{l’expression (6)}

et les éléments de matrice

_(8),

on obtient

Développant

le second terme et

_remarquant

_que

on obtient en

_regroupant

les termes à l’aide de la relation

Nous écrirons encore cette

_expression

Posant

on voit que le

_premier

terme

_correspond

à la consi-dération de l’élément de matrice d’émission vectoriel

et

Nous allons montrer en suivant un raisonnement

identique

à celui de

_Feynman

_que l’on a ici

Pour

cela,

nous introduisons

_{l’expression}

dans l’élément de matrice

développé

(5).

Remarquons

que, tenant

compte

de

₍₃₎

et

_(4),

l’on a

et

_remplaçant

dans

_(5),

on obtient

Effectuant la sommation sur les états

intermé-diaires _p,

_p’,

_q,

_qui

ne

_figurent

_plus

aux

dénomina-teurs, on voit immédiatement que cette somme est nulle.

_____

Il reste

donc,

pour la moyenne

H’ ~" i2

sur les

trois états de

_{polarisation,}

_{l’expression}

donnée _{par M.}

_Feynman

dans le cas de

l’électro-magnétisme classique

et _que nous retrouvons ici directement en théorie du

_photon

ou du méson vectoriel en introduisant

_{l’expression explicite}

des

ondes

_{longitudinales.}

Toutef ois,

le raisonnement ci-dessus considère les

quanta

Cl

appartenant

à des

_champs

de

_type

« _pur », c’est-à-dire tels que l’émission ou

l’absorp-tion d’un

_quantum

de

_champ

ne _{modifie pas la} masse _propre ou

_l’énergie

interne du

_corpuscule

qui

l’émet ou l’absorbe.

Dans le cas

_contraire,

_qui

est le cas

_général,

nous devons considérer que les masses _propres

corres-pondant

aux états intermédiaires d’indices p,

_p’,

... ,

c~, q’,

... sont distinctes des masses propres initiales

ou

_finales,

_{lui, ~;.}

Nous écrirons alors que l’émission ou

_{l’absorption}

du

_quantum

1~l fait passer le

corpuscule

A de l’état

_(Kp,

_up)

à l’état

avec la variation de masse _propre

(Ei=

+ i ou -

i, suivant

qu’il

y a émission ou

absorption

de

_Ci).

ai

caractérisera la liaison du

champ

Ci et du

_corpuscule

A. Dans le cas de

_champ

« _pur ~~,

01 ==

o. Dans le cas d’émission « interne »,

81.

Dans ces

_conditions,

nous _ayons, au lieu des relations

₍₂₀₎

s’exprime

maintenant par une somme de deux

expressions.

La

_première,

_identique

à celle du cas

précédent,

est nulle.

La seconde nous redonne

l’expression

de H’ (1;

avec, pour mi, le terme

ce

_qui

revient à considérer l’élément de matrice d’émission ou

_{d’absorption}

correspondant

à un

_potentiel

de

_type

scalaire associé

à l’invariant

corpusculaire

(ex,,)

et non

_plus

au

quadrivecteur

courant

_(1),

_(a).

Dans le cas

_général,

la moyenne sur les

polari-sations conduit donc à

_ajouter

un terme

_¡2,

qui

ne _{s’élimine pas,} au terme vectoriel de la forme

_(16),

considéré _{seul par}

_Feynman.

Les éléments de matrices d’émission ou

d’absorp-tion considérés en

₍₈₎

_{correspondent}

à l’interaction

s’exerçant

par le

couplage

corpuscule-potentiel

quadri-vecteur du

_champ

vectoriel. Dans la théorie du

Considérons le cas des interactions en

_f

seules. La _moyenne

₍₉₎

sur les ondes

_{longitudinales}

et

transversales s’écrit d’une

façon

analogue

à

₍₁₀₎

Or,

nous avons les relations

Regroupant

les termes de

_(29),

il reste alors

Si l’on pose

nous avons

et l’on _{voit immédiatement que}

₍₃₂₎

s’écrit

.

Par

suite,

nous

_{obtenions ! I~’ ~1’ ~2}

en évaluant

l’expression

avec

_{H’ (1 B}

construit avec l’élément de matrice

Nous voyons que, dans ce cas, la méthode

de sommation sur les états de

_polarisation

de

Feynman

se

_généralise

sans difficultés et sans

faire intervenir de terme

_{supplémentaire.}

Dans le cas d’intervention simultanée des termes en _gl et

_fi,

l’on est conduit à

considérer,

dans

_(29),

des termes de la forme

qui

s’écrivent encore

_après

remaniements’

*

Posant encore

on voit immédiatement _que se met sous

la forme

_(36),

_{H’ 1’,,}

étant construit avec les éléments

de matrices

2. Nous allons maintenant

_appliquer

la théorie

générale

ci-dessus au cas de l’effet

_Compton

élec-tromagnétique

et des effets

_{Compton généralisés}

mésiques,

photomésiques

et

_{mésophotoniques.}

Nous considérons un

_corpuscule

libre

_(A)

de

spin

décrit par les solutions de

_{l’équation}

d’ondes de

_Dirac,

initialement dans un état

_{(Ao) d’énergie,}

impulsion

et masse _{propre réduites}

_I~.,o,

_K.,o,

=

Klo

₊

représenté

_par l’onde

plane

à

énergie positive

d’amplitude

u~ ,

normée dans le volume unité. Ce

_corpuscule,

d’une

part

absorbe un

_quantum

_{Co représenté}

_par l’onde

plane

de

_{paramètres k,, ko, !-Lo (k)}

=

k~

₊

p.~)

d’un

champ

C,

constitué par des

_corpuscules

de

_spin

o

ou h

_(photons

ou

_mésons),

neutres ou

_chargés

_et,

d’autre

_part,

émet un

_{quantum Ci représenté}

_par

l’onde

_plane

de

_{paramètres kl,}

_k1,

_(k2-

_ki

+

iden-tique

ou non au

_premier.

Le

_{corpuscule (A)}

se

trouve finalement dans l’état

_(Al)

de

_paramètres

KA1’ KA1’

représenté

par

l’onde

_plane

à

_{énergie positive}

Dans le _processus

_global,

il _y a conservation de

l’énergie

et de la

_quantité

de _mouvement, d’où les relations

Selon notre discussion

_générale,

nous n’admettrons pas, a

_priori,

la conservation de la masse _propre du

corpuscule (A),

ni dans _{le processus}

_global,

ni dans

les états intermédiaires.

Nous admettrons que

l’absorption

de

_Co

_augmente

la masse _{propre réduite de}

_(Ao)

d’une

_quantité

ôo,

tandis que l’émission de

G’1

la _{diminue d’une}

quan-tité

_6,,

les différences po

- 00’

ô1

étant

ana-logues

à des

_énergies

de liaison.

Le cas

_{électromagnétique}

se _{caractérisera par la}

condition de masse _propre évanescente _{pour les}

corpuscules

de

_champs,

soit

Dans le cas

_général,

nous aurons, dans le processus

global,

-

-En

_général,

l’état final

_(A,)

_pourra être obtenu par deux processus. Dans le

premier,

il y a d’abord

absorption

de

_C,,

_(A)

_{passe de l’état initial}

_(Ao)

à

l’état intermédiaire

_(A’),

avec

puis

émet

_CI

_pour se trouver finalement dans l’état

_(A,).

Dans le

second,

il y a d’abord émission

de

_{CI, (A)}

_passant

de

_(Ao)

à l’état intermédiaire

_(Ali)

uA" avec

Nous

_désignerons

_par

les constantes de

_couplage

du

_{corpuscule (A)}

dans les états

_{(A,), (A’), (A")}

avec les

_champs

_do

et

_el,

Dans le cas de

_champ

« neutre a~, c’est-à-dire tel que

l’émission ou

_{l’absorption}

de

_Co

ou de

_CI

ne modifie

pas la

charge électromagnétique

ou

_mésique

de

_(A),

nous avons a = b = i.

-Avec les notations introduites

ci-dessus,

l’élément de matrice du processus

global

s’écrit

Nous poserons

et nous introduirons les notations covariantes

Nous avons alors

L’élimination de

KA,

et de introduit les dénominateurs

L’élément de matrice

₍₄₆₎

se ramène à la forme

La section efficace de diffusion

_Compton

géné-ralisée

correspondant

à l’émission du

_quantum

Ci

dans

_l’angle

solide

_{d Qk1}

autour de la direction

kl’

le

_{corpuscule (A)}

étant

_projeté

dans la direc-tion

_K~1

a _pour

_expression

où

Le calcul de

_(S)

ou

_{de ~}

H’

_{t1’ ’i2}

s’effectue sans

difplculté par la méthode des traces de Casimir

_[3].

Nous donnerons ci-dessous les

_expressions

complètes

de S pour divers

types

d’interaction en

effectuant pour les interactions vectorielles les

moyennes sur les états de

_polarisation

_{par la méthode}

de

_{Feynman généralisée}

que nous avons

_développée

ci-dessus.

Pour faciliter

l’écriture,

nous noterons _{par eo, el,} les.vecteurs «

_{polarisations}

» transversaux

désignés

par

n~

ou

n§ , ni

ou

n‘1

antérieurement.

Nous avons donc

Dans le cas d’une interaction vectorielle

transver-sale nous aurons

pour une interaction scalaire

pour une interaction

_{pseudoscalaire}

Nous noterons S

_(eo,

_{l’expression}

de S

corres-pondant

aux

_{polarisations}

_{eo, el; par S}

(eo,

el)’

résultat _{des moyennes}

effec-tuées sur _{eo et el; par}

S( e,o ,

;’-111)’ s( --¡¡(O , el),

le résultat des moyennes effectuées

s

aj),

avec a4 ou a3 les fonctions S

cor-respondant

au cas de l’émission

_CI

scalaire ou

pseudo-scalaire.

Pour

_simplifier

l’écriture des termes de S nous

remarquerons que les différents covariants

qui

s’introduisent dans leurs

_expressions

se ramènent à des formes

_simples

si l’on y introduit les

dénomi-nateurs

_Do

et

_Dl

définis en

(50).

Nous avons, en

_effet,

Selon la théorie

_générale

ci-dessus,

au cas où les

champs C,

et

_Cl

sont tous deux

vectoriels,

corres-pondent

les fonctions S

avec

Cette formule se

_simplifie

notablement dans le cas

des

_champs

neutres _pour

_lesquels

a = b = 1.

Dans le cas

_photonique

_pour

_lequel

on obtient la formule de Klein-Nishina

_{généralisée [4]}

tenant

_compte

du mouvement du centre diffuseur

avec 1

Si,

de

_plus,

le

corpuscule A

est initialement au

Pour et S

_(eo,

CX4)’

nous obtenons successivement

et

qui

se réduit dans le cas neutre à

Dans le cas où les

_champs

_eo

et

_Cl

sont

électro-magnétiques

et où l’on effectue la _moyenne sur la

polarisation

el

seule,

l’on a

Si,

de

_plus,

l’on a

Pour

_S

_-,D

"

a~n ~~

s

cx.~),

S

(cx.!~,

cx.!~),

nous obtenons

Dans le cas

_{électromagnétique,}

on a

Dans cette

_expression,

ne

_figure

aucun élémen t

angulaire

et cette formule semble distincte de celle donnée par M.

Heitler,

mais si nous _posons

nous avons, à

_partir

de

qui

se réduit ici à

d’où

nous retrouvons ici la formule de Heitler.

Lorsque

le

_champ

_(:0

est de

_type

vectoriel,

le

champ

Cl

étant de

_{type pseudoscalaire,}

nous avons

les fonctions S

Dans le cas

photomésique pseudovectoriel

neutre

(e 0

électromagnétique,

éB

pseudoscalaire),

ces formules se réduisent aux

_expressions

Dans le cas où le

_champ

_eo

est du

_type

vectoriel,

le

_champ

_C,

étant du

_type

_mésique

scalaire,

nous avons les fonctions S

déjà

données par les

expressions (64), (70), (71).

Dans le cas

_{photomésique}

neutre

_(eo

électro-magnétique,

Cl

mésique scalaire),

ces formules se

réduisent aux

_expressions

Nous remercions 1B1. le Professeur Louis de

_Broglie

pour la bienveillante attention

qu’il

a bien voulu

accorder à ce travail.

Manuscrit reçu le 22 octobre 1951.

BIBLIOGRAPHIE.

[1] FEYNMAN R. P. 2014

Phys. Rev., I949, 76, 780. [2] DE BROGLIE L. -

Voir, par exemple, Mécanique ondula-toire du _photon et Théorie _quantique des _champs, Paris.

I949.

[3] CASIMIR H. - Helv.

Phys. Acta, I933, 6, 287; HEITLER W.

2014 The _{quantum Theory of} Radiation, p. I50; PETIAU _G. 2014 J. _Physique Rad., I95I, 12, 565.

[4] KLEIN O. et NISHINA Y. 2014 Z.

Physik, I929, 52, 853;

HEITLER W. 2014 The quantum Theory of Radiation,