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Sur quelques propriétés des corpuscules de spin 1/2
h/2π dans les champs électromagnétiques
Gérard Petiau
To cite this version:
SUR
QUELQUES
PROPRIÉTÉS
DES CORPUSCULES DESPIN $$ 1/2 h/203C0
DANS LES CHAMPSÉLECTROMAGNÉTIQUES
Par GÉRARD PETIAU.
Institut Henri-Poincaré.
Sommaire. 2014 L’introduction dans
l’équation d’ondes de l’électron de Dirac, représentant, d’une façon générale, les corpuscules de
spin $$I/2.h/203C0
d’un terme d’interaction électromagnétique s’exerçant directement par les champs et non plus seulement par les potentiels, permet de représenter un corpusculepossédant un moment magnétique propre non lié à l’existence de la charge.
Nous examinons ici quelques propriétés de ce corpuscule que l’on peut déduire de l’équation d’ondes.
Après avoir défini un opérateur vitesse généralisé, nous montrons comment l’introduction d’un tenseur
d’impulsion généralisé permet d’étudier les forces résultant de l’action du champ sur le corpuscule, celles-ci se décomposant en une force correspondant à la force de Lorentz classique et en une force due au moment électromagnétique propre ou force de spin dont nous discutons la possibilité de mise
en évidence.
Les résultats obtenus sont ensuite retrouvés dans l’étude de l’approximation non relativiste de
l’équation d’ondes considérée, d’abord dans le cas du champ électromagnétique quelconque puis, plus
en détail, dans le cas du champ électrique central.
1. La théorie de l’électron relativiste de Dirac
représente
l’état ducorpuscule
de en2 .2’
l’absence de
champ
extérieur par les fonctionsd’ondes §g
(k
= 1, 2,3,
4),
solutions dusystème
d’équations
linéaires aux dérivéespartielles
dupremier
ordre :- / A B
oc, oc4
représentant
unsystème
dequatre
matricesdu
quatrième
rang, telles queLorsque
cecorpuscule
portant
unecharge
s setrouve
placé
dans unchamp électromagnétique
caractérisé par les
champs
électrique
etmagné-tique
E,
H et par lespotentiels
scalaire etvec-teur
Ao,
A,
l’équation
d’ondes déterminant les fonctionsUlk
se déduit de(1)
enremplaçant
lesopérateurs
po, p par po~- ~ Ao,
p +§ A,
cequi
revient àcompléter l’équation
(1)
parl’expression
invariante dans une transformation de Lorentz
11
et à écrire celle-ci
,
sous la forme
,
L’interprétation
de cetteéquation
conduit àattribuer au
corpuscule
un momentcinétique
’
propre ou
spin
et un momentélectromagnétique
propre
auquel correspond l’énergie
potentielle
’
en
désignant
par xet,
les matrices vecteurs decomposantes
Cependant,
W. Pauli a montré(1)
quel’expression
invariante(4) pouvait également
être introduite directement dansl’équation
d’ondes(1)
qui
s’écritalors ,
-et dont les solutions
représentent
les états d’uncorpuscule
nonchargé
maispossédant
un momentmagnétique
propre po.Cette
équation
a été considéréedepuis
par denombreux auteurs pour
représenter
leproton
ou leneutron selon que l’on tient
compte,
simultanément
ou non, des deux termes d’interaction
(2)
et(4).
En
particulier,
cetteéquation
a été utilisée dans des travaux récents de Caldirola(2),
G. Breit(3),
R. G. Sachs(4).
Signalons,
enoutre,
que H. Bethe(5)
s’en est servi pour
représenter
le neutrino dansl’hypothèse
où cecorpuscule
nonchargé,
de masse(1) W. PAULI, Handbuch der Physik, 24/1, p. 233.
(2) CALDIROLA, Relativistic correction in calculating the magnetic moment of deuteron. Phys. Rev., 1946, 69, p. 608.
(3) G. BREIT, Relativistic corrections to magnetic moments of nuclear particles. Phys. Rev., gl~~, 71, p. 00-402.
(4) R. G. SACHS, On the magnetic moment of deuteron. Phys. Rev., 1947, 72, p. 91-98.
(5) H. BETHE, Ionisation power of a neutrino with moment
magnetic. Proceed. Cambridge Phil. Soc., 1935, 31, p. 108- 115.
219 très
petite,
seraitsusceptible
de provoquer uneionisation des atomes par l’action directe d’un
moment
électromagnétique
propre sur les électronsintraatomiques.
En
présence
de ces travaux, il nous a sembléqu’il
serait utile depréciser quelques-unes
despro-priétés
que l’onpeut
déduire directement del’équa-tion d’ondes du
corpuscule
considéré. Nous nousproposons
d’exposer
ici les résultats que nous avonsobtenus.
2. Nous considérons le
corpuscule
dont les fonc-tions(que
nous écrironssimplement
’~
àl’avenir)
sont solutions dans lechamp
électro-magnétique Ao,
A, E,
H del’équation
d’ondesr ~ 1 - -. , ...r A . A -1 l
g
et i
étant deux constantes caractérisant les inter-actions.A
l’équation (6);
nous associonsl’équation
conjuguée
Multipliant
ceséquations
par nous en déduisonsla relation
Tenant
compte
de la condition de nullitédes
aux limites du domained’intégration
et de l’hermi-ticité desopérateurs,
cette relation se réduit àen
posant
De
même,
enmultipliant
.(6)
et(7)
parnous
obtenons,
parcombinaison,
la relationintégrale
Or,
nous avons, en l’absence dechamp
extérieur,
D’autre
part,
quel
que soit letype
d’interactionconsidérée,
nous avonsCombinant cette relation avec
(10),
nous endédui-sons
Les relations
(8)
et(13) généralisent (11),
levec-teur
no,
11correspondant
au vecteur p, p v =p ~
de la
Mécanique
ondulatoire sansspin.
3. Nous avons
déjà
rencontré lequadrivecteur
no,
II dans un travail
précédent (6)
où nous avonsétudié comme cas
particulier
leséquations
d’ondes du second ordrecorrespondant
àl’équation
(6).
Par itération de
celle-ci,
on obtient facilementCette
équation,
danslaquelle
nous avonsposé
x,= I~
) n’est pas
hermitienne,
mais parmultiplication
par C(4’ elle devient hermitienne et s’écrit
Introduisant dans cette
équation
lesexpressions (9)
et
(14)
de110
et11,
nousobtenons,
après
divisionpar 2mo,
~ i
Cette
équation
met enévidence,
d’unepart
l’interactionélectromagnétique
due à lacharge
électrique
et auspin
et, d’autre
part,
deux termesd’énergie
potentielle
correspondant
à l’interaction enf ,
l’unclassique :
l’autre
purement
quantique
etcaractéristique
desmélanges
d’états à
énergies positives
etnégatives.
4.
L’équation (6)
écrite sous la formenous
permet
de calculer la dérivée parrapport
autemps
desgrandeurs
caractéristiques
ducorpuscule
au moyen de la formule de dérivation
quantique
A étant
l’opérateur
correspondant
à lagrandeur
considérée.En
particulier,
si nous considéronsl’opéra-teur
p + gA ayant
la variance de lacomposante xt
d’un tenseur du secondordre,
nous obtenonsfaci-lement la relation
Le
premier
terme du second membrepeut
se transformer en utilisant leséquations (6)
et(7)
multipliées
par---
-et par
On obtient alors, par
combinaison,
la relationintégrale
Si nous tenons
compte
de cette relation dans(19),
celle-ci devientMais,
d’autrepart,
les définitions(9)
et(14)
deIIo
et II et l’identité vectorielle
nous donnent
Par
suite,
la relation(21)
s’écrit encoreCette
relation
généralise
celle que l’on obtient(1)
dans le cas de
l’équation
de Dirac usuelle où l’on aet
qui
s’écrit221 mettant en évidence au second membre la force
de Lorentz
classique
et la forceélectromagnétique
due à l’existence du
spin
ou force despin
corres-pondant
àl’énergie
électromagnétique
propreNéanmoins,
l’équation (23) qui
met en évidenceau second membre la force de Lorentz
généralisée
représentée
parl’opérateur
et la force de
spin
d’opérateur
grad(E.1t
+ H.~)avec, pour coefficient d’une
façon
additive,
lesmoments
2 Mo
et- le,
n’est pascomplètement
, ,
2. mo .
satisfaisante. En
effet,
l’opérateur
p +gA
peut
être
complété
par desopérateurs
de même variance construits au moyen desgrandeurs
duchamp
etdes matrices
caractéristiques
ducorpuscule.
Enparticulier,
nous pouvonscompléter
cetopérateur
par
l’expression
-f (E
A
lx)
en considérant pourtenseur
d’impulsion
totalel’expression
Afin d’examiner les modifications que le choix de cette
expression
entraîne dans lareprésentation
desforces
appliquées
aucorpuscule,
nous devons dériverl’opérateur [E A ~,].
°
En utilisant les
équations (6)
et(7)
on obtient facilement la relationintégrale
Remarquant
que nous avonsL B~ / .J
(26)
devient_1 )
Alors que, dans
(21),
nous avions introduitnous sommes conduits ici à introduire le vecteur dual
De
même,
nous introduisons le dual deOr,
par combinaison de(6)
et(7)
multipliées
parnous obtenons la
relation
intégrale
et, .par
suite,
(28)
devientComplétant (23)
avec cetteexpression,
nousobtenons finalement la dérivée de
l’impulsion
géné-ralisée
(25).
Nous voyons
apparaître
au second membre deux« forces de Lorentz » duales l’une de
l’autre,
asso-ciées,
l’une à lacharges
(g
l’autre à unecharge
fictwe s que l’onpeut
déduire de lacons-tante
f
par la relation 12’= 2 n;¡C2
f .
Mais la seule force despin
est alors cellequi correspond
à lacharge
vraie,
c’est-à-dire à la constante g, résultaten accord avec celui que nous déduisons de
l’équa-tion d’ondes du second ordre
(16)
où le termed’énergie
potentielle
dû au momentmagnétique
propre ne
dépend
que de la constante g.Remarquons
que si nousposons g’
c
leten-seur
d’impulsion
généralisé
intervenant aupremier
membre de
(33),
s’écrit encoreDans le cas où le
champ
extérieur estuniquement
f ormules
(33)
ou(24)
se réduisent àa n r ...~- -1
Dans ce cas, à côté de la force de Lorentz
pro-prement
dite,
les forcesén g
et i correspondant
au momentmagnétique
propre interviennent d’unefaçon
additive.Si l’on
examine
les conditions danslesquelles
onpeut
évaluer la force de Lorentzreprésentée
parl’opérateur
-.
. -
-on voit que cette évaluation
exige
la mesure simul-tanée duchamp gH
et de la vitesse.(p + gA)
m
0
Or,
d’après
la théoriegénérale
de la mesure(8),
on sait que si deuxgrandeurs physiques
observables
sont
représentées
par lesopérateurs
linéaires ethermitiens A et
B,
on a[A,
B,
représentant
le commutateur de A et B et àB les écartsquadratiques
définis parAppliquant
cethéorème,
nous voyons que l’éva-luation de la force de Lorentz introduit une erreurI . 5
supérieure
à .Nous retrouvons ici un résultat
qui
a faitl’objet
de nombreuses discussions(9) d’après lesquelles
on conclutgénéralement
que la force despin
nepeut.
être mise en évidence par une
expérience
directe,
l’incertitude dans la mesure de la force de Lorentz étant
toujours
supérieure
à la force despin (ou
demoment
électromagnétique
propre).
Mais nous voyons ici que ce raisonnement ne
porte
que sur la force despin dépendant
dufacteur g
( c’est-à-dire
de lacharge
si g
= ).
Si le coefficient, , ,
c
d’interaction
électromagnétique
directef c
estnota-blement
supérieur
au momentmagnétique
propredû à la ~
2013~2013 ~
la force despin
pourra2 mo 2 moc r r
être mise en évidence par une
expérience
directe.(1) Voir, par exemple : L. DE BROGLIE, Théorie générale des
particules à spin, p. 30-32.
(1) Voir, par exemple, le Rapport de M. W. PAULI au
Congrès Solvay de 1980 sur le Magnétisme.
Nous retrouvons encore ici une des conclusions du
rapport
cité de M. W. Pauli(1).
On
sait,
parailleurs,
que 1VI. J. Thibaud(1°),
’ étudiant le
comportement
de certainsrayonnements
(3
dans des
champs magnétiques inhomogènes
a étéconduit à admettre l’existence de
particules
trèspénétrantes
caractérisées par un momentélectro-magnétique important
etqu’il
adésignées
sous lenom d’électrinos: Si l’on admet que ces
particules
satisfont à
l’équation
d’ondes deDirac,
la considé-ration d’une interactionmagnétique
directeen i
[analogue
à celle introduite par H. Bethe(~)
dansle cas du
neutrino]
donnant un momentmagnétique
prépondérant
devant celui en 9permettrait
d’exa-minerindépendamment
l’action de la force deLorentz et celle de la force de
spin
correspondant
aumoment
magnétique en i
et dejustifier,
par unéquilibre
entre cesforces,
lesrépartitions
corpuscu-laires observées.
5. Nous allons retrouver les résultats
précédents
en examinantl’approximation
non relativistecorres-pondant
àl’équation (6).
Pour
cela, suivant
leprocédé
introduit par W. Pauli etrepris
par R. G.Sachs,
nous allonsutiliser la
représentation
donnée par Dirac pour les matrices oc en écrivant"
a-aPu aIt- == p ;
les f7 et les p étant deux
systèmes
de trois matricesà deux
lignes
et deuxcolonnes,
indépendantes,
tels que
~.~; ~;
r = 1> ‘’;3)
et pour
lesquels
nous prenons lareprésentation
de Pauli :1
Nous avons alors
Si,
au lieu derepérer
lesquatre
fonctions d’ondes~/c
par l’indice k = 1, 2,3,
4,
nousintroduisons
deuxindices = 1, 2, m =
1, 2
écrivant
tfl,nH
l’indice 1correspondant
aux matrices OE, l’indice m auxmatrices p, les fonctions
tft,
tf2
s’écriront les fonctionstf3’ tf~
s’écrironttfl,2.
Nousécrirons,
dansce
qui
suit,
91 pourlui,,,
CP2 pour en omettantl’indice
1.En mettant en évidence ces
fonctions
Oi et u2,(1°) 1VI. J. TIiIBAUD, C. R. Acad. Sc., Paris, 223,
223
l’équation
(6)
sedécompose
en donnant lesystème
Si,
dansl’opérateur
d’énergie
cpo, nousséparons
l’énergie
massique
propre mo c2 en écrivantcpo correspondra
àl’énergie
non relativiste.Si,
en outre, nous avonsla
première
deséquations (36)
nous donneraapproximativement
Iltandis que la seconde des
équations (36)
s’écritReportant (37)
dans(38),
les fonctions Cf2 serontdéterminées par
l’équation
Or,
nous avons, tenantcompte
de div E = o,et en utilisant l’identité
L’équation (39)
devient alorsPosant
Nous avons
et
l’équation
(40)
devientL- J v 1
Le
système
(42)
correspond
auxéquations
d’ondesà
l’approximation
non relativiste cherchées.Ces
équations
introduisentl’impulsion
généralisée
qui
correspond
àl’approximation
non relativistedu vecteur - II et
du tenseur
d’impulsion
En
effet,
ce dernier s’écrit encoreet si nous prenons seulement les termes d’indice 22
en p, tenant
compte
de(P2)22
= o, == - 1,1
ce tenseur se réduit à
l’expression
(43)
de P.De
même,
avecles termes d’indices 22 en p nous donnent
L’équation (42)
considérée commegénéralisant
l’équation
deSchrôdinger
introduit les deux momentsmagnétiques
propres en g etf
d’unefaçon
additivedans le terme
d’énergie
potentielle
l’impulsion
généralisée (41) remplaçant
l’impul-sion p +
gA
usuelle.6. Nous allons examiner
plus
endétail
l’approxi-mation de
l’équation (6)
lorsque
lechamp
extérieur se réduit à unchamp
électrique
central E = E(r)
en mettant en évidence le
couplage
spin-orbite.
L’équation (6)
se réduit alors àLa
décomposition (36)
nous donne encore enposant
,«,. 1
nous en tirons
Calculant
l’expression
le
premier
terme du second membre s’écritEn utilisant les relations vectorielles
le second terme devient
et le terme cherché se réduit à
Introduisant le moment orbital
l’équation approchée (47)
s’écrit maintenantOr,
nous avons, en nous bornant auxpremiers
termes,TI/
Introduisant ces
expressions
dansl’équation
(51),
nous avons les
équations approchées
aux différentsordres
Nous retrouvons ici
l’équation
(42).
2° A
l’approximation
suivante :Cette
expression
ne fait intervenir l’interaction enf
que dansl’impulsion
généralisée
P,
mais nonpas dans le terme de
couplage
spin-orbite
r
qui
nedépend
que du coefficient g.( r )
Si nous
introduisons,
au lieu du moment orbitalle moment orbital
généralisé
nous avons
Or,
tenantcompte
denous avons
d’où
Introduisant cette
expression
dans(52),
cetteéquation
devientmettant en évidence à côté du terme de correction relativiste en
2 m ,
le terme decouplage
spin-’
" " "
orbite en
