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Sur les interactions entre particules matérielles
s’exerçant par l’intermédiaire de la particule de spin 2
h/2π
Gérard Petiau
To cite this version:
SUR LES INTERACTIONS ENTRE PARTICULES
MATÉRIELLES
S’EXERÇANT
PARL’INTERMÉDIAIRE
DE LA PARTICULE DE SPIN$$2 h/203C0
Par GÉRARD PETIAU.
Sommaire.2014 Par un raisonnement analogue à celui par lequel on retrouve le potentiel de Coulomb dans la partie statique des interactions entre corpuscules de spin
h/403C0
et photons, nous montrons dans ce travailcomment la théorie de la particule de spin 2 h/203C0
permet
de retrouver en considérant cette particulecomme agent d’échange d’énergie et de quantité de mouvement entre des particules de spin
h 403C0
les interactions massiques statiques correspondant au potentiel newtonien. Après avoir établi une formegénérale de l’interaction liant les particules de spin
h/403C0 et
2h/203C0
le calcul est particularisé au cas des actions s’exerçant par l’intermédiaire des potentiels longitudinaux de la particule de spin2 h/203C0
et l’onmontre que l’élément de matrice d’interaction calculé dans le cas statique est équivalent à l’élément
correspondant du potentiel newtonien corrigé par un terme exponentiel et complété par deux termes
de coïncidence.
Nous nous proposons dans ce travail l’étude de
la
représentation
des interactionspouvant
s’exercerentre
particules
despin -
2013h
1photons,
neutrons,)- 27. .
ou
électrons,
par l’intermédiaire de laparticule
despin
sait que lapartie
statique
des interactionss’exerçant
entreparticules chargées
despin
h
par l’intermédiaire desphotons
conduit? 27t p p
au
potentiel
deCoulomb,
tandis que lesinter-actions
s’exerçant
entreprotons
ou neutrons parl’intermédiaire du méson conduisent à la théorie
des forces nucléaires. Nous allons montrer ici que
’ la considération des
particules
despin
2h
commeagents
d’interactionspermet
dereprésenter
lesinteractions
massiques correspondant
aupotentiel
de Newton.
1. La
particule
despin
Lesparticules
2 2 7".
de
spin- h ,
protons,
neutrons(nucléons)
ou électrons2 21t
seront
représentées
en l’absence d’interactions parles ondes
~~ (X, t) (i
~1, 2, 3,
4)
solutions d’uneéquation
de DiracLes ocp, a.4 sont
quatre
matrices de Dirac telles que,
Nous
adoptons
ici lareprésentation
usuelleles 7p ou p~, sont les trois matrices de Pauli.
Nous introduirons
également
le tenseurmétrique
guv tel que et nous poserons Posantl’équation
(1)
s’écrit 2. Laparticule
despin
2h
- Laparticule
despin
2,-,2
il
serareprésentée
par les solutions del’équation
116
On
peut
montrer que les solutions de cetteéqua-tion se
répartlssent
en deux classes.La
première
classecomprend
les solutions de(3)
qui
sontégalement
solutions del’équation
On
peut
montrer que ces fonctions constituentl’ensemble des solutions du
système
desquatre
équations
de Dirac simultanéesCes solutions ont été étudiées en détail dans le
livre de M. Louis de
Broglie
« Théoriegénérale
desparticules
àspin
»(Chap.
XI,
p.182).
Elles serépar-tissent suivant les états du
spin
total et caractérisentun état de
spin
total 9,
trois états despin
total iet deux états de
spin
total o. Enparticulier
onpeut
montrer que les solutions de
spin
total 2 sont lesfonctions
complètement symétriques
parrapport
auxindices i1,
Í2,
Í3, i,.
Les solutions de la seconde classe
qui
sontsolu-tions de
(3),
mais non de(4),
satisfont àl’équation
du second ordre, - ’>
Ces solutions
correspondent
à des états despin
totalh
ouzéro,
d’uncorpuscule
de masse 2 po.2 ’ p v o
La constante masse propre du
corpuscule
représenté
par l’ensemble des solutions de(3)
doit être vraisemblablement sinon
nulle,
du moinstrès
petite
et du même ordre que celle duphoton
si l’on considère que
l’équation (3)
réalise parl’en--
semble de ses solutions une théorie unitaire des
champs gravifiques
etphotoniques.
3. Ondes
planes
de laparticule
despin
2h
2- Si l’on cherche une solution de
l’équation
(3)
dans le cas du
spin
totalmaximum,
sous la formed’une onde
plane
’
on trouve pour déterminer
l’équation
,Nous poserons encore
de telle sorte que
l’équation (5)
s’écritNous obtenons alors en
décomposant
les matrices ocen matrices a-
et p
et en introduisant des indices relatifs à ces matrices et variant seulement sur 1 et 2~ est une constante de normalisation. Les
’+ sont deux groupes de 16 constantes.
En
particulier,
si l’onde se réduit à sapartie
àénergie
positive,
les sont tousnuls,
ce que noussupposerons par la suite et il reste
À sera déterminé par
l’intégrale
de la densité deprésence
d’où .
4. Grandeurs tensorielles. - On
peut
montrerfacilement que certaines combinaisons linéaires
des se
comportent
comme des tenseurs.Soit Olt la matrice telle que
(nous désignons
par A+ la matrice telle queAü =
A~),
avec la
représentation
des «choisis,
on voit queL’introduction de Olt donne
et, par
suite,
ces matrices sontsymétriques.
cons-truire les combinaisons linéaires
C est une constante de
proportionnalité qu’avec
M. L. de
Broglie
nous définirons comme dans le casdu
photon
parCes tenseurs ne sont pas tous linéairement
indé-pendants,
on montre facilement que la relationde Pauli liant deux
systèmes
de matrices de Diracentraîne les relations
5. Ondes
longitudinales.
- Parrapport
à ladirection de
propagation,
les ondes tensoriellesprécédentes peuvent
serépartir
en ondeslongitu-dinales,
longitudino-transvérsales
et transversales.En
particulier,
la direction depropagation
étantl’axe des z, les
composantes longitudinales
seréduisent à ,
On voit alors que dans le cas d’une onde
plane,
ces
grandeurs
nedépendent
que de la combinaison linéaire desAnzi,m2,ma,m4
Posant
la relation de normalisation
(8)
nous donneOn en déduit les
expressions
despotentiels
longi-tudinaux normés
avec
et de même nous obtenons pour les
champs
longi-tudinaux
6. Le
système
corpuscule
despin
,~2 -
Corpus-4
cule de
spin
2. - Nousreprésenterons
lesystème
2 ,.
total en interaction par
l’équation
d’ondesRJ)
estl’opérateur
hamiltonien de laparticule
despin
celui d.t
de
spin
4;;’
H celui dugraviton
« 1 ~ , -..A
H 1
est unopérateur
d’interaction que nous écrironsLes~
tx,p,
sont desopérateurs
de lathéorie de la
particule
despin ’
!!:..
2 2’n
Nous poserons
est le tenseur de Tétrode et l’on voit facilement
118
et, par
suite,
On a alors par contraction
Les sont des
opérateurs
matriciels de la théoriede la
particule
desupin 2
1h
2
1 et m sont deux constantes
indépendantes,
n estlié à 1 par la relation
7.
Étude
des éléments de la matrice H(1).
-En l’absence
d’interaction,
les fonctions propres del’hamiltonien du
système corpuscule
despin
j2
-4 ..
corpuscule
despin
2 h
sontreprésentées
par des27t
produits
;,
i2, i3, i4 d’une ondeplane
ducorpuscule
de Dirac par une onde
plane
dugraviton.
Si lecorpuscule
de Dirac n’est paslibre,
mais dans unétat stationnaire
d’énergie
Em =hc
Km les sont2r
de la forme
superposition
d’ondesplanes.
Dans cette étude nous considérerons les
particules
de Dirac non
engagées
dans des liaisons et nousconsi-dérerons les transitions du
système
d’un état de mouvement -produit
d’ondesplanes,
à un état dans
lequel
legraviton
estannihilé,
c’est-à-dire
représenté
par la fonction constanteet, par
suite,
Dans cette transition que nous
représenterons
par le
symbole
(o,
m’; 1,
m),
l’élément de matricede H 11 a pour valeur
Or, on voit facilement que
D’autre
part,
nous poseronsNous aurons alors
Nous calculerons
explicitement
le terme en 1dans le cas de l’interaction par les ondes
longitu-dinales et nous déterminerons le
potentiel
équivalent.
8. Calcul
explicite
de .- Dans le
cas des ondes
longitudinales
le terme en 1 del’équa-tion
(18)
se réduit àPosant
et introduisons pour les les
potentiels
longi-tudinaux normés
( 11 ),
il vientIntroduisant les éléments de matrices raccourcis
tels que
La dernière
intégrale
est nulle presquepartout,
sauf pour les valeurs de k telles que
c’est-à-dire
lorsqu’il
y a conservation de laquantité
de mouvement. Mais alors
l’exponentielle dépendant
dutemps
n’étant pasnulle,
iln’y
a pas conservationde
l’énergie.
Il faudra donc considérer au lieu d’unetransition directe, deux transitions successives en
passant
par un état intermédiaire etappliquer
laformule de
perturbation
Dans un
premier
processus, laparticule (z }
passede l’état
(01 )
à l’état(z )
kl)
en cédant ->la
quantité
de mouvement k à l’ondelongitudinale
du
graviton
qui
est émis avec~k, A’/.
Celui-ci estensuite absorbé par la
particule
(2)
qui
passe de l’état(02)
~Ko2, K 02)
à l’état(2)
~K2,
On a alors
Le processus
global
conservel’énergie,
c’est-à-dire queou
ce
qui
définit K.D’autre
part
la relation de la théorie de Diracdonne ici d’où
Or
d’où
La formule
(21 )
devient alorsPour le processus
global,
(23)
reporté
dans(22)
nous donne en
remarquant
queLe même
échange
global d’énergie
et dequantité
de mouvementpeut
avoirégalement
lieu d’unefaçon inverse,
laparticule (2)
passant
de l’état(02)
(K02’
à l’état(2)
~K2, K2~
encédant la
quantité
de mouvement - k augraviton
qui
est ensuite absorbé par laparticule (1) qui
passede l’état
(01)
K01)
à l’état(K,,
’K,,),
d’oùOn a alors pour une
expression
analogue
, à celle de dans
laquelle
leest
remplacé
par2013 ~2013, ’
"L’élément de matrice
global
est alorsOr en
première approximation,
onpeut
négliger
Kdevant
k,
cequi
revient à-négliger
laperturbation
du mouvement desparticules
despin
Ih
par les2 21t
gravitons,
et d’autrepart
si leurs mouvements sontsuffisamment voisins du repos, on aura
~ 1 .
120
D’autre
part,
avec la valeur de C2 = vient8;k0 ,.
et il nous reste
Or on sait
(voir
parexemple
L. deBroglie,
Unenouvelle fhéorie de la
lumière,
t.2)
que le termeI
(1)1
01(I)2 02
est l’élément de matrice corres-11 12 |
pondant
aupotentiel
i
e- o >., i
pondant
aupotentiel
1
°
r,z
De même l’élément de
matrice I (I)1 01,
(1)202
correspond
aupotentiel
ô (|r2|).
. .1
-->2
.A
jz
Pour le terme en
’20132013
( 1 )1, 01’
( 1 )2 02’
Unraison-nement
analogue
à celui fait par M. Louis deBroglie
nous montre
qu’il correspond
aupotentiel- Off
la fonction
0" (1 ; 1)
étant la fonction telle queL’élément Hill
exprimé
sous la forme(26)
est donc le même que celui que l’on obtiendrait avecle
potentiel
Nous retrouvons dans le
premier
terme deI)
lepotentiel
de l’attraction newtoniennecorrigé
parun terme
exponentiel qui
en raison de lapetitesse
de p nepeut
intervenirqu’aux
trèsgrandes
dis-tances et par ailleurs
déjà
considéré dans les théoriescosmologiques.
Ce
potentiel
estcomplété
par deux termes de coïncidence dont l’introduction adéjà
étéconsidérée
dans les théories
quantiques.
La constante 12 est déterminée à
partir
de lacons-tante de la
gravitation
newtonienne k =6,66~ 1 o~g
par la formule 12 8z ’" k 8n /(7
=coiist. d’Einstein).
2 ==-"2013.== 2013 y (7== const.lnstelll.
9 C2 9 - A. ’ L h’. d 1 d . aALa théorie du
corpuscule
despin
2c
permet
donc
d’interpréter
selon le formalismequantique
les interactions
massiques
entrecorpuscules
élémen-taires. Par ailleurs cette théorie donne unerepré-sentation
quantique
du formalisme de la théorie dela relativité
générale
en abandonnant lespostulats
de celle-ci sur la structure de
l’espace
et en se limitant auxpostulats
de la théorie de la relativité restreinte.Il semble donc que cette théorie soit
appelée
àjouer
un rôle trèsimportant
dans lareprésentation
générale de
la structure et des interactionsmaté-rielles.
