2 Force et champ de gravitation 2

OLIVIER CASTÉRA

Résumé. En physique on utilise le potentiel, parfois sans préciser s’il s’agit du potentiel de champ ou du potentiel de force.

Table des matières

1 Introduction 1

2 Force et champ de gravitation 2

2.1 Force de gravitation 2

2.2 Champ gravitationnel 2

3 Potentiels gravitationnels 3

3.1 Potentiel de la force gravitationnelle 3

3.2 Potentiel du champ gravitationnel 3

3.3 Relation entre énergie potentielle et potentiel 3

4 Force et champ électrostatique 4

4.1 Force électrostatique 4

4.2 Champ électrostatique 4

5 Potentiels électrostatiques 5

5.1 Potentiel de la force électrostatique 5

5.2 Potentiel du champ électrostatique 5

5.3 Relation entre énergie potentielle et potentiel 5

6 Conclusion 5

1 Introduction

Définition 1. Potentiel d’un champ vectoriel

Le scalaire B est dit potentiel du champ vectoriel A ssi : A = − grad B

A

i + A

j + A

k = − ∂B

∂x i + ∂B

∂y j + ∂B

∂z k

!

A

e

+ A

e

+ A

e

= − ∂A

∂ρ e

+ 1 ρ

∂A

∂θ e

+ 1 ρ sin θ

∂A

∂φ e

!

On dit aussi que le champ vectoriel A dérive du potentiel scalaire B .

Date : 5 décembre 2020.

2 Force et champ de gravitation

2.1 Force de gravitation

Soient deux particules de charges gravitationnelles m

et m

, et ρ

le rayon vecteur de la masse 1 vers la masse 2. L’expérience montre que la force de gravitation F s’exerçant entre deux particules a pour direction la droite passant par les particules :

± ρ

ρ

Elle est de plus proportionnelle aux masses m

et m

, et inversement proportionnelle au carré de leur distance. En notant G la constante de proportionnalité et e

le vecteur unitaire de direction 1 → 2, la force exercée par la particule 1 sur la particule 2 s’écrit :

F

= ± G m

m

ρ

e

Il reste à déterminer le sens de la force, autrement dit son signe. m

, m

, et G sont positifs, et l’expérience montre que la force de gravitation est attractive :

m

ρ

m

F

Figure 1. Détermination du signe de la force de gravitation

La force est de sens opposé à ρ

, donc le signe est négatif, et la force a pour expression : F

= − Gm

m

ρ

e

(1)

Le théorème de l’action-réaction

donne :

F

= − F

= G m

m

ρ

e

= − G m

m

ρ

e

2.2 Champ gravitationnel

On définit le champ gravitationnel créé par la particule 1 indépendamment de la charge m

, par

E

= − G m

ρ

e

(2)

D’où la relation entre force et champ gravitationnel,

F

= m

E

(3)

1. Voir mécanique classique.pdf

3 Potentiels gravitationnels

3.1 Potentiel de la force gravitationnelle

Soit E

le potentiel scalaire de la force gravitationnelle F . D’après la définition 1 : F = − grad E

F e

= − ∂E

∂ρ e

F = − ∂E

∂ρ et avec la relation (1) :

E

= −

Z

F dρ

= −

Z

− G m

m

ρ

dρ E

= − G m

m

ρ (4)

E

s’appelle énergie potentielle de gravitation.

3.2 Potentiel du champ gravitationnel

Soit V le potentiel scalaire du champ gravitationnel E. D’après la définition 1 : E = − grad V

Ee

= − ∂V

∂ρ e

E = − ∂V

∂ρ et avec la relation (2) :

V = −

Z

E dρ

= −

Z

− G m ρ

dρ V = − G m

ρ (5)

V s’appelle potentiel de gravitation .

3.3 Relation entre énergie potentielle et potentiel

En partant de la relation (3) :

F

= m

E

− grad E

= − m

grad V

E

= m

V

que l’on retrouve directement en utilisant les relations (4) et (5).

4 Force et champ électrostatique

4.1 Force électrostatique

Soient deux particules chargées. L’expérience montre que le vecteur force électrostatique F , ou force de Coulomb, s’exerçant entre deux particules, est proportionnel aux charges q

et q

des particules qui interagissent, et inversement proportionnelle au carré de leur distance. Cette force a pour direction la droite passant par les particules :

± e

En notant 1/(4πε

) la constante de proportionnalité, la force exercée par la particule 1 sur la particule 2 s’écrit :

F

= ± 1 4πε

q

q

ρ

e

Il reste à déterminer le sens de la force, autrement dit son signe.

Si q

est de même signe que q

, alors le produit q

par q

est positif, et l’expérience montre qu’alors la force est répulsive :

q

q

ρ

F

Figure 2. Détermination du signe de la force électrique

Par conséquent, la force est dans le sens de ρ

, le signe est positif, et la force s’exprime par : F

= 1

4πε

q

q

ρ

e

(6)

Le théorème de l’action-réaction donne :

F

= − F

= − 1 4πε

q

q

ρ

e

= 1

4πε

q

q

ρ

e

4.2 Champ électrostatique

On définit le vecteur champ électrostatique E

créé par la particule 1 indépendamment de la charge q

, par :

E

= 1 4πε

q

ρ

e

(7)

D’où la relation entre force et champ électrostatiques :

F

= q

E

(8)

5 Potentiels électrostatiques

5.1 Potentiel de la force électrostatique

Soit E

le potentiel scalaire de la force électrostatique F . D’après la définition 1 :

F = − grad E

et avec la relation (6) :

E

= 1 4πε

q

q

ρ (9)

E

s’appelle énergie potentielle électrostatique.

5.2 Potentiel du champ électrostatique

Soit V le potentiel scalaire du vecteur champ électrostatique E.

D’après la définition 1 :

E = − grad V et avec la relation (7) :

V = 1 4πε

q

ρ (10)

V s’appelle potentiel électrostatique, ou potentiel.

5.3 Relation entre énergie potentielle et potentiel

En partant de la relation (8) :

F

= q

E

− grad E

= − q

grad V

E

= q

V

que l’on retrouve directement en utilisant les relations (9) et (10).

6 Conclusion

En électrostatique on utilise le plus souvent le potentiel V du champ électrostatique, que l’on appelle potentiel, alors qu’en mécanique on utilise plutôt le potentiel E

de la force de gravitation, que l’on appelle énergie potentielle.

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