Masse de Jeans
Préparation Nuage stellaire au repos
On considère un nuage interstellaire d'hydrogène de masse volumiqueρsoumis à sa propre gravitation. On supposera le problème à symétrie cylindrique.
1. Rappelez la forme de la force de gravitation entre deux corps de massem1etm2, puis la forme de la force de Coulomb entre deux chargesq1etq2, puis le théorème de Gauss pour l'électrostatique et en déduire par analogie le théorème de Gauss pour la gravitation.
En déduire l'équivalent de l'équation de Maxwell Gauss pour la gravitation.
2. Montrez qu'en électrostatique, le champ électrique dérive d'un champ scalaire. Par analogie, déterminez l'équation vériée par le potentiel gravitationnelΨ.
3. On traite le gaz du nuage comme un uide parfait compressible. Etablir l'équation de conservation de la masse et l'équation d'Euler.
4. On cherche une solution stationnaire sous la formeρ0, p0 uniformes et constants,Ψ0 et
−
→v0=rΩ−→uθ constants. Déterminez Ωet Ψ0. A quoi correspond ce mouvement ? Formulaire : en coordonnées sphériques, ∆f(r) = 1r∂r(r∂rf), div
A−→ B
= −→ B .−−→
gradA+ Adiv−→
B
Suite Effet d'une perturbation
On imagine que le nuage précédemment dans un état stationnaire est soumis à une pertur- bation innitésimale.
1. On cherche la réponse au premier ordre du système : ρ =ρ0+ρ1, P = P0+P1 etc.
Exprimez les équations vériées par les termes d'ordre 1. On supposera−→v1 =v1(r, z)−→uz et l'ensemble des variables indépendantes deθ.
2. On cherche des solutions sous la forme d'ondes planesρ1(r, z, t) = ˜ρ1e−i(krr+kzz−ωt)etc.
Justiez cette forme et déterminez les équations vériées parρ˜1,P˜1,Ψ˜1 etv˜1.
3. On admet la relation thermodynamqueP1=c2sρ1, oùcsest la vitesse de propagation des ondes sonores dans le nuage et on s'intéresse aux perturbations longitudinales (kr= 0).
Déterminez la relation de dispersion.
4. En déduire que, soumis à des excitations de grandes longueurs d'onde, le nuage est instable et ni par s'eondrer sur lui même. En déduire l'expression de la masse des étoiles dans leur première partie de vie.
Evaluation
Connaissance du cours (/10)
• Electrostatique et gravitation
• Equation de mécanique des uides
Calcul (erreurs, rapidité, homogénéïté, vérications) (/4) Sens physique (contextualisation, analyse) (/4)
Comportement (/2)
• Prise en compte des indications
• Adaptation au contexte de l'exercice
• Mojo
1 Daniel Suchet
Solution
1. −→ F = 4π1
0
q1q2
r2 −→ur = q2−→
E1(−→r) et −→
F = −Gm1rm2 2−→ur = m2−→g1(−→r) donc ‚−→g .−→
dS = −4πGMint et div−→g =−4πGρ.
2. −→rot−→ E =−→
0 →−→
E =−−−→
gradV →∆V =−ρ
0. Ici,−→g =−−−→
gradΨet∆Ψ = 4πGρ 3. ∂ρ∂t +div(ρ−→v) = 0et ∂−→v
∂t +
−
→v .−−→
grad
−
→v =−1ρ−−→
gradP+−→g =−1ρ−−→
gradP+−−→
gradΨ
4. Euler avec −→v = rΩ−u→θ : Ω∂θ∂ (rΩ−→uθ) = −rΩ2−→ur = −∂r∂ Ψ−u→r donc Ψ = 12r2Ω2 +cste et avec
∆Ψ = 1r∂r(r∂rΨ) = 1r∂r r2Ω2
= 2Ω2, la relation de Poisson donne Ω2 = 2πGρ0. Le nuage tourne alors autour de son axe à vitesse angulaire constante.
5. A l'ordre 1,
∂ρ1
∂t +ρ0div(−→v1) +−→v0.−−→
grad(ρ1) = 0
= ∂ρ1
∂t +ρ0∂zv1+v0 r∂θρ1
∂t−→v1+
−
→v1.−−→
grad
−
→v0+
−
→v0.−−→
grad
−
→v1 = −1 ρ0
−−→gradP1−−−→
gradΨ1
= ∂t−→v1+v1.∂z−→v0+v0.∂θ−→v1
∆Ψ1 = 4πGρ1
6. La linéarité des équations permet de chercher les solutions sous forme d'onde plane. La propriété de bijection de la transformation de Fourier assure que toute solution peut être décomposée en un superposition d'ondes planes.
iωρ˜1−ikzρ0v˜1 = 0 iωv˜1 = i1
ρ0
kzP˜1+ikzΨ˜1
−k2zΨ˜1 = 4πGρ˜1 P˜1 = c2sρ˜1
ωρ˜1−kzρ0v˜1 = 0 ωv˜1 =
1 ρ0
kzc2s−4πG kz
˜ ρ1
−k2zΨ˜1 = 4πGρ˜1 P˜1 = c2sρ˜1
soit, en remplaçant les deux dernières équations dans les deux premières, 1. L'ensemblen
˜
v1,Ψ˜1,ρ˜1,P˜1
o
={0,0,0,0}est clairement solution. Pour avoir une solution autre que triviale, il faut que le système admette une solution non unique, ie que son déterminant soit nul.
On doit donc avoir
ω −kzρ0
1
ρ0kzc2s−4πGk
z −ω
= 0
ω2 = kz2c2s−4πρ0G
= c2s k2z−kJ2 aveckJ =q4πρ
0G c2s .
2. Pour kz < kJ, la pulsation est imaginaire pure et correspond à un eondrement du nuage. La longueur caractéristique est donnée par la longueur de Jeans : λJ =k2π
J. Chaque zone correspond à une masse dite masse de Jeans : 43πλ3Jρ0=43
π5 ρ0G3
1/2 c3s.
2 Daniel Suchet
